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    起效素?cái)?shù)的有效排除力總和與素?cái)?shù)兩個(gè)猜想

    2016-02-26 12:45:44張爾光
    科技視界 2016年3期
    關(guān)鍵詞:依序總和素?cái)?shù)

    【摘 要】本文應(yīng)用起效素?cái)?shù)的有效排除力總和與自然數(shù)擴(kuò)延范圍的素?cái)?shù)的量兩者關(guān)系之原理,對羅卡爾關(guān)于“兩個(gè)素?cái)?shù)的平方之間至少有4個(gè)素?cái)?shù)”的命題和杰波夫關(guān)于“在n2和(n+1)2之間有一定素?cái)?shù)”猜想做出證明。此外,筆者發(fā)現(xiàn)并證明“在‘(n-1)×n至n×n之間和‘n×n至n×(n+1)之間存在一定素?cái)?shù)”的問題。

    【關(guān)鍵詞】起效素?cái)?shù)的有效排除力總和;羅卡爾命題;杰波夫猜想;證明

    1 關(guān)于羅卡爾命題的證明

    筆者認(rèn)為,法國數(shù)學(xué)家羅卡爾關(guān)于“兩個(gè)素?cái)?shù)的平方之間至少有4個(gè)素?cái)?shù)”的命題,其本質(zhì)就是自然數(shù)擴(kuò)延范圍的素?cái)?shù)的量與起效素?cái)?shù)的有效排除力總和之間關(guān)系的問題。筆者研究結(jié)果表明,羅卡爾關(guān)于“兩個(gè)素?cái)?shù)的平方之間至少有4個(gè)素?cái)?shù)”的命題,從“32至52”的擴(kuò)圍起成立,其證明定理為:

    兩個(gè)素?cái)?shù)的平方之間的素?cái)?shù)的量=“兩個(gè)素?cái)?shù)的平方之間的自然數(shù)的量”減去“被起效素?cái)?shù)有效排除的量”>4(個(gè))

    1.1 起效素?cái)?shù)與起效素?cái)?shù)的有效排除力

    定義1 素?cái)?shù)的有效排除線

    是指一個(gè)素?cái)?shù)作為除數(shù),將被其整除的自然數(shù)有效排除出素?cái)?shù)之外的起點(diǎn)線,亦是一個(gè)素?cái)?shù)起到有效排除作用的起始自然數(shù)。一個(gè)素?cái)?shù)起到有效排除作用的起始自然數(shù)即是該素?cái)?shù)的平方數(shù),如素?cái)?shù)2的有效排除線從4起,素?cái)?shù)3的有效排除線從9起,其余以此類推。

    定義2 素?cái)?shù)有效排除力

    是指素?cái)?shù)作為除數(shù),將可被其整除的自然數(shù)排除出素?cái)?shù)之外的實(shí)際能力,是素?cái)?shù)有效排除的自然數(shù)的量占自然數(shù)總量的比率的反映。素?cái)?shù)的有效排除力,可分單個(gè)素?cái)?shù)的有效排除力和整體素?cái)?shù)的有效排除。整體素?cái)?shù)的有效排除力,即是單個(gè)素?cái)?shù)有效排除力相加總和。

    定義3 自然數(shù)的擴(kuò)延范圍

    是指依照自然數(shù)的循序逐增規(guī)律,以規(guī)律有序的數(shù)學(xué)式子表達(dá)起、至兩個(gè)自然數(shù),此起、至兩個(gè)自然數(shù)及其間隙全體自然數(shù)組成的整體?!皵U(kuò)延范圍”簡稱為“擴(kuò)圍”

    “起效素?cái)?shù)”,即是“起到有效排除作用的素?cái)?shù)”的簡稱?!捌鹦?cái)?shù)有效排除力總和”,即是起到有效排除作用的素?cái)?shù)的有效排除力相加總和。

    關(guān)于“起效素?cái)?shù)與起效素?cái)?shù)的有效排除力”的內(nèi)容,筆者在《素?cái)?shù)的有效排除與素?cái)?shù)沒有窮盡》、《奇素?cái)?shù)為什么不可窮盡》(《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究》2015年第21期、第17期)兩文作了解讀。主要觀點(diǎn)有:

    觀點(diǎn)1 素?cái)?shù)將合數(shù)排除出素?cái)?shù)之外,不是“一哄而上”的,而是遵循有效排除線而依序“登場”的(見圖1)。

    觀點(diǎn)3 自然數(shù)的擴(kuò)圍的素?cái)?shù)的量,與起效素?cái)?shù)的有效排除力總和有著密切聯(lián)系,自然數(shù)的擴(kuò)圍的素?cái)?shù)的量,可通過自然數(shù)的擴(kuò)圍的素?cái)?shù)的量與起效素?cái)?shù)的有效排除力總和之間關(guān)系的原理而求得。自然數(shù)的擴(kuò)圍的素?cái)?shù)的量與起效素?cái)?shù)的有效排除力總和之間關(guān)系的定理為:

    自然數(shù)的擴(kuò)圍的素?cái)?shù)的量=自然數(shù)的擴(kuò)圍的自然數(shù)的量-(自然數(shù)的擴(kuò)圍的自然數(shù)的量×起效素?cái)?shù)的有效排除力總和)

    1.2 對羅卡爾命題的證明

    筆者研究結(jié)果表明,羅卡爾命題可應(yīng)用自然數(shù)的擴(kuò)圍的素?cái)?shù)的量與起效素?cái)?shù)的有效排除力總和之間關(guān)系的定理做出證明。

    例證1 求3與5兩個(gè)素?cái)?shù)的平方之間的素?cái)?shù)的量的證明

    已知,自然數(shù)擴(kuò)延至“52”時(shí),起效素?cái)?shù)共有2、3、5三個(gè),2、3、5此三個(gè)起效素?cái)?shù)的有效排除力總和為。

    第三步,驗(yàn)證。即看三角矩陣(方陣)的每一行自然數(shù)是否都存在素?cái)?shù),如是,則證明杰波夫猜想成立,否則就不成立。

    驗(yàn)證結(jié)果:從圖3看出,三角矩陣(方陣)中的可被起效素?cái)?shù)整除的自然數(shù)篩去后,從三角矩陣的第二行起,每一行自然數(shù)均剩有2個(gè)以上自然數(shù)(即是素?cái)?shù)),可見,杰波夫關(guān)于在n2和(n+1)2之間有一定素?cái)?shù)的猜想成立。此證。

    3 張爾光發(fā)現(xiàn)并證明:在“《n-1》×n至n×n之間”和“n×n至n×(n+1)之間”均存在一定素?cái)?shù)

    筆者在研究素?cái)?shù)的過程中發(fā)現(xiàn),在比“n2和(n+1)2”更小的自然數(shù)擴(kuò)延范圍——“(n-1)×n至n×n之間”和“n×n至n×(n+1)之間”均存在一定素?cái)?shù)。

    3.1 應(yīng)用起效素?cái)?shù)的有效排除力總和原理的證明

    第二步,將圖4自然數(shù)中的合數(shù)用方框框上,那么,沒框的自然數(shù)就是素?cái)?shù)。

    第三步,驗(yàn)證。即看三角矩陣的每一行的“(n-1)×n至n×n之間”和“n×n至n×(n+1)之間”的自然數(shù)是否都存在素?cái)?shù),如是,則證明成立,否則就不成立。

    驗(yàn)證結(jié)果:從圖4看出,三角矩陣中的可被起效素?cái)?shù)整除的自然數(shù)篩去后,從三角矩陣的第二行起,每一行“(n-1)×n至n×n之間”和“n×n至n×(n+1)之間”的自然數(shù)均剩有1個(gè)以上自然數(shù)(即是素?cái)?shù)),可見,關(guān)于在“(n-1)×n至n×n之間”和“n×n至n×(n+1)之間存在一定素?cái)?shù)的問題成立。此證。

    至此,筆者覺得有必要多說兩句的,羅卡爾命題、杰波夫猜想以及“在‘(n-1)×n至n×n之間和‘n×n至n×(n+1)之間存在一定素?cái)?shù)”的問題,同屬于“自然數(shù)擴(kuò)圍的素?cái)?shù)的量與起效素?cái)?shù)的有效排除力總和之間關(guān)系的問題”,筆者研究結(jié)果表明,依照循序逐增規(guī)律,設(shè)置的自然數(shù)擴(kuò)延范圍,不論是依序前后兩個(gè)素?cái)?shù)的平方之間,還是依序前后兩個(gè)自然數(shù)的平方之間,抑或是“(n-1)×n至n×n之間”和“n×n至n×(n+1)之間”,隨著n(或P)的循序逐增,其自然數(shù)擴(kuò)圍在不斷擴(kuò)大,而自然數(shù)擴(kuò)圍越大,其存在的素?cái)?shù)的量也越大。據(jù)此,我們可作這樣推理,既然最小的自然數(shù)擴(kuò)圍“2×2至2×3之間”存在素?cái)?shù),而在其后、比之更大的自然數(shù)擴(kuò)延范圍沒有理由不存在素?cái)?shù),而羅卡爾命題、杰波夫猜想以及“在‘(n-1)×n至n×n之間和‘n×n至n×(n+1)之間存在一定素?cái)?shù)”的問題也沒有理由不能成立。

    [責(zé)任編輯:湯靜]

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