淺談幾種基本集合的本質(zhì)

王宇卓

摘要：集合是數(shù)學(xué)中的一個基本概念，集合的思想是構(gòu)成現(xiàn)代數(shù)學(xué)的莫基石。數(shù)學(xué)中的許多問題都涉及到集合，高中的數(shù)學(xué)里面所探討的對象都能夠視為集合，我們可以用集合的表達(dá)闡述數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)中的集合思想有助于我們解決許多問題。文章將簡要介紹集合的概念、意義和本質(zhì)并列舉集合在幾種數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：集合;數(shù)學(xué);本質(zhì)

一、概念與意義

集合在數(shù)學(xué)中有著至關(guān)重要的地位，是數(shù)學(xué)這棟大廈的基石。所謂集合就是讓一些具有獨(dú)特特征的對象集合在一起。構(gòu)成集合的獨(dú)特對象就是元素。集合可以分為并集，交集，全集，差集。所謂并集就是將屬于兩個或多個不同的集合組合到一個集合里面，其實相同的元素不需要重復(fù)。交集就是將兩個或多個不同集合里的相同元素整合到一個集合里面。全集就是集合里面包含所有的元素。差集就是將兩個或多個不同的集合里面的不同元素整合到一個集合里面。集合具有確定、互異、無序的特點。

集合語言在數(shù)學(xué)語言中是非?；A(chǔ)的語言，在高中數(shù)學(xué)課本中，集合是我們學(xué)習(xí)的第一個的知識，并且集合貫穿著整個數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，比如在整數(shù)集，負(fù)數(shù)集等、平面圖片就是許多個點構(gòu)成的集合，三維圖片可以理解成二維圖形的集合等。集合的符號也是我們需要掌握的基本符號，隨著學(xué)習(xí)的逐漸深入，能夠通過集合與元素的角度來看待圖形和圖形上的點的關(guān)系。在不等式的學(xué)習(xí)中，利用集合的概念有助于我們對點集的理解。站在集合的觀點可幫助我們理解概率論中基本事件和樣本間的關(guān)系，把控互斥事件和獨(dú)立事件間的聯(lián)系。

二、集合與應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)中，任何一個板塊都有用到集合的定義以及其思想的地方。函數(shù)就是許多個點的坐標(biāo)的集合，數(shù)列就是許多元素的集合。在邏輯運(yùn)算、不等式計算、排列組合、解析幾何甚至是三維圖形中都有集合的身影。

（一）在邏輯問題中采用集合思想。在某些邏輯問題中，題目中的條件對我們來講是比較難看出，尤其是其中的充分性與必要性，假設(shè)我們采用集合的方法來解決問題，那么問題就能得到解決。例如我們舉個采用集合的方法解決邏輯條件的例子：把使命題P、4為真的對象分別看成集合A、B，則有下列結(jié)論：（1）若B等于A，則p、q互為充要條件;（2）若A包含于B，則P是q的充分而非必要條件，q是P的必要而非充分條件;（3）若A不包含于B，則p、q互為既不充分也不必要條件。

（二）集合在排列組合中的運(yùn)用。排列組合的本質(zhì)問題就是求得符合題目要求的解所構(gòu)成的集合里的所有元素的個數(shù)。因此，在排列組合的問題上能直接運(yùn)用集合的思想，在排列組合中，容斥原理是一個典型的應(yīng)用之一。所謂容斥原理就是先把滿足某個條件的所有元素的數(shù)量先算出來，接著移除在計算過程中重復(fù)計算的元素的計算方法。

（三）集合在解析幾何中的應(yīng)用。在解析幾何中，其探討的對象是一維或者二維的圖形，而這些一維或者二維的圖形都能夠視為點的集合，這種點的集合都是可以用不等式或者是二維坐標(biāo)的方程。

（四）集合在立體幾何中的應(yīng)用立體幾何就是三維圖形，這些圖形是符合一定條件的點集，若我們采用集合的思想來思考某些問題，有些問題就能迎刃而解。

三、集合的數(shù)學(xué)本質(zhì)

一般來講，數(shù)學(xué)的集合論由集合的基本概念和有序?qū)虾瘮?shù)兩個部分。集合貫穿于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)問題，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的奠基石。整個數(shù)學(xué)大部分的概念都可以用集合的表達(dá)方式來敘述，因此數(shù)學(xué)能夠在集合上構(gòu)成一個獨(dú)立的科學(xué)系統(tǒng)。事實上根據(jù)集合和有序?qū)现g的關(guān)系就能夠發(fā)現(xiàn)整個數(shù)學(xué)系統(tǒng)的構(gòu)成搭建過程。

第一我們要明確集合這部分內(nèi)容是數(shù)字化的過程：對象（集合）、運(yùn)算（集合運(yùn)算）、運(yùn)算律（集合恒等式）、演算、應(yīng)用（計數(shù)、證明恒等式、實際應(yīng)用等）。此處在標(biāo)準(zhǔn)型上少了一部分，事實上集合的計算過程是能夠有標(biāo)準(zhǔn)型的，只不過此處的標(biāo)準(zhǔn)型比不上邏輯計算的范式重要而已。根據(jù)集合的內(nèi)容和結(jié)構(gòu)能夠了解集合與命題邏輯在內(nèi)容上有著非常多相似的地方。

因為定義了集合這個基本語言，就能夠定義了含有有序?qū)系恼Z言，然后就是對關(guān)系的計算和他們計算的性質(zhì)，這些都是進(jìn)行代數(shù)處理的辦法，接著是對等價關(guān)系、偏序關(guān)系以及函數(shù)的理解。等價關(guān)系即集合上的一種特殊的二元關(guān)系，并且分類是等價關(guān)系的意義所在，這不僅是數(shù)學(xué)最基本的思想方法之一，也是挖掘數(shù)據(jù)中經(jīng)常碰到的工作，與等價關(guān)系不同的是，“排序”才是偏序關(guān)系的意義所在，這也是計算機(jī)科學(xué)中經(jīng)常研究的對象。

將函數(shù)賦予定義之后，就能對分析學(xué)展開研究。當(dāng)使用函數(shù)將二元計算進(jìn)行定義之后，就能鋪好代數(shù)學(xué)的基石。這樣分析學(xué)、代數(shù)學(xué)就都涵蓋進(jìn)來了，于是整個數(shù)學(xué)系統(tǒng)的框架就差不多構(gòu)建完成了。

集合涵蓋在集合論之中，集合論是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與根本。整個數(shù)學(xué)體系中，從基本的集合到各種關(guān)系、再到函數(shù)與計算，這些都是組成整個數(shù)學(xué)系統(tǒng)的基礎(chǔ)部分，同時也是集合的本質(zhì)所在。

四、結(jié)語

貫穿于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，每一個數(shù)學(xué)思想都值得我們認(rèn)真學(xué)習(xí)，比如集合思想，函數(shù)與方程結(jié)合的思想，數(shù)形結(jié)合的思想等等，其中集合思想是最基本的思想方法，集合思想為數(shù)和形的內(nèi)在聯(lián)系搭起了橋梁。文章從不同方面剖析集合問題，旨在經(jīng)過學(xué)習(xí)，就能讓我們了解、熟練代數(shù)的核心所在。

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