數(shù)值優(yōu)化方法研究型教學(xué)改革探索

杜守強

[摘 要]研究型教學(xué)有助于突出學(xué)生的學(xué)習(xí)主導(dǎo)地位，培養(yǎng)實用型創(chuàng)新型人才。數(shù)值優(yōu)化方法課程實用性強，適合開展研究型教學(xué)。文章探討了充分利用現(xiàn)代多媒體、網(wǎng)絡(luò)等技術(shù)并結(jié)合專業(yè)軟件開展數(shù)值優(yōu)化方法課程教學(xué)模式，同時通過組織與引導(dǎo)學(xué)生有效開展課程論文撰寫、課堂研討等活動，激發(fā)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)熱情，加深學(xué)生對課程學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解與掌握，提升學(xué)生解決課程相關(guān)實際問題的能力與創(chuàng)新學(xué)習(xí)能力。

[關(guān)鍵詞]研究型教學(xué);數(shù)值優(yōu)化方法;課程改革

[中圖分類號] G420.0 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437（2019）04-0093-04

研究型教學(xué)也稱為研討式教學(xué)，是教師以課程內(nèi)容和學(xué)生的知識儲備為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性地運用知識和能力，自主地發(fā)現(xiàn)問題、研究問題和解決問題，在研討中積累知識、培養(yǎng)能力和鍛煉思維的新型教學(xué)模式[1]。開展研究型教學(xué)的目的是突出學(xué)生的主導(dǎo)地位，改變學(xué)生被動學(xué)習(xí)的方式，讓學(xué)生從“讓我學(xué)”轉(zhuǎn)變到“我要學(xué)”的狀態(tài);結(jié)合當(dāng)今大學(xué)的“雙一流學(xué)科”建設(shè)，激發(fā)本科生的創(chuàng)新能力，提高學(xué)生綜合運用知識的能力;在現(xiàn)有教學(xué)資源的基礎(chǔ)上，實現(xiàn)教學(xué)質(zhì)量的全面提升，培養(yǎng)出具有人格魅力與真知探索精神的當(dāng)代優(yōu)秀大學(xué)生。

數(shù)值優(yōu)化方法課程是數(shù)學(xué)專業(yè)本科一門重要的應(yīng)用型課程，主要介紹最優(yōu)化數(shù)值計算方法，討論決策問題的最佳選擇方案，構(gòu)造尋求最優(yōu)解的計算方法[2-5]。近年來，由于計算機技術(shù)的高速發(fā)展以及互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)、人工智能技術(shù)等技術(shù)的進一步成熟，最優(yōu)化數(shù)值計算方法與思想已經(jīng)在科學(xué)、工程、國防、交通、經(jīng)濟管理、金融工程、大規(guī)?？茖W(xué)計算等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。同時關(guān)于優(yōu)化方法的課程也在全國高校的相關(guān)數(shù)學(xué)類本科專業(yè)、工科類專業(yè)、經(jīng)濟管理類專業(yè)得到了廣泛開設(shè)。由于各高校課程內(nèi)容設(shè)置的側(cè)重點不同，該課程名稱也略有區(qū)別，如最優(yōu)化方法、最優(yōu)化理論與方法等[6-7]。該課程的主要內(nèi)容有最優(yōu)化理論與方法數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、線性規(guī)劃、線搜索與信賴域技術(shù)、無約束優(yōu)化、線性與非線性最小二乘問題、二次規(guī)劃、約束優(yōu)化、非光滑優(yōu)化、特殊優(yōu)化問題介紹等幾個大的知識模塊。其教學(xué)內(nèi)容涵蓋了最優(yōu)化領(lǐng)域的最基本、最實用、最有效的現(xiàn)代優(yōu)化方法，課程學(xué)習(xí)者可以了解最優(yōu)化方法的動機、算法設(shè)計步驟、方法收斂性質(zhì)、收斂速度分析與數(shù)值實驗。

二、改革教學(xué)方法，建立創(chuàng)新模式

研究型教學(xué)是針對傳統(tǒng)大學(xué)教學(xué)方式提出的創(chuàng)新型教學(xué)改革探索模式，是新時代培養(yǎng)創(chuàng)新型人才、促進大學(xué)教育教學(xué)模式改革的重要推動力。研究型教學(xué)能有力促進人才培養(yǎng)質(zhì)量提高，平衡大學(xué)中科研與教學(xué)的力量分配，盡最大可能發(fā)揮大學(xué)的育人功能，積極回應(yīng)社會公眾對高等教育改革發(fā)展的期盼。數(shù)值優(yōu)化方法課程由于具有極強的應(yīng)用性，學(xué)生在學(xué)習(xí)完相關(guān)的數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、數(shù)學(xué)模型等課程的基礎(chǔ)上可以結(jié)合實際問題開展專題學(xué)習(xí)與研討。教師可以采用啟發(fā)式教學(xué)方法，讓學(xué)生結(jié)合具體問題，利用教師給出的學(xué)習(xí)大綱在互聯(lián)網(wǎng)上查找相關(guān)的學(xué)習(xí)文件、課程講解大綱以及多媒體資源。改變教師既“導(dǎo)”又“演”而學(xué)生觀看的傳統(tǒng)教學(xué)模式。例如在講授完優(yōu)化基礎(chǔ)知識與線搜索、信賴域等知識點后，可以讓學(xué)生結(jié)合學(xué)習(xí)的無約束優(yōu)化方法設(shè)計框架自主學(xué)習(xí)無約束優(yōu)化方法設(shè)計部分的梯度類算法、牛頓法。學(xué)生通過對梯度類算法、牛頓法、擬牛頓法等知識的自主學(xué)習(xí)，激發(fā)出設(shè)計優(yōu)化算法的熱情，教師適時通過課堂講授算法收斂性分析、公式推導(dǎo)等理論知識，讓學(xué)生領(lǐng)悟算法理論、公式推導(dǎo)等知識點的重要性，避免感到數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)的枯燥與煩瑣。

充分利用現(xiàn)代多媒體、網(wǎng)絡(luò)等教學(xué)手段，結(jié)合Matlab等專業(yè)軟件進行多手段、全方位教學(xué)，比如可以利用清華大學(xué)雨課堂教學(xué)平臺[8]，開展以手機微信平臺為載體的教學(xué)。雨課堂是基于MOOC的混合式教學(xué)模式，是清華大學(xué)于2015年9月啟動建設(shè)、2016年4月正式推出的智慧教學(xué)工具，這種工具能在教學(xué)過程中充分體現(xiàn)移動互聯(lián)技術(shù)、云計算以及數(shù)據(jù)挖掘等現(xiàn)代信息技術(shù)。雨課堂作為高等教育教學(xué)工具，主要分為手機端、電腦端、遠程服務(wù)器三個部分。學(xué)生通過登錄教師創(chuàng)建的課程班級可以實現(xiàn)課堂實時課件學(xué)習(xí)、疑難問答，教師可以利用網(wǎng)絡(luò)平臺開展實時提問、學(xué)生學(xué)習(xí)情況統(tǒng)計等一系列工作。學(xué)生通過學(xué)習(xí)Matlab程序軟件知識，可以完成優(yōu)化算法的實時數(shù)值實驗，從中真正體驗到學(xué)習(xí)優(yōu)化算法解決實際問題的樂趣。

結(jié)合大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽與大學(xué)生創(chuàng)新項目立項開展專題式教學(xué)，讓學(xué)生參與科研教學(xué)活動，以促進學(xué)生創(chuàng)新能力培養(yǎng)。數(shù)值優(yōu)化方法課程的專題可以通過優(yōu)化問題的案例式教學(xué)開展[9]，設(shè)計具體的優(yōu)化問題如圖像的恢復(fù)與重建優(yōu)化問題[10-15]，主要研究如何通過觀測到的數(shù)據(jù)來恢復(fù)原始圖像。伴隨著相關(guān)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展以及新的壓縮與采樣方式的出現(xiàn)，在保證圖像重構(gòu)基礎(chǔ)上的少量數(shù)據(jù)恢復(fù)技術(shù)，對應(yīng)的優(yōu)化問題為欠定線性逆問題。對此類優(yōu)化問題的求解研究十分活躍，近年來給出了很多相關(guān)的優(yōu)化算法 （如文獻[10-15]），該問題描述為

通過具體問題的求解分析讓學(xué)生提高課堂學(xué)習(xí)主動性與課下學(xué)習(xí)研討的動力，通過對實際問題的分析求解，把學(xué)習(xí)的技能用于大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽、大學(xué)生“挑戰(zhàn)杯”大賽與大學(xué)生創(chuàng)新項目立項等學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)新活動，進一步激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新學(xué)習(xí)的熱情。另外，結(jié)合優(yōu)化問題研究進展，不斷更新主題研討優(yōu)化問題算法的研究現(xiàn)狀分析，讓學(xué)生接觸到科技發(fā)展的前沿，比如可以結(jié)合梯度類算法的研究進展，讓學(xué)生在國內(nèi)外學(xué)術(shù)網(wǎng)站上自主檢索最新的研究成果。

二、具體課程教學(xué)設(shè)計

此部分結(jié)合文獻[1-9]的理論以及筆者具體的教學(xué)實踐，給出數(shù)值優(yōu)化方法課程的具體教學(xué)設(shè)計。

（一）課程性質(zhì)與定位

數(shù)值優(yōu)化方法是研究在有限種或無限種可行方案中挑選最優(yōu)方案，構(gòu)造尋求最優(yōu)解的計算方法，其廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域，在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位。數(shù)值優(yōu)化方法課程系統(tǒng)地介紹了數(shù)值求解最優(yōu)化問題的基本方法和基本性質(zhì)，注重最優(yōu)化方法的基礎(chǔ)性與實用性。通過本課程的學(xué)習(xí)使學(xué)生掌握利用優(yōu)化方法解決實際問題，學(xué)會用Matlab等數(shù)學(xué)軟件求解優(yōu)化問題，鍛煉數(shù)學(xué)思維能力和應(yīng)用技巧，培養(yǎng)和增加將數(shù)學(xué)應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟管理等方面的興趣，提高科學(xué)素養(yǎng)。本課程旨在為提升全體學(xué)生的整體數(shù)學(xué)素質(zhì)，以及為部分學(xué)生進一步考取運籌學(xué)與控制論專業(yè)、計算數(shù)學(xué)專業(yè)、應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)、統(tǒng)計學(xué)專業(yè)、管理科學(xué)與工程專業(yè)等相關(guān)專業(yè)的研究生奠定基礎(chǔ)。

（二）課程設(shè)計思路

1.全方位參與學(xué)習(xí)

本課程的教學(xué)大綱以學(xué)生掌握優(yōu)化理論與方法為重點，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力為出發(fā)點，實行“三位一體”的教學(xué)方法?！叭弧睘榻處煛W(xué)生、課下輔導(dǎo)教師，“一體”為以學(xué)生小組為主體的研討。結(jié)合學(xué)校的大學(xué)生創(chuàng)新項目、“挑戰(zhàn)杯”競賽、數(shù)學(xué)建模競賽等活動，開展科技論文寫作訓(xùn)練。

2.課堂研討與專家講座結(jié)合

最優(yōu)化數(shù)值方法是一個不斷發(fā)展的學(xué)科方向，作為數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要專業(yè)課程，教師在課程教學(xué)過程中要不斷啟發(fā)學(xué)生進行科研學(xué)習(xí)訓(xùn)練，鼓勵學(xué)生獨立開展創(chuàng)新性研究。課堂研討可以及時、有效地體現(xiàn)學(xué)生在研究過程中存在的問題，幫助教師高效地指導(dǎo)學(xué)生完成科研創(chuàng)新工作。專家講座可以讓學(xué)生開闊學(xué)術(shù)研究視野，及時了解到本學(xué)科前沿的發(fā)展情況，為其日后開展科技論文寫作、畢業(yè)論文寫作、考取研究生、選取研究方向奠定基礎(chǔ)。

（三）教學(xué)目標(biāo)

本課程的教學(xué)目標(biāo)為結(jié)合優(yōu)化理論的發(fā)展，理論與實際相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟管理學(xué)問題的能力和創(chuàng)新能力，幫助學(xué)生養(yǎng)成初步的科研素養(yǎng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生對優(yōu)化理論與方法的學(xué)習(xí)研究興趣，為相關(guān)學(xué)科發(fā)展儲備人才庫。

（四）教學(xué)方法與策略

教師教學(xué)時結(jié)合課程內(nèi)容，實施多邊的課堂互動。結(jié)合具體優(yōu)化方法的學(xué)習(xí)，教師介紹方法的發(fā)展歷程、發(fā)展現(xiàn)狀，學(xué)生通過資料查找與研習(xí)在課堂上發(fā)表自己的研究思路，以教師為主導(dǎo)開展研究型教學(xué)。學(xué)生結(jié)合課下學(xué)習(xí)與專家講座，教師在教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)層次、教學(xué)方法、作業(yè)練習(xí)、課程評價考核等方面將教學(xué)內(nèi)容與學(xué)科發(fā)展前沿相結(jié)合，鼓勵學(xué)生開展逆向思維、發(fā)散思維。

多元化課程考核除了傳統(tǒng)的期中、期末考試以外，增加科技論文撰寫、科技創(chuàng)新答辯、課程參與度評價等手段科學(xué)評價每一位學(xué)生。

（五）學(xué)習(xí)要求與方法指導(dǎo)

通過相關(guān)習(xí)題的訓(xùn)練加深對課程學(xué)習(xí)的理解和掌握，提高靈活運用各種知識的能力。在科研小組訓(xùn)練的過程中完成3篇課程研討論文，訓(xùn)練學(xué)生的創(chuàng)新能力與綜合歸納能力。結(jié)合學(xué)校、學(xué)院大學(xué)生創(chuàng)新項目立項，發(fā)現(xiàn)一批成績優(yōu)秀、科研能力突出的學(xué)生，爭取推薦到合適的高校、科研院所攻讀碩士研究生。

（六）教學(xué)資源與教學(xué)條件配置

1.配備助教

結(jié)合教師的實際情況，配備2名碩士研究生課外指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)基本科技論文檢索、篩選等方法。

2.網(wǎng)絡(luò)教學(xué)條件

學(xué)校電子圖書館有中國知網(wǎng)、萬方等多個網(wǎng)站的檢索權(quán)限，方便學(xué)生進行科技論文檢索。學(xué)生可以到圖書館上網(wǎng)瀏覽學(xué)校的各類精品課程網(wǎng)站。

3.實踐性教學(xué)條件

學(xué)院報告廳周末時間可以讓學(xué)生開展學(xué)術(shù)論文報告、集中研討等活動。

（七）教材與參考資料

（1）孫文瑜，徐成賢，朱德通.最優(yōu)化方法[M].2版.北京：高等教育出版社，2010.

（2）袁亞湘，孫文瑜.最優(yōu)化理論與方法[M].北京：科學(xué)出版社，2019.

（3）CLARKE F H Optimization and Nonsmooth Analysis[M]. New York：John Wiley and Sons， 1983.

（4）NOCEDAL J， WRIGHT S J. Numerical Optimization[M]. New York： Springer， 1999.

（八）課程考核

課程論文、課程作業(yè)占20%，研討發(fā)言占20%，課程考試占閉卷考試的60%。

（九）課程學(xué)時分配

（1）優(yōu)化基礎(chǔ)理論與相關(guān)數(shù)學(xué)基本概念，4學(xué)時

研討主題：優(yōu)化方法課程與以往課程的聯(lián)系

（2）線性規(guī)劃，4學(xué)時

研討主題：線性規(guī)劃的應(yīng)用

（3）線搜索與信賴域法，6學(xué)時

研討主題：線搜索優(yōu)化方法與計算

（4）無約束最優(yōu)化方法，6學(xué)時

研討主題：無約束優(yōu)化方法新發(fā)展

（5）線性與非線性最小二乘問題，6學(xué)時

研討主題：最小二乘問題的應(yīng)用

（6）二次規(guī)劃，4學(xué)時

研討主題：經(jīng)濟學(xué)中的凸優(yōu)化理論

（7）約束最優(yōu)化的理論與方法，6學(xué)時

研討主題：約束優(yōu)化的理論與應(yīng)用

（8）非光滑優(yōu)化簡介，4學(xué)時

研討主題：非光滑優(yōu)化特征

（9）特殊結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，4學(xué)時

研討主題：特殊優(yōu)化問題的算法設(shè)計

（10）課程總結(jié)，4學(xué)時

教學(xué)內(nèi)容：各研討小組結(jié)合一個學(xué)期完成的課程研討論文，匯報課程論文與相關(guān)工作，進行綜合評價。

三、結(jié)語

通過對數(shù)值優(yōu)化方法課程的教學(xué)改革與實踐，我們加深了對研究型課程改革的認(rèn)識，體會到研究型課程教學(xué)改革的重要性與必要性，認(rèn)清教學(xué)活動的短板與改進的方向，并認(rèn)識到因材施教的重要性、學(xué)生自主學(xué)習(xí)的必要性、課外師生交流活動的靈活性以及課業(yè)考核的嚴(yán)肅性。

[ 參 考 文 獻 ]

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[3] 孫文瑜，徐成賢，朱德通. 最優(yōu)化方法[M].2版.北京：高等教育出版社，2010.

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[責(zé)任編輯：龐丹丹]