論數(shù)學(xué)教學(xué)中求初等函數(shù)不定積分的方法

(晉中師范高等專(zhuān)科學(xué)校，山西 晉中 030600)

不定積分是“數(shù)學(xué)分析”課程中一個(gè)重要內(nèi)容，是后續(xù)知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。因此，熟練掌握不定積分的計(jì)算方法是十分必要的。在不定積分教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在求解不定積分時(shí)感到困惑，不知選擇哪種方法。本文結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，介紹幾種常用的方法。

一、直接積分法

直接積分法適用于一些較簡(jiǎn)單的不定積分，被積函數(shù)經(jīng)過(guò)恒等變形后，利用基本積分公式和積分四則運(yùn)算求出不定積分，這種方法需熟練掌握基本積分公式。

=tanx-cotx+C

=x-arctanx+C

二、分部積分法

(excosx+exsinx)+C.

(excosx+exsinx)+C.

因此，當(dāng)被積函數(shù)一般為兩種不同類(lèi)型的函數(shù)乘積時(shí)，首先考慮采用分部積分法求積分，例如上述常用于消去積分中的反三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)。

三、換元積分法

(一)第一換元積分法(或稱(chēng)湊微分法)

第一換元積分法(或稱(chēng)湊微分法)，是根據(jù)一元函數(shù)的一階微分不變性的原理，轉(zhuǎn)化成求不定積分法則。它的表達(dá)式：

=G(u)+C=G[φ(x)]+C

由例5知，當(dāng)被積函數(shù)為sinmxcosnx時(shí)，拆開(kāi)奇次冪去湊微分.但是n和m都是偶數(shù)，需要用三角公式進(jìn)行降冪，例如：

等.

(二)第二換元積分法

第二換元積分法是通過(guò)變量代換(x=φ(t))，將原積分化為新變量的積分，從而化簡(jiǎn)原積分，其積分過(guò)程為：

=F(t)+C=F[φ-1(x)]+C

其實(shí)利用第二換元積分法，關(guān)鍵是尋找x=φ(t)，下面介紹幾種常用的代換：

1.三角代換，當(dāng)被積函數(shù)含有：

以上介紹的是不定積分基本的常用的計(jì)算方法，適應(yīng)性較廣。其實(shí)求解同一積分時(shí)，可能會(huì)有不同的解法，例如：

解法一：(可以采取第二換元法(三角代換))

解法二：(利用分部積分法)

故

+C

總之，無(wú)論采用哪種方法求解不定積分，最后都要把被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為積分公式表中被積函數(shù)的形式。因此，大家一定要熟悉積分公式表中被積函數(shù)的形式。并在求解不定積分過(guò)程中要善于思考、聯(lián)想和總結(jié)，做到觸類(lèi)旁通。