漫談正多邊形的尺規(guī)作圖

徐惠杰

如何精確地作出正多邊形呢？這是一個古老的幾何問題.早在古希臘時代，人們就知道可以用不帶刻度的直尺和圓規(guī)（尺規(guī)作圖）作出幾種正多邊形.大家知道復雜的尺規(guī)作圖都是由一些基本作圖構(gòu)成的，我們先一起探討正四邊形（正方形）的尺規(guī)作圖的方法.

正方形該如何尺規(guī)作圖呢？如圖1所示，畫圓○，作半徑OA，以A為同心，OA為半徑畫圓，交于B，C兩點，連結(jié)OA與BC交于點D，以D為圓心，OD為半徑畫圓交BC于E，F(xiàn)兩點，則四邊形OFAE為正方形，證明也較容易，

從上面的過程我們發(fā)現(xiàn)正方形的尺規(guī)作圖還是比較容易的，但有關正五邊形的尺規(guī)作圖人們經(jīng)歷了一段探索過程.下面我們介紹正五邊形的一種尺規(guī)作圖方法：

（l）設○是待作的正五邊形的中心，P，是一個頂點，以○為 圓心、○P1為半徑作網(wǎng)，它就是正五邊形的外接圓，作直徑AB垂直O(jiān)P₁：

（2）以OB的中點M為圓心，MP₁為半徑作圓，交OA于C點;

（3）以P₁為同心，CP₁為半徑作圓，交外接圓于點P₂，P₅，它們就是正五邊形的另兩個頂點.

（4）以P₂為同心作同半徑的圓，交外接網(wǎng)于另一點P₃，再以P₃。為圓心作同半徑的圓，交外接圓于另一點P₄₁，順次連結(jié)P₁P₂P₃P₄P₅，即得正五邊形.

歷史上，用尺規(guī)作圖作正偶數(shù)邊形如2ⁿ，3×2ⁿ，5×2ⁿ等正多邊形并非難事，但對邊數(shù)為奇數(shù)如7，9，11，13，15等的正多邊形作圖，在當時是件困難的事，而且并非都可以作圖成功.

直到1796年，當時還是年僅19歲的大學二年級的高斯證明了正十七邊形是可以用直尺和圓規(guī)作出的，這一發(fā)現(xiàn)震驚了當時的數(shù)學界，后來在1825年由費馬給出并證明了正奇數(shù)邊形的邊數(shù)只有是費馬素數(shù)或不同的費馬素數(shù)乘積才可以尺規(guī)作圖（費馬素數(shù)是指形如F（n） =2²ⁿ+1的素數(shù)，其中n為非負整數(shù)）.

根據(jù)這個結(jié)論，對于我們早已掌握具體作圖的正三邊形、正五邊形，現(xiàn)在還知道了它們?yōu)槭裁茨苡贸咭?guī)作圖，就因為3和5都是費馬素數(shù)（3=F（0），5=F（1））;對于很久以來未找到辦法來作出的正七邊形，乃至于正十一邊形、正十三邊形，現(xiàn)在我們能有把握地說，它們不可能通過尺規(guī)作圖作出，因為7，11，13都不是費馬素數(shù).

下面來點難度高的，對于正n邊形，n=257，65537時，即使我們不知道具體如何作圖，從理論上我們已經(jīng)知道它們是可尺規(guī)作圖的！

正多邊形是美妙的圖形，正多邊形的尺規(guī)作圖蘊含了豐富的數(shù)學知識，同學們不妨多多發(fā)揮自己的聰明才智，在幾何圖形的“精彩世界”里盡情遨游！