壓電微夾鉗的遲滯及蠕變補(bǔ)償

盧志誠(chéng)，劉文翠，惠相君，周鵬飛，孫靖康，汪家樂，崔玉國(guó)

(1. 寧波大學(xué) 機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院，浙江 寧波 315211；2. 首信自動(dòng)化有限公司，河北 遷安 064400)

0 引言

微夾鉗作為微裝配與微操作的末端執(zhí)行器，在微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)裝配中可用來(lái)夾持微小零件,然后裝配成微部件、微系統(tǒng)[1]。在生物工程中，微夾鉗可用來(lái)捕捉、搬運(yùn)細(xì)胞[2]。按照驅(qū)動(dòng)方式不同，微夾鉗可分為真空吸附式、電磁式、形狀記憶合金式、靜電式、電熱式及壓電式。壓電微夾鉗由于響應(yīng)速度快，結(jié)構(gòu)緊湊，驅(qū)動(dòng)力大，成本低，因而更具優(yōu)勢(shì)。

壓電材料因具有明顯的非線性(包括遲滯特性和蠕變特性)而影響了壓電微夾鉗工作時(shí)的準(zhǔn)確性。為了改善這一現(xiàn)象，研究人員針對(duì)壓電執(zhí)行器的遲滯及蠕變補(bǔ)償展開了相關(guān)的研究。李朋志等[3]提出了周期軌跡跟蹤的動(dòng)態(tài)模糊系統(tǒng)(DFS)前饋與Prandtl-Ishlinskii(PI)模型相結(jié)合的控制方法，在2 μm的最大位移下，壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的遲滯誤差降至5.1 nm。Liu等[4]采用雙對(duì)數(shù)模型描述了壓電驅(qū)動(dòng)器的蠕變特性，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了模型的有效性。Orszulik等[5]提出了改進(jìn)的PI遲滯模型，使之能夠擬合非對(duì)稱的遲滯環(huán)。Zhu等[6]采用Bouc-Wen模型對(duì)壓電驅(qū)動(dòng)器的遲滯特性進(jìn)行建模，并通過前饋控制對(duì)遲滯非線性進(jìn)行了補(bǔ)償。趙廣義等[7]采用Preisach模型建立壓電陶瓷執(zhí)行器的遲滯模型，進(jìn)而基于逆模型進(jìn)行控制，在10 μm的位移下，最大遲滯誤差為5.99%。Wang等[8]分別采用Preisach模型與非線性彈性模型來(lái)描述壓電驅(qū)動(dòng)器的遲滯與蠕變特性，并建立逆模型補(bǔ)償了遲滯及蠕變特性。

本文在考慮壓電材料遲滯曲線非對(duì)稱性的前提下，為提高微夾鉗遲滯模型的精度，采用PI遲滯模型對(duì)微夾鉗的升回程位移分別建模，進(jìn)而根據(jù)辨識(shí)得到的逆模型來(lái)補(bǔ)償微夾鉗的遲滯誤差。同時(shí)，兼顧模型簡(jiǎn)單及精度較高的考慮，以二階慣性環(huán)節(jié)來(lái)建立并辨識(shí)微夾鉗的蠕變特性，進(jìn)而基于所設(shè)計(jì)的無(wú)需求逆的蠕變控制器來(lái)補(bǔ)償微夾鉗的蠕變誤差。

1 微夾鉗結(jié)構(gòu)及運(yùn)動(dòng)原理

1.1 微夾鉗結(jié)構(gòu)

圖1為本文壓電微夾鉗示意圖。鉗指包括2片壓電陶瓷晶片及一片黃銅基板。定位塊用來(lái)固定左、右鉗指，并使左、右鉗指間具有一定的初始間隙。底座一方面用來(lái)同壓板和預(yù)緊螺釘相結(jié)合，對(duì)2鉗指進(jìn)行預(yù)緊；另一方面，通過其末端的沉頭通孔，將微夾鉗安裝固定于其前一級(jí)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)上。微夾鉗整體尺寸為44.5 mm×13.5 mm×14.5 mm。

圖1 微夾鉗

1.2 微夾鉗運(yùn)動(dòng)原理

圖2為微夾鉗鉗指運(yùn)動(dòng)的原理圖。圖中，P表示壓電晶片電極化方向，E表示電場(chǎng)方向。由圖可知，當(dāng)同時(shí)給構(gòu)成微夾鉗鉗指的2晶片施加方向相反的驅(qū)動(dòng)電壓u(t)時(shí)，上晶片伸長(zhǎng)，但又因上晶片下表面與黃銅基板上表面固定，則使上晶片向下彎曲δ(t);下晶片縮短，又因下晶片上表面與黃銅基板下表面固定，則使下晶片向下彎曲，由此驅(qū)動(dòng)鉗指產(chǎn)生向下的彎曲變形。另一方面，當(dāng)構(gòu)成微夾鉗另一鉗指的2晶片極化方向與圖2所示的2晶片極化方向相反時(shí)，在電壓作用下，鉗指向上彎曲變形，從而使兩鉗指實(shí)現(xiàn)夾持動(dòng)作。

圖2 鉗指運(yùn)動(dòng)原理圖

2 微夾鉗遲滯補(bǔ)償

2.1 遲滯建模

PI遲滯模型由于無(wú)累計(jì)誤差，且參數(shù)較少，因而常用來(lái)描述對(duì)象的遲滯特性。它屬于算子模型，由多個(gè)Backlash算子加權(quán)后來(lái)擬合遲滯非線性。單個(gè)Backlash算子如圖3所示，其輸出為

y(t)=H[x,y0](t)=w·max{x(t)-r,

min[x(t)+r,y(t-T)]}

(1)

式中：H為遲滯算子；x、y分別為Backlash算子的輸入、輸出；y0為算子輸出的初始值；w、r分別為Backlash算子的權(quán)重、閾值；T為采樣周期。

圖3 Backlash算子

n個(gè)Backlash算子加權(quán)疊加構(gòu)成PI遲滯模型可表示為

ri,yi(t-T)]}

(2)

如圖4所示，當(dāng)輸入為ri(即式(2)中的x(t))時(shí)，輸出φ(r)(即式(2)中的y(t))為

(ri≤r

(3)

r可通過選取一定算子數(shù)n后，通過等分閾值來(lái)確定值。w可根據(jù)PI遲滯模型與實(shí)測(cè)遲滯曲線擬合得到。

圖4 PI遲滯模型計(jì)算示意圖

根據(jù)式(3)采用升回程分別建模的方法來(lái)建立微夾鉗遲滯模型。對(duì)壓電微夾鉗施加波峰為90 V、60 V、30 V的變幅值三角波電壓，得到鉗指位移遲滯曲線。利用Backlash算子疊加擬合遲滯曲線，算子過多會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量過大，而算子過少將造成擬合精度不夠，影響控制結(jié)果。綜合考慮后選定為22個(gè)算子，通過最小二乘法辨識(shí)出各個(gè)算子的權(quán)重。圖5為壓電微夾鉗遲滯曲線的實(shí)測(cè)值與模型值，模型值相對(duì)于實(shí)測(cè)值的最大誤差為2.17 μm。

圖5 鉗指位移的實(shí)測(cè)值及模型值

2.2 遲滯補(bǔ)償

實(shí)際補(bǔ)償時(shí)用PI遲滯模型的逆模型，它與PI遲滯模型互為反函數(shù)，如圖6所示。PI遲滯模型的逆模型可表達(dá)為

(4)

式中：φ′(r′)為φ(r)的反函數(shù);w′、r′分別為遲滯逆模型中的權(quán)重與閾值。若將w′、r′求出，即可確定PI遲滯逆模型。

圖6 PI模型及其逆模型

由于PI正模型及其逆模型互為反函數(shù)，于是逆模型的閾值即為正模型的輸出：

(5)

同樣，由于PI正模型及逆模型互為反函數(shù)，故在相同閾值處的斜率(即該閾值處的權(quán)重和)互為倒數(shù)。由式(3)可得

(6)

由式(4)可得逆模型的權(quán)重和為

(7)

PI逆模型的權(quán)重與PI模型的權(quán)重互為倒數(shù)，進(jìn)而由式(6)、(7)可得

(8)

當(dāng)i=0時(shí)，有

(9)

當(dāng)i>0時(shí)，由式(8)可得

(10)

當(dāng)求得PI逆模型的閾值與權(quán)重后，根據(jù)式(4)可求得用于補(bǔ)償微夾鉗遲滯特性的控制電壓。圖7為將該控制電壓作用于微夾鉗后對(duì)鉗指位移的控制結(jié)果。由圖可知，遲滯被補(bǔ)償后，鉗指實(shí)際輸出位移相對(duì)于目標(biāo)位移的誤差顯著減小，由補(bǔ)償前的-11.8～10.7 μm減小為-1.7～1.0 μm。

圖7 鉗指位移的遲滯補(bǔ)償結(jié)果

3 微夾鉗蠕變補(bǔ)償

微夾鉗在進(jìn)行微操作(如裝配微零件、捕捉細(xì)胞)時(shí)是一種精細(xì)操作，需一定的時(shí)間才能完成。當(dāng)時(shí)間較長(zhǎng)時(shí)，壓電材料便表現(xiàn)出明顯的蠕變特性。若不對(duì)蠕變特性所產(chǎn)生的蠕變誤差進(jìn)行補(bǔ)償，就會(huì)降低微夾鉗的操作精度。

3.1 蠕變建模

圖8為壓電微夾鉗在持續(xù)時(shí)間900 s、幅值20 V的階躍電壓作用下鉗指的輸出位移。由圖可知，在900 s內(nèi)，鉗指位移發(fā)生了約4 μm的蠕變。

圖8 鉗指位移的實(shí)測(cè)蠕變

觀察圖8的蠕變曲線，其趨勢(shì)呈現(xiàn)出慣性環(huán)節(jié)的特性。為此，采用慣性環(huán)節(jié)來(lái)描述微夾鉗的蠕變特性，并通過MATLAB辨識(shí)工具箱來(lái)辨識(shí)微夾鉗的蠕變模型。當(dāng)用一階慣性環(huán)節(jié)來(lái)辨識(shí)時(shí)，蠕變模型相對(duì)于實(shí)測(cè)蠕變曲線的擬合度僅為77.68%；用二階慣性環(huán)節(jié)時(shí)，擬合度為94.02%；用三階慣性環(huán)節(jié)時(shí)，擬合度為96.96%。綜合考慮模型的精度及階數(shù)，這里采用二階慣性環(huán)節(jié)來(lái)描述微夾鉗的蠕變特性，其蠕變模型可表示為

(11)

式中p1、p2、z為待定系數(shù)。

根據(jù)圖8所測(cè)得的微夾鉗蠕變曲線(見圖8中虛線框)，辨識(shí)所得到蠕變模型為

(12)

圖9為微夾鉗蠕變特性的實(shí)測(cè)值與模型值。由圖可知最大擬合誤差為0.05 μm。

圖9 鉗指位移蠕變的實(shí)測(cè)值與模型值

3.2 蠕變補(bǔ)償

當(dāng)微夾鉗存在蠕變特性時(shí)，其數(shù)學(xué)模型可用線性輸出和非線性輸出兩部分來(lái)描述(見圖10中右虛線框)，其中非線性部分用來(lái)描述蠕變特性。圖10中，num(s)與den(s)分別為蠕變模型中的分子與分母。其微夾鉗的數(shù)學(xué)模型可表示為

(13)

式中：k為微夾鉗鉗指位移與驅(qū)動(dòng)電壓之間的比例系數(shù)；Δ(s)，U(s)分別為復(fù)數(shù)域內(nèi)的微夾鉗鉗指輸出位移和作用于鉗指上的驅(qū)動(dòng)電壓。

圖10 蠕變補(bǔ)償原理

根據(jù)圖10給出的微夾鉗蠕變特性的數(shù)學(xué)模型，可設(shè)計(jì)出無(wú)需求逆的蠕變補(bǔ)償器(見圖10中左虛線框)。該蠕變補(bǔ)償器可表示為

(14)

式中Uc(s)為系統(tǒng)蠕變控制前的輸入電壓。

由于本文壓電微夾鉗的蠕變模型為二階慣性系統(tǒng)，極點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)，且輸入為階躍電壓，式(14)可進(jìn)一步表示為

(15)

式中：p3、p4分別為蠕變模型的2個(gè)極點(diǎn)；a，b，c均為待定常數(shù)，其值可根據(jù)復(fù)數(shù)域算子所對(duì)應(yīng)的階次系數(shù)來(lái)求解。

對(duì)式(15)進(jìn)行拉普拉斯反變換，有

(16)

式中u(t)為蠕變補(bǔ)償器在時(shí)間域的輸出電壓。

圖11為在上述補(bǔ)償電壓作用下，微夾鉗鉗指的實(shí)際輸出位移。由圖可知，經(jīng)蠕變補(bǔ)償后，在900 s作用時(shí)間內(nèi)，鉗指位移的蠕變由補(bǔ)償前的4 μm幾乎減小為0。

圖11 鉗指位移蠕變的補(bǔ)償結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

本文采用PI模型對(duì)壓電微夾鉗位移遲滯特性的升程與回程進(jìn)行分段建模，進(jìn)而更好地?cái)M合其非對(duì)稱的遲滯特性。辨識(shí)出各參數(shù)值后計(jì)算出PI逆模型。通過PI逆模型求得用于補(bǔ)償系統(tǒng)遲滯特性的控制電壓，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的遲滯補(bǔ)償。然后，以一個(gè)二階慣性環(huán)節(jié)描述系統(tǒng)的蠕變特性，設(shè)計(jì)出無(wú)需求逆的蠕變控制器，完成了對(duì)壓電微夾鉗鉗指蠕變非線性的補(bǔ)償。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在最大位移為120 μm的情況下，鉗指位移的遲滯誤差由補(bǔ)償前的-11.8～10.7 μm減小為-1.7～1.0 μm；在900 s的作用時(shí)間內(nèi)，鉗指位移的蠕變由補(bǔ)償前的4 μm幾乎減小為0。