基于層次分析法的數(shù)值分析課程達(dá)成度方法

【摘要】 本文針對(duì)高校大學(xué)生數(shù)值分析課程成績的具體情況，提出一種基于層次分析法的數(shù)值分析課程達(dá)成度的方法.通過該方法對(duì)某班的數(shù)值分析成績有效地計(jì)算出課程達(dá)成度，找出薄弱點(diǎn)，并提出合理的建議，同時(shí)也為理工科的工程認(rèn)證提供了一種課程達(dá)成度的評(píng)價(jià)方法.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)值分析;層次分析法;課程達(dá)成度

【基金項(xiàng)目】 西安財(cái)經(jīng)學(xué)院2016年度教學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（16xcj01）;西安統(tǒng)計(jì)研究院研究項(xiàng)目（14JD02）.

在科學(xué)技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)高速發(fā)展的時(shí)代，數(shù)值分析的理論與算法已成為科學(xué)研究的主要方法之一.對(duì)高校大學(xué)生的數(shù)值分析成績，尚未建立完整、全面的成績?cè)u(píng)價(jià)方法.為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本門課程的積極性，提高實(shí)踐和創(chuàng)新能力，有效提高教學(xué)質(zhì)量，對(duì)數(shù)值分析的考試成績采用一定的數(shù)理方法，對(duì)不同的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行定量或定性的評(píng)價(jià)，分析出學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的整體掌握情況.考慮到方法的適用性和可推廣性，筆者選擇20世紀(jì)70年代初期由美國運(yùn)籌學(xué)家T.L.Saaty提出的層次分析法（Analytic Hierarchy Process，簡記AHP）來構(gòu)建數(shù)值分析課程達(dá)成度的方法，并以某班級(jí)的數(shù)值分析考試成績?yōu)槔?，運(yùn)用該方法有效地計(jì)算了某班級(jí)數(shù)值分析的課程達(dá)成度，最后給出合理的建議，同時(shí)也為理工科的工程認(rèn)證提供了一種課程達(dá)成度的評(píng)價(jià)方法.

AHP法是一種將與決策有關(guān)的元素分解成目標(biāo)、準(zhǔn)則、方案等層次，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析決策方法.選擇某高校某班的數(shù)值分析課程（總課時(shí)54）的成績數(shù)據(jù)來說明基于AHP法的數(shù)值分析課程達(dá)成度的方法.

一、建立層次結(jié)構(gòu)模型

層次結(jié)構(gòu)模型的建立是AHP法的基礎(chǔ).根據(jù)教學(xué)大綱要求，將數(shù)值分析教學(xué)內(nèi)容條理化和層次化，分解為有兩個(gè)層次的結(jié)構(gòu)模型，最上層為目標(biāo)層，最下層為準(zhǔn)則層，分為五個(gè)方面，如圖1所示.

二、構(gòu)造成對(duì)比較陣

成對(duì)比較陣的構(gòu)造是AHP法的關(guān)鍵.從層次結(jié)構(gòu)模型的第2層開始，對(duì)從屬于上一層 O每個(gè)因素的同一層諸因素，用成對(duì)比較法和1-9比較尺度構(gòu)造成對(duì)比較陣，取兩個(gè)因素Ci和Cj，i，j=1，…，5，用aij，i，j=1，…，5，表示Ci和Cj，i，j=1，…，5對(duì)O的影響之比，直到最下層.

根據(jù)數(shù)值分析內(nèi)容的重要程度及相互影響關(guān)系構(gòu)造成對(duì)比較陣.插值法是一種逼近函數(shù)的構(gòu)造方法，故C1對(duì)C2的影響稍強(qiáng)，選取a12=3;數(shù)值積分是基于插值原理推導(dǎo)出來的，故插值法對(duì)數(shù)值積分的影響較強(qiáng)，選取a13=5;處理數(shù)值積分的基本方法就是逼近法，故選取a23=3;直接法中介紹的范數(shù)知識(shí)是判斷迭代法收斂與否的主要依據(jù)，故選取a45=4;解線性方程組的迭代法實(shí)際上也是一種函數(shù)逼近的方法，故選取a25=4.根據(jù)aji= 1 aij ，i，j=1，…，5，構(gòu)造成對(duì)比較陣 A ，顯然 A 是正互反陣，如下：

A =? 1 3 5 2 2 1 3? 1 4 2 4 1 5?? 1 4? 1? 1 2?? 1 2? 1 2?? 1 2? 2 1 4 1 2?? 1 4? 2? 1 4? 1? ?.

三、計(jì)算權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)

進(jìn)行一致性檢驗(yàn)是保證AHP法客觀、科學(xué)的關(guān)鍵.由已知定理n階正互反陣 A 的最大特征值λ≥n及λ連續(xù)地依賴于aij可知，λ比n大得越多， A 的不一致程度越嚴(yán)重，用特征向量作為權(quán)向量引起的判斷誤差越大，因此，Saaty引入一致性指標(biāo)CI.CI=0時(shí)， A 為一致陣;CI越大， A 的不一致程度越嚴(yán)重.為了確定 A 的不一致程度的容許范圍，Saaty又引入了隨機(jī)一致性指標(biāo)RI.將CI和RI之比稱為一致性比率CR，當(dāng)CR<0.1時(shí)，認(rèn)為 A 的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其特征向量作為權(quán)向量.

對(duì)成對(duì)比較陣 A ，求出最大特征值λ=5.422 5和歸一化的特征向量（即分量之和為1）ω=（0.382 7，0.262 9，0.064 9，0.191 2，0.098 3），求出判斷矩陣的一致性指標(biāo)CI=0.105 625，通過查表所得隨機(jī)一致性指標(biāo)RI=1.12，由此求出一致性比率CR= 0.105 625 1.12 =0.094 308<0.1，一致性檢驗(yàn)通過，否則對(duì)矩陣做適當(dāng)修正.上述ω可以作為權(quán)向量，這種求權(quán)向量的方法稱為特征向量法.事實(shí)上，也可以采用幾何平均法、算術(shù)平均法和最小二乘法.

四、計(jì)算課程達(dá)成度

課程達(dá)成度的計(jì)算是判斷學(xué)生對(duì)課程掌握程度的依據(jù).筆者對(duì)本班的數(shù)值分析課程成績做統(tǒng)計(jì)分析，如表1所示.將權(quán)向量與平均得分率向量做內(nèi)積，得到本班學(xué)生的數(shù)值分析課程達(dá)成度為48.92 % ，說明本班學(xué)生對(duì)本門課程的掌握程度很差，對(duì)全部知識(shí)的掌握程度還不到一半，尤其是插值法和解線性方程組的迭代法掌握得更差.

五、總 結(jié)

基于AHP法構(gòu)建的數(shù)值分析課程成績的達(dá)成度方法，計(jì)算上具有簡單、實(shí)用、可操作性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn).該方法思路簡單明了，便于計(jì)算;所需要的定量化數(shù)據(jù)較少，但對(duì)問題的本質(zhì)、問題所涉及的因素及其內(nèi)在關(guān)系分析得比較透徹、清楚.該方法不僅有定性分析，同時(shí)將定量與定性分析相結(jié)合，完成了課程達(dá)成度計(jì)算，同時(shí)可拓展至專業(yè)達(dá)成度的計(jì)算，為工程認(rèn)證等相關(guān)工作中達(dá)成度計(jì)算提供了一種可行方法.通過AHP法有效地計(jì)算出某班數(shù)值分析的課程達(dá)成度，了解了學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度，找出學(xué)生在本門課程中的薄弱點(diǎn)，不斷改進(jìn)教學(xué)方法，增加教學(xué)輔助手段，均取 得了較好的學(xué)習(xí)效果，有效地提高了學(xué)生學(xué)習(xí)本門課程的積極性和主動(dòng)性，提高了教學(xué)質(zhì)量，達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)效 果.

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