(（a²+1）/(a+1))(a>-1)最小值的幾種求法

鄧波

摘要：本文給出了求代數(shù)式a2+1/a+1（a>-1）的最小值的五種解法.

關(guān)鍵詞：最小值;解法;函數(shù)單調(diào)性

1題目呈現(xiàn)

題目已知a>0，b>0，c>0且a+b+c=1.（I）求證：va+b→+vc≤√3;

（I）若c=ab，d=a+b，求d的最小值.

2解法探究

對(duì)第二個(gè)問(wèn)題，不考慮其他（可能更簡(jiǎn)單的）解法，只考慮把d=a+b化為一個(gè)變量（或者叫做單變量）a的函數(shù)（解析式）.因?yàn)閍+b+ab=1，所以b（a+1）=1-a，即b=1-a/a+1所以d=a+b=a+1-aa+1這樣就需考慮求a2+1/a+1（a>0）的最小值.

現(xiàn)在把a(bǔ)的范圍擴(kuò)大到a>-1，不影響結(jié)論及解法.

解法1（算術(shù)平均+幾何平均不等式法）a2+1a+1a2-1+222a+1=a-1+a+1=-2+（a+1）+-a+1i≥，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a+1=-2，即a=2-1時(shí)成立.注意，當(dāng)a>-1時(shí)，a，+12a+1，a+l均為正數(shù).

解法2（一元二次方程根的判別式法）令m=a2+1a+1，變形得a2-ma+（1-m）=0，

因?yàn)殛P(guān)于a的-元次方程有實(shí)數(shù)解，所以△=（-m）2-4x1x（1-m）≥0，即m2+4m-4≥0，解之得m≥-2+212或m≤-2-22（舍去，因?yàn)閙>0）.最小值m=-2+2、2當(dāng)且僅當(dāng)△=0時(shí)成立，這時(shí)a=一m））士O_m-2+22：-1+v2，注意這時(shí)a恰好在a>-1這個(gè)范圍.

解法3（待定系數(shù)法）a+1+1_a2+k2+（1-7）a+12ak+（1-k）≥a，+1（這里k≥0為待定系數(shù)），等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=k時(shí)成立.

現(xiàn)在令2h=1-2，

得h=一2+√/22-4x1x（-1）=-1土/2.2x1

因?yàn)閗≥0，所以k=-1+√2.這時(shí)2k：=1-k：2=2（-1+√8）=-2+2、2.所以i2+1.2ka+2k=2k=a+1a+1-2+2√2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=h=-1+√2時(shí)成立。

解法4（利用函數(shù)的單調(diào)性+求導(dǎo)法）

令f（a）==（a>-1）.a+1

f'（a）=2a（a+1）-（a2+1）_a2+2a-1（a+1）2（a+1）2

令f'（a）=0，得a=-1-2或a=-1+v2.

從函數(shù)的單調(diào)性，很容易看出極小值點(diǎn)a=-1+a+12，也是最小值點(diǎn)，最小值為f（-1+v2）=“11=a+1（-1+<2）2-+1_4-22（4-2、2）2_4、2-4=-1+2+1222=2、2-2.

其實(shí)，還可以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)增（減）的定義來(lái)解。

解法5令a+1=x（>0），得‘a(chǎn)2+1a+1（x-1）2+1_x2-2x+2

=x-2+-=x+一2.22xxx2

令f（x）=x+二-2，x∈（0，+∞）.22

如果x>yf（x）-f（y）=x+一2-（y+一2）=（xxy-y）-22、2（x-y）=（x-y）（1-2二-二）=（x-y）-2xxyxy2.

顯然，x+二在整個(gè)區(qū)間（0，+∞）不是單調(diào)的（即全是單調(diào)增或單調(diào)減），但可以把（0，+∞）分成幾個(gè)單調(diào)區(qū)間.

在1-xy2中令y=x，得1一2x～

令1一x-=0，得x=v2或x=-2（舍去）.

所以區(qū)間（0，+∞）被分成兩個(gè)區(qū)間（0，√2]和[v2，+∞）（為了討論方便，允許兩個(gè)區(qū)間有公共端點(diǎn)）.

當(dāng)v2≥x>y>0時(shí)，f（x）-f（y）=（x-y）（1-2<0（因?yàn)閤y<2，-2>1，1-.2<0），f（x）單調(diào)減，xyxyxy所以x∈（0，V2]時(shí)f（x）≥f（2）;

當(dāng)x>y≥12時(shí)，f（x）-f（y）=（x-y）（0（因?yàn)閤y>2，-<1，1）>xy2>0），f（x）單調(diào)增，所以x∈[2，+∞）時(shí)，f（x）≥f（、2）.

最小值f（2）=v2+=-2=22-2.