END隨機變量陣列加權(quán)和完全收斂性

張 玉

(巢湖學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽 合肥，238024)

概率極限理論最初研究時往往要限定隨機變量是相互獨立的，但實際應用中獨立的條件太苛刻，無法滿足現(xiàn)實的需要，進而概率論極限研究的學者們提出相依序列、混合序列的概念。最初研究的相依序列是負相協(xié)(negative association，NA)隨機變量，后來學者們又提出負超可加相依（negatively superadditive dependent，NSD）隨機變量、負象限相依（negatively orthant dependent，NOD）隨機變量、正相協(xié)（positive association，PA）隨機變量、推廣的負象限相依(extended negatively dependent，END)隨機變量，相依序列在金融數(shù)學、保險、可靠性理論中應用廣泛。其中END隨機變量包含獨立隨機變量、NOD隨機變量、NA隨機變量，本文主要討論END隨機變量陣列的收斂性質(zhì)。

1 相關(guān)定義

隨機變量序列{Xn,n≥1}稱為是END的，如果任意有限個隨機變量是END的；隨機變量陣列{Xni,i≥1,n≥1}稱為是END的，如果隨機變量序列{Xn,n≥1}是END的。

完全收斂性是由Robbins和許寶祿[1]提出的。后來很多概率極限研究者對其進行了研究，邱德華等[2]利用END隨機變量序列的Rademacher-Menshov型矩不等式獲得了移動平均過程部分和最大值的完全收斂性。郭明樂等[3]研究了行為NA隨機變量陣列加權(quán)和的完全收斂性的充分條件。邱德華[4]研究了NOD隨機變量陣列加權(quán)乘積和的完全收斂性。鄭璐璐等[5]研究了NSD隨機變量加權(quán)和完全收斂性。白志東等[6]研究了獨立和的完全收斂性。kuczmaszewska[7]研究了NA隨機變量陣列的完全收斂性。吳群英等[8]研究了φ-混合序列的完全收斂性和強收斂性。楊善朝[9]研究了PA序列部分和的完全收斂性。邵啟滿[10]研究了ρ-混合序列的完全收斂性。Wang和Hu[11]研究了一類隨機變量序列完全矩收斂性和完全收斂性的等價關(guān)系。本文借助END隨機變量的截尾技術(shù),利用Rosenthal型最大值不等式研究END隨機變量序列較弱條件下的完全收斂性。這和[3]相比條件較弱，不需要過多的收斂條件，和[5]相比，是將利用隨機變量的尾截技術(shù)證明混合序列完全收斂性的方法推廣到相依隨機變量序列。

2 引理

首先給出本文證明用到的引理：

引理1[2]如果隨機變量(X1,X2,……,Xn)是END的，且g1,g2,……,gn都是非降函數(shù)，則(g1(X1)),g2(X2),……,gn(Xn)也是END變量。

3 主要結(jié)果

本文的主要結(jié)果如下：

證明根據(jù)(3)、(5)式，可得到：

記

根據(jù)集合之間的運算關(guān)系易知，對任意的ε＞0

所以

又由(6)式可得

根據(jù)引理1，引理2，Markov不等式，Cr不等式，(6)，(7)式得

根據(jù)定理1很容易得出推論結(jié)論。

證明此定理的證明和定理1的證明有相同之處，可以根據(jù)定理1的證明過程得出Ii＜∞。

下面只證明不同之處。

根據(jù)引理1，引理2，Markov不等式，Cr不等式，(6)，(7)以及(13)式得：

根據(jù)定理2很容易得出推論結(jié)論。

4 小結(jié)

文章通過對END隨機變量陣列的收斂性質(zhì)進行研究，采用Rosenthal型最大值不等式、隨機變量尾截技術(shù)獲得了較弱條件下END隨機變量的完全收斂性，擴展了相依序列的收斂性質(zhì)，這給統(tǒng)計學中參數(shù)回歸模型、非參數(shù)回歸模型等的研究提供有利的理論依據(jù)，具有一定的實際意義。