自由阻尼梁高頻能量流響應(yīng)的解析模型

滕曉艷，豐國(guó)寶，江旭東，趙賀桃

1. 哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150001 2. 哈爾濱理工大學(xué) 機(jī)械動(dòng)力工程學(xué)院，哈爾濱 150080

結(jié)構(gòu)表面阻尼覆層處理，能夠有效降低大型幅板、殼體以及桁梁等大尺寸薄壁構(gòu)件的振動(dòng)與聲輻射。因而廣泛應(yīng)用于空天飛行器、水下潛器和運(yùn)載車輛中輕質(zhì)薄壁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)與噪聲控制。高頻載荷普遍存在于上述輕薄結(jié)構(gòu)的極限工況中，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生顯著的高頻振動(dòng)響應(yīng)，進(jìn)而導(dǎo)致運(yùn)載工具內(nèi)部敏感儀器和電子設(shè)備的故障或損傷。因此，形成大阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的高頻響應(yīng)預(yù)測(cè)模型，評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)的減振、消振或隔振性能，具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。

近些年來(lái)，能量流分析方法已成為預(yù)示結(jié)構(gòu)高頻振動(dòng)響應(yīng)的重要方法。能量流分析方法忽略結(jié)構(gòu)模態(tài)的空間分布，以時(shí)空平均的能量密度和功率流為基本變量，通過(guò)波動(dòng)在結(jié)構(gòu)中的能量傳遞特性描述結(jié)構(gòu)的高頻振動(dòng)響應(yīng)。利用有限元法求解上述能量密度控制方程，將形成能量流分析模型的數(shù)值方法——能量有限元法(EFEM)[1]。蔡忠云[2]、孔祥杰[3]、王迪[4]等建立了復(fù)合材料結(jié)構(gòu)梁與阻尼結(jié)構(gòu)梁的能量有限元模型，分析了結(jié)構(gòu)的高頻能量流響應(yīng)。Han等[5-6]研究了阻尼、橫向運(yùn)動(dòng)以及剪切剛度對(duì)桿中縱波能量傳遞與分布特性的影響。葛月等[7]分析了耦合板結(jié)構(gòu)的能量傳遞系數(shù)。孫麗萍[8]和周紅衛(wèi)[9]等推導(dǎo)了耦合板結(jié)構(gòu)彎曲振動(dòng)的能量密度控制方程，得到了控制方程的有限元解。Navazi等[10]通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了薄板結(jié)構(gòu)能量有限元模型的有效性。Seo等[11]基于板-梁連接處的功率流耦合關(guān)系，求解了板-梁耦合結(jié)構(gòu)的中、高頻功率流響應(yīng)。解妙霞[12]和Kwon[13]等根據(jù)薄殼理論和能量平衡關(guān)系，推導(dǎo)了圓柱殼及其耦合結(jié)構(gòu)的能量密度控制方程。陳書(shū)明[14]、Jandron[15]和Wu[16]等構(gòu)建了封閉聲腔的能量有限元模型，并應(yīng)用于汽車和水下潛器的振動(dòng)噪聲預(yù)報(bào)。陳兆林等[17]為了分析結(jié)構(gòu)受到高頻沖擊載荷激勵(lì)后的瞬態(tài)響應(yīng)，提出了一種基于EFEM和虛擬模態(tài)綜合法的高頻沖擊響應(yīng)分析方法。Kong等[18]通過(guò)混響波場(chǎng)的形成研究了EFEM的有效性，研究結(jié)果表明：Le和Cotoni[19-20]推導(dǎo)出基于擴(kuò)散場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)能量分析(SEA)準(zhǔn)則可以作為評(píng)價(jià)EFEA有效性的判據(jù)。

對(duì)于大阻尼結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)勢(shì)能密度和動(dòng)能密度的時(shí)空均值不再滿足相等關(guān)系，經(jīng)典的能量流分析模型[1,2,4,6-18]不再適用。文獻(xiàn)[3]忽略了結(jié)構(gòu)勢(shì)能密度和動(dòng)能密度的不等關(guān)系對(duì)能量密度控制方程的影響；同時(shí)，相比解析模型，形成的能量有限元數(shù)值模型也不利于解決大阻尼結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題。文獻(xiàn)[5]沒(méi)有考慮大阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的等效參數(shù)對(duì)能量密度控制方程的影響，不適于求解自由阻尼結(jié)構(gòu)的高頻振動(dòng)問(wèn)題。

因此，本文將考慮大阻尼條件下結(jié)構(gòu)勢(shì)能密度和動(dòng)能密度的顯著差異對(duì)系統(tǒng)耗散功率的影響，通過(guò)等效剛度法確定附加阻尼結(jié)構(gòu)的等效復(fù)剛度和損耗因子，構(gòu)建大阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的能量密度控制方程，推導(dǎo)阻尼材料不連續(xù)處的能量傳遞特性和耦合關(guān)系，解析求解完全自由阻尼梁和局部自由阻尼梁的高頻能量流響應(yīng)。對(duì)比提出的能量流解析解與經(jīng)典的時(shí)空平均波動(dòng)解，檢驗(yàn)自由阻尼梁高頻能量流響應(yīng)的解析模型的有效性。

1 完全自由阻尼梁的高頻能量流響應(yīng)

1.1 等效復(fù)彎曲剛度與損耗因子

圖1為完全自由阻尼梁斷面圖，基梁表面完全敷設(shè)阻尼層。基梁與自由阻尼層的厚度分別為hb和hd，基梁的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，寬度為b，中性層高度為hN。約定在后續(xù)的公式推導(dǎo)中，和基梁相關(guān)的量以下標(biāo)s標(biāo)識(shí)，而和阻尼層相關(guān)的量以下標(biāo)d標(biāo)識(shí)，上標(biāo)*表示物理量的復(fù)數(shù)形式。

圖1 完全自由阻尼梁斷面圖Fig.1 Section view of a beam with full free layer damping

在dx微段內(nèi)，彎曲波作用下軸向纖維ab的變形ε與應(yīng)力σi為

(1)

式中：w(x,t)為完全自由阻尼梁在彎曲波作用下的橫向位移;ω為激振力頻率;Ei為阻尼層和基梁的彈性模量。

若完全自由阻尼梁內(nèi)縱向力合力為零，則有

(2)

由此，中性層高度為

(3)

(4)

完全自由阻尼梁內(nèi)軸截面上的復(fù)彎矩與曲率成正比，則有

(5)

式中：Deq為完全自由阻尼梁的等效復(fù)彎曲剛度。

將式(1)代入式(4)，并聯(lián)立式(5)，則有

(6)

由此，完全自由阻尼梁等效復(fù)彎曲剛度為

(7)

另外，根據(jù)等效復(fù)彎曲剛度式(7)，完全自由阻尼梁結(jié)構(gòu)的等效損耗因子為

(8)

式中：Re(·)和Im(·)分別為取復(fù)數(shù)實(shí)、虛部的函數(shù)。

1.2 能量密度控制方程

圖2為完全自由阻尼梁結(jié)構(gòu)，兩端簡(jiǎn)支，基梁長(zhǎng)度為L(zhǎng)，于x=x0處作用了激振力頻率為ω(ω=

圖2 完全自由阻尼梁Fig.2 A beam with full free layer damping

2πf)的簡(jiǎn)諧力F(x0)ejωt，產(chǎn)生的輸入功率為πin。

完全自由阻尼梁的橫向彎曲振動(dòng)方程為[3]

(9)

式中：于x=x0處作用的簡(jiǎn)諧力幅值為F(x0)，meq=ρdSd+ρbSb為完全自由阻尼梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度上的等效質(zhì)量，其中ρd、ρb分別為阻尼層和基梁的密度，Sd、Sb分別為阻尼層和基梁的橫截面積。

根據(jù)式(9)，完全自由阻尼梁的橫向振動(dòng)位移的波動(dòng)解表示為

(10)

式中：A、B、C、D為由邊界條件確定的待定系數(shù)；kf為復(fù)彎曲波數(shù)，表達(dá)式為

(11)

其中：kf1和kf2為復(fù)彎曲波數(shù)的實(shí)部與虛部。

另外，彎曲波在完全自由阻尼梁中復(fù)波速表示為

(12)

彎曲波在完全自由阻尼梁傳播時(shí)，結(jié)構(gòu)的能量密度為彎曲變形能密度Uf和動(dòng)能密度Vf之和，經(jīng)時(shí)間平均處理后，能量密度表示為[21]

〈ef〉=

(13)

式中：( )′為共軛算子；〈 〉為時(shí)間平均算子。

時(shí)間平均處理后的能量流表示為[21]

〈qf〉=

(14)

(15)

(16)

式中：α1、α2為幅值系數(shù)。

聯(lián)立式(15)和式(16)，能量密度和能量流的時(shí)空均值存在如下關(guān)系：

(17)

式中：φ=arctanηeq為自由阻尼結(jié)構(gòu)的阻尼角。

另外，類似于結(jié)構(gòu)能量密度的時(shí)空平均處理，彎曲變形能密度Uf和動(dòng)能密度Vf時(shí)空均值分別為

(18)

(19)

根據(jù)Lase等[22]，系統(tǒng)耗散功率πdiss正比于激振頻率和勢(shì)能密度，則有

πdiss=2ηωU

(20)

式中：U為勢(shì)能密度。

對(duì)于小阻尼結(jié)構(gòu)，動(dòng)能密度與勢(shì)能密度相等，式(20)轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

πdiss=ηωe

(21)

式中：e為結(jié)構(gòu)能量密度。

對(duì)于大阻尼結(jié)構(gòu)，式(21)已不再適用，文獻(xiàn)[3]的能量有限元模型采用式(21)描述附加自由阻尼結(jié)構(gòu)的耗散功率，忽略了動(dòng)能密度與勢(shì)能密度差異對(duì)耗散功率的影響。

由此，將大阻尼結(jié)構(gòu)勢(shì)能密度式(18)代入系統(tǒng)耗散功率式(20)，則有

(22)

對(duì)于穩(wěn)態(tài)彈性振動(dòng)系統(tǒng)，能量流平衡方程表示為

(23)

將式(17)、式(22)代入式(23)，完全自由阻尼梁結(jié)構(gòu)的能量密度控制方程為

(24)

對(duì)比文獻(xiàn)[5]，式(20)充分考慮了大阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的等效參數(shù)對(duì)能量密度控制方程的影響，更適于描述完全自由阻尼梁的高頻能量流特性。

如圖2所示，將完全自由阻尼梁劈分為①、②兩部分，對(duì)應(yīng)的橫向位移分別為wf1(x,t)和wf2(x,t)，交界面x=x0處滿足橫向位移和轉(zhuǎn)角的連續(xù)性，以及彎矩和剪力的平衡條件，則有

wf1(x0,t)=wf2(x0,t)

(25)

(26)

(27)

(28)

因此，聯(lián)立式(10)、式(25)～式(28)就可獲得完全自由阻尼梁的解析波動(dòng)解。將波動(dòng)解分別代入到式(13)、式(15)，即可獲得完全自由阻尼梁的時(shí)域平均波動(dòng)解與時(shí)空平均波動(dòng)解。

1.3 能量流分析

如圖2所示，以簡(jiǎn)諧力作用點(diǎn)為界限，將組合梁分割為①、②兩個(gè)子結(jié)構(gòu)。約定下標(biāo)1、2分別表示依附于梁①、②的各物理量。由式(24)，梁①、②的的能量密度解表示為

(29)

式中：Ffi1、Ffi2為由邊界條件確定的待定系數(shù)，i=1，2；λf為式(24)的特征值。

將式(29)代入式(24)，則有

(30)

然后，將式(29)、式(30)代入式(17)，能量流表示為

(31)

(32)

對(duì)于兩端簡(jiǎn)支邊界條件，能量流滿足如下邊界條件：

(33)

對(duì)于系統(tǒng)輸入功率作用點(diǎn)，同時(shí)滿足能量密度連續(xù)性條件和能量平衡條件，則有

(34)

(35)

完全自由阻尼梁結(jié)構(gòu)的輸入功率為[23]

(36)

由此，聯(lián)立式(29)～式(36)，確定了完全自由阻尼梁的高頻能量流響應(yīng)。

2 局部自由阻尼梁的高頻能量流響應(yīng)

2.1 能量傳遞系數(shù)

在航空航天工程中，往往在輕薄結(jié)構(gòu)的聲振性能最薄弱的區(qū)域敷設(shè)阻尼層，因而預(yù)示局部自由阻尼梁的高頻振動(dòng)具有重要的工程價(jià)值。如圖3所示，在基梁系統(tǒng)輸入功率附近敷設(shè)自由阻尼層。當(dāng)彎曲波傳遞到阻尼層兩端界面時(shí)，由于界面附近幾何、力學(xué)特性的不連續(xù)性，入射的彎曲波將產(chǎn)生負(fù)向的反射波與正向透射波。因此，將局部自由阻尼梁分割為①～④4個(gè)部分，利用能量流平衡關(guān)系建立各個(gè)子結(jié)構(gòu)的耦合關(guān)系，結(jié)合能量密為了確定彎曲波在阻尼兩端的能量傳遞特性，分析如圖4所示的無(wú)限長(zhǎng)局部自由阻尼梁結(jié)構(gòu)，在坐標(biāo)原點(diǎn)處分割為基梁和完全自由阻尼梁，以編號(hào)①、②表示兩段半無(wú)限梁。入射彎曲波A1入射至阻尼界面，在①中產(chǎn)生負(fù)向反射波B1和漸逝波D1，在②中形成正向透射波A2和漸逝波C2。

圖3 局部自由阻尼梁Fig.3 A beam with partial free layer damping

度控制方程求解局部自由度阻尼梁的能量流響應(yīng)。另外，約定下標(biāo)1～4分別表示依附于梁①～④的各物理量。

由此，半無(wú)限梁①、②的橫向振動(dòng)位移的波動(dòng)解表示為

(37)

(38)

式中：A1、B1、D1和A2、C2為待定系數(shù)；kfb為基梁(半無(wú)限梁①)的彎曲波波數(shù)。

阻尼交界面x=0處滿足橫向位移和轉(zhuǎn)角的連續(xù)性，以及彎矩和剪力的平衡條件，則有

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

在阻尼交界面x=0處的入射彎曲波、反射彎曲波和透射彎曲波滿足如下能量平衡關(guān)系：

(44)

將式(37)、(38)代入式(39)～式(42)，并結(jié)合式(43)，可得半無(wú)限梁①至②的彎曲波能量流透射

圖4 彎曲波的透射與反射Fig.4 Transmitted and reflected flexural waves

系數(shù)τff12、反射系數(shù)γff11分別為

(45)

(46)

2.2 能量流分析

對(duì)于兩端簡(jiǎn)支邊界條件，圖3中梁①和④能量流qp1、qp4滿足如下邊界條件：

(47)

對(duì)于系統(tǒng)輸入功率作用點(diǎn)，圖3梁②、③的能量密度ep2、ep3，功率流qp2、qp3分別滿足能量密度連續(xù)性條件和能量平衡條件，則有

(48)

(49)

(50)

對(duì)于梁①和②交界面x=x1處，流出交界面一側(cè)的能量平衡關(guān)系為

(51)

(52)

式中：γff22為梁②至①的彎曲波能量流反射系數(shù)，τff21為梁②至①的彎曲波能量流透射系數(shù)。

對(duì)于梁③和④交界面x=x2處，流出交界面一側(cè)的能量平衡關(guān)系為

(53)

(54)

式中：γff33、γff44分別為梁③至④，梁④至③彎曲波能量流的反射系數(shù)；τff34、τff43分別為梁③至④，梁④至③彎曲波能量流的透射系數(shù)。

另外，結(jié)合式(44)～式(46)，對(duì)于保守的一維振動(dòng)梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，能量傳遞系數(shù)滿足如下關(guān)系：

圖5 彎曲波能量傳遞Fig.5 Power transfer of flexural wave

(55)

由此，聯(lián)立式(31)、式(36)以及式(47)～式(55)，則可求解局部自由阻尼梁的高頻能量流響應(yīng)。對(duì)于局部自由阻尼梁的波動(dòng)解，利用①～④交界面處的連續(xù)性條件與平衡條件，結(jié)合波動(dòng)解的形式獲得。

3 數(shù)值算例

為了檢驗(yàn)提出的自由阻尼梁高頻能量流響應(yīng)的解析模型的有效性，以完全自由阻尼梁和局部自由阻尼梁結(jié)構(gòu)為數(shù)值算例，對(duì)比分析上述2種典型工程結(jié)構(gòu)的能量流解析解和時(shí)空平均的波動(dòng)解。其中，時(shí)空平均的波動(dòng)解為其時(shí)域平均的能量密度在本地一個(gè)波長(zhǎng)的空間平均。

3.1 完全自由阻尼梁

完全自由阻尼梁中心承受幅值F=1 N的簡(jiǎn)諧載荷(如圖2所示)，激振頻率f=0.5、2、4、6 kHz， 能量密度參考值eref=10-12J/m?；旱拈L(zhǎng)度L=1 m，寬度b=0.008 m，厚度hb=0.002 m?；航Y(jié)構(gòu)的材料密度ρb=2 700 kg/m3，彈性模量Eb=71 GPa，損耗因子ηb=0.01。自由阻尼層的厚度hd=0.004 m，材料密度ρd=980 kg/m3，彈性模量Ed=0.33 GPa，損耗因子ηd=1.3。

能量流解析模型的能量密度表征某一點(diǎn)附近一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)的能量密度均值，因而并不代表該點(diǎn)的能量密度均值。圖6為完全自由阻尼梁在不同激振頻率簡(jiǎn)諧力作用下的能量密度分布，能量流解析解反映了時(shí)空平均波動(dòng)解的整體變化趨勢(shì)，而且隨著激振頻率的增加，兩者的差異逐漸減小。同時(shí)，由于載荷、邊界與結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，高頻能量流響應(yīng)呈現(xiàn)對(duì)稱關(guān)系。此外，由于能量流解析解忽略了近場(chǎng)解的影響，在激勵(lì)作用點(diǎn)和兩端約束處與時(shí)空平均波動(dòng)解的差異最大。

3.2 局部自由阻尼梁

如圖3所示，局部自由阻尼梁的中部區(qū)域(0.25～0.75 m 區(qū)間)敷設(shè)黏彈性自由阻尼層，結(jié)構(gòu)其它幾何尺寸，材料特性以及載荷工況均與完全阻尼梁結(jié)構(gòu)相同。

圖6 不同激振頻率下完全自由阻尼梁的能量密度分布Fig.6 Energy density distribution of a beam with full free layer damping under different excited frequency

圖7為局部自由阻尼梁在不同激振頻率簡(jiǎn)諧力作用下的能量密度分布，與完全自由阻尼梁相比，阻尼層長(zhǎng)度的減小削弱了能量衰減作用，引起局部自由阻尼梁的振動(dòng)更為劇烈；在阻尼層的兩端，波數(shù)的改變引起能量密度的不連續(xù)。能量流解析解仍然反映了時(shí)空平均波動(dòng)解的整體變化趨勢(shì)，隨著激振頻率的增加，兩者的差異逐漸減小。鑒于載荷、邊界與結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，高頻能量流響應(yīng)呈現(xiàn)對(duì)稱關(guān)系。由于能量流解析解忽略了近場(chǎng)解的影響，在阻尼層兩端和兩端約束處與時(shí)空平均波動(dòng)解的差異最大。

圖7 不同激振頻率下局部自由阻尼梁的能量密度分布Fig.7 Energy density distribution of a beam with partial free layer damping under different excited frequency

由此，通過(guò)以上典型算例，本文提出的能量流解析模型能夠較為精確地預(yù)測(cè)自由阻尼梁等大阻尼結(jié)構(gòu)的高頻能量流響應(yīng)，反映結(jié)構(gòu)高頻振動(dòng)下的能量分布規(guī)律。

4 結(jié) 論

為了預(yù)測(cè)自由阻尼梁在高頻激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)，推導(dǎo)了大阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的能量密度控制方程，對(duì)比分析了本文提出的能量流解析解與經(jīng)典的時(shí)空平均波動(dòng)解，獲得了如下的研究結(jié)論：

1) 構(gòu)建了完全自由阻尼梁的高頻能量流解析模型，求解了結(jié)構(gòu)的高頻振動(dòng)特性。數(shù)值結(jié)果表明，能量流解析解與經(jīng)典的時(shí)空平均波動(dòng)解一致，而且隨著激振頻率的增加，兩者差異逐漸減小。

2) 分析了彎曲波在阻尼結(jié)構(gòu)耦合處的能量傳遞特性，構(gòu)建了局部自由阻尼梁的高頻能量流解析模型，求解了結(jié)構(gòu)的高頻振動(dòng)特性。數(shù)值結(jié)果表明，隨著激振頻率的增加，能量流解析解與經(jīng)典的時(shí)空平均波動(dòng)解一致逼近，計(jì)算誤差逐漸減小。

綜上，本文提出的解析模型為能量流分析方法應(yīng)用于大阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的高頻振動(dòng)響應(yīng)預(yù)報(bào)提供了借鑒，為結(jié)構(gòu)的阻尼減振設(shè)計(jì)優(yōu)化提供了可靠的計(jì)算模型。