住房反向抵押貸款的分解與產(chǎn)品定價

唐恩林，華小全

（1.淮南師范學(xué)院金融與數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽淮南，232038；2.淮南師范學(xué)院經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，安徽淮南，232038）

一、引言

隨著我國老齡化程度的加深，社會的養(yǎng)老負(fù)擔(dān)越來越重，當(dāng)前的養(yǎng)老理念和養(yǎng)老方式已滿足不了社會的養(yǎng)老需求。最近十年，中國房地產(chǎn)市場發(fā)生巨大變化，房價呈現(xiàn)逐漸上升趨勢，房價支出占個人總支出的絕大部分，這也導(dǎo)致老年人用于生活消費(fèi)的流動資金大大減少，而財富的絕大部分被死死套在了房產(chǎn)這樣的固定資產(chǎn)上。因此如何充分挖掘老年人的財富潛力，盤活不動產(chǎn)，這極大地影響了我國的養(yǎng)老事業(yè)，也是養(yǎng)老模式創(chuàng)新的發(fā)展方向［1］。因此已經(jīng)在歐美得到成熟發(fā)展的住房反向抵押貸款可以作為我國養(yǎng)老模式的借鑒。住房反向抵押貸款就是在老年人保留房屋居住權(quán)的同時，將房屋的價值提前兌現(xiàn)，以達(dá)到盤活資產(chǎn)、實現(xiàn)以房養(yǎng)老的目的。住房反向抵押貸款涉及較多的不確定性，進(jìn)而導(dǎo)致其定價的不確定性，即申請人獲得貸款額度的不確定性，這也是住房反向抵押貸款在我國未能順利開展的根本原因［2］。早在20世紀(jì)90年代，國內(nèi)學(xué)者就開始關(guān)注歐美實行多年的住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)，并期望將其引入國內(nèi)。從業(yè)界來說，此項業(yè)務(wù)理論上也確實能夠解決政府的養(yǎng)老難題，因此政府鼓勵金融機(jī)構(gòu)及其網(wǎng)點開展此項業(yè)務(wù)。但是由于這種金融服務(wù)創(chuàng)新業(yè)務(wù)存在很多不確定性和風(fēng)險，尤其是其產(chǎn)品無法準(zhǔn)確定價，金融機(jī)構(gòu)接受不了太高的貸款定價，申請人接受不了太低的貸款定價，導(dǎo)致此項業(yè)務(wù)一直進(jìn)展的不順利。因此建立適合我國國情的科學(xué)有效的定價模型對此項業(yè)務(wù)的順利開展起到?jīng)Q定性作用，同時對于深入研究社會養(yǎng)老保障、房地產(chǎn)金融和資產(chǎn)定價等也具有較大的理論價值［3］。

二、研究綜述

起步于歐美國家的住房反向抵押貸款，其定價方法和理論在美國是最為成熟的，總體上來說有三種方法。第一種叫支付因子定價法，這種方法主要是通過羅列影響反向抵押貸款的所有可能因素，通過構(gòu)筑模型建立各種因素與定價之間的函數(shù)關(guān)系。Szymanoski通過構(gòu)建HECM模型，即住宅財產(chǎn)轉(zhuǎn)換貸款示范價格模型，對影響價格的幾種重要因素進(jìn)行了實證。這幾種因素包括財產(chǎn)價值、借款人壽命和利率，他的研究成果是建立在Peter等人設(shè)計的模型基礎(chǔ)上。而國內(nèi)的學(xué)者如劉春杰、譚競等人重新認(rèn)識了支付因子定價法，并指出其屬于定期定價，進(jìn)一步給出了反抵押貸款合同超期的定價結(jié)果。第二種是期權(quán)定價法，這種方法主要針對具有可贖回權(quán)的住房反向抵押貸款產(chǎn)品的定價，借款人基于利率的變動和未來房價的變動可以提前贖回抵押的房產(chǎn)。Boehm等構(gòu)建了基于利率和時間的住房反向抵押貸款函數(shù)，進(jìn)而給出了反向抵押貸款價值的偏微分方程算式；對于借款人選擇提前贖回的住房反向抵押貸款，Tobias等對模型中的部分變量進(jìn)行蒙特卡羅模擬，在此基礎(chǔ)上給出了貸款的最終定價。而國內(nèi)學(xué)者奚俊芳采用的是二叉樹思想對住房反向抵押貸款進(jìn)行了期權(quán)定價的闡述，但沒有進(jìn)一步的給出實證。第三種是保險精算法，保險精算的思想主要是當(dāng)生命結(jié)束時房屋價值的貼現(xiàn)值與當(dāng)前借款人能夠借到的公允金額相等，Mitchell等基于利率、房價變動率和死亡率等變量構(gòu)建了反向抵押貸款的定價模型，這便是最初的保險精算定價模型，后期的國內(nèi)學(xué)者基本都是在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步修正研究。章凌云對定價模型進(jìn)行了模擬分析；張晶對保險精算模型的房屋價值進(jìn)行了修正，引入了房屋的折舊因素；奚俊芳對貸款的給付進(jìn)行了延伸研究，提出了遞增形式的年金給付；肖雋子在保險精算定價模型中引入了平均余命的概念。

從這三種方法在中國的適應(yīng)性角度來看，支付因子定價法需要依據(jù)大量的歷史數(shù)據(jù)，顯然不適合直接在中國應(yīng)用。相對來說，保險精算模型不需要大量的歷史數(shù)據(jù)且準(zhǔn)確性較高，更適合引入我國使用，只需要在模型中使用符合我國實際情況的因素。然而目前的相關(guān)文獻(xiàn)基本都是采用固定利率和確定的房價增長率，并不適合我國的實際情況，因此本文的研究將對這兩個缺陷進(jìn)行修正。

三、住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)的分解

（一）住房反向抵押貸款的內(nèi)涵

作為一種創(chuàng)新型的金融服務(wù)產(chǎn)品，住房反向抵押貸款能夠幫助老年人實現(xiàn)以房養(yǎng)老的目的，它的實現(xiàn)過程是申請人以自己的房屋產(chǎn)權(quán)作為抵押向銀行等金融機(jī)構(gòu)獲得一次性或者年金形式的貸款額度，同時在申請人生命結(jié)束之前保留房屋的居住權(quán)，在其生命結(jié)束之后以房產(chǎn)償還生前的貸款。從本質(zhì)上來說就是申請人將房產(chǎn)抵押給金融機(jī)構(gòu)，金融機(jī)構(gòu)給出房產(chǎn)的評估價值，然后將評估價值分?jǐn)偟接鄩鄣拿恳荒曛?，直至申請人永久搬離房屋或者死亡，這時房屋的所有權(quán)才真正過戶給金融機(jī)構(gòu)。由于這種貸款的資金流向與普通的住房抵押貸款是相反的，所以又稱反向抵押貸款（Reverse Mortgage）?？此平鹑跈C(jī)構(gòu)以分期付款的形式從申請人手中買房，在申請人去世后交接房屋所有權(quán)，又可以稱作“逆抵押貸款”、“倒按揭貸款”。

住房反向抵押貸款分為很多種（見圖1），根據(jù)其到期申請人是否能夠贖回，可以分為可贖回的反向抵押貸款和不可贖回的反向抵押貸款。根據(jù)貸款資金的支付形式分為一次性支付，定期支付和貸款額度。對于不可贖回的反向抵押貸款，當(dāng)貸款到期、申請人離世后，金融機(jī)構(gòu)便可收回房屋產(chǎn)權(quán)。對于這類貸款，當(dāng)其數(shù)量達(dá)到一定程度之后，便符合大數(shù)定律，這時可以構(gòu)建保險精算模型以終生年金的形式對其進(jìn)行定價。而對可贖回的反向抵押貸款，由于申請人可以按照合約持有到期讓金融機(jī)構(gòu)拍賣房產(chǎn)，也可以根據(jù)標(biāo)的變量的變化，如利率、房屋價值等擇期贖回抵押貸款，因此可以看成是一種期權(quán)，這時可以采用期權(quán)定價的方法對其進(jìn)行定價。

圖1 住房反向抵押貸款的分類

（二）住房反向抵押貸款的意義

在歐美已經(jīng)盛行幾十年的住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)如果能夠順利引入中國，便能夠有效解決中國人口基數(shù)大、老齡化嚴(yán)重造成的養(yǎng)老負(fù)擔(dān)重的問題。我國自20世紀(jì)80年代實行計劃生育以來，目前出現(xiàn)的“四二一”家庭結(jié)構(gòu)十分普遍，“80后”一代要承擔(dān)四位老人的養(yǎng)老，因此作為金融服務(wù)創(chuàng)新的住房反向抵押貸款，同時也是養(yǎng)老方式的創(chuàng)新，具有較大的意義。具體表現(xiàn)為：

其一，對于申請人家庭經(jīng)濟(jì)生活來說，老人通過住房反向抵押貸款盤活房產(chǎn)價值，增加了平時的生活消費(fèi)自由度，同時也沒有影響老人的居住問題，使得老人在晚年能夠依靠房產(chǎn)價值有尊嚴(yán)的安度晚年生活。此外對于“80后”青年一代來說，減輕了他們的養(yǎng)老經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)。

其二，對于社會養(yǎng)老保障體系來說，給國家的養(yǎng)老事業(yè)提供了新的思路和方法，在我國步入老齡化時代的背景下，減輕了社會的養(yǎng)老負(fù)擔(dān)。同時隨著我國老齡人口的增加，通過住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)的推進(jìn)，也有效地通過提高老年人的消費(fèi)能力而拉動國家的內(nèi)需，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)增長。

其三，對于金融機(jī)構(gòu)來說，通過金融產(chǎn)品創(chuàng)新、金融業(yè)務(wù)擴(kuò)展來提升自己的競爭力。在目前的經(jīng)濟(jì)形勢下，土地和房產(chǎn)的價值只增不減，金融機(jī)構(gòu)通過開展住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)來提高資產(chǎn)質(zhì)量，實現(xiàn)產(chǎn)品多元化，開辟一片新的金融業(yè)務(wù)領(lǐng)域。

（三）我國住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)分解

住房反向抵押貸款的牽頭機(jī)構(gòu)是圖2中的“特設(shè)機(jī)構(gòu)”。特設(shè)機(jī)構(gòu)負(fù)責(zé)整個業(yè)務(wù)流程相關(guān)部門的組織和相關(guān)資源的整合，通過建立與銀行、保險公司、政府以及二手房市場的聯(lián)系，最終實現(xiàn)抵押資產(chǎn)的證券化，盤活固定資產(chǎn)，增加資產(chǎn)的流動性。該機(jī)構(gòu)通過對市場上大量的同類資產(chǎn)進(jìn)行整理、分類、匯總、打包和精算分析，使業(yè)務(wù)流程更加規(guī)范，產(chǎn)品風(fēng)險降到最低，資金提供方更容易接受。也就是說，特設(shè)機(jī)構(gòu)在整個業(yè)務(wù)流程中起到了提高各機(jī)構(gòu)運(yùn)營效率及協(xié)調(diào)配合程度的作用，通過業(yè)務(wù)的規(guī)?；_展，來降低機(jī)構(gòu)的業(yè)務(wù)操作成本。

圖2 住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)分解

從圖2中資金流向來看，特設(shè)機(jī)構(gòu)把從申請人處獲得的房屋產(chǎn)權(quán)抵押給商業(yè)銀行，以此獲得抵押貸款來支付申請人的定期或一次性的養(yǎng)老費(fèi)用，同時特設(shè)機(jī)構(gòu)也委托商業(yè)銀行向保險公司支付投保費(fèi)用，當(dāng)申請人離世后，特設(shè)機(jī)構(gòu)將房屋在二手房市場上拍賣，獲得最終的房款來償還從銀行的貸款，也就是說資金的最終來源是在二手房市場上擁有閑置資金的購房者。從交易關(guān)系來看，貸款申請人將房屋的所有權(quán)轉(zhuǎn)移給特設(shè)機(jī)構(gòu)，自己保留在離世之前的居住權(quán)，為這一業(yè)務(wù)提供擔(dān)保的是保險公司，特設(shè)機(jī)構(gòu)以房屋所有權(quán)作為抵押獲得貸款，當(dāng)申請人離世后，特設(shè)機(jī)構(gòu)將房屋出售，房屋產(chǎn)權(quán)從特設(shè)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)移給二手房市場上的購買者。

四、定價思路和模型構(gòu)建

（一）定價思路

最初的住房反向抵押貸款的定價是依據(jù)資產(chǎn)定價模型的原理來展開的，也就是對一項資產(chǎn)未來現(xiàn)金流進(jìn)行貼現(xiàn)得到的最終價值。然而這種定價方法首先要對未來現(xiàn)金流進(jìn)行確定，還要對貼現(xiàn)率根據(jù)風(fēng)險狀況進(jìn)行調(diào)整，這種調(diào)整是主觀的，也會造成最終的定價結(jié)果具有主觀性。因此在這里采用風(fēng)險中性定價原理，認(rèn)為貸款申請人是風(fēng)險中性的，即只要求獲得無風(fēng)險收益率的回報，在此前提下，只需要對未來現(xiàn)金流的期望值進(jìn)行無風(fēng)險利率的折算即可得到最后的定價結(jié)果。前面已經(jīng)提到住房反向抵押貸款根據(jù)貸款人在合同到期前能否提前贖回房屋產(chǎn)權(quán)，可以分為有贖回權(quán)和無贖回權(quán)的住房反向抵押貸款。這里選擇無贖回權(quán)的住房反向抵押貸款進(jìn)行研究，那么貸款的期限就完全取決于貸款人的壽命長短［4］。雖然每位貸款申請人的壽命長短是不確定的因素，但是當(dāng)貸款人的數(shù)量足夠大時，就可以根據(jù)大數(shù)法則確定壽命的期望值，也可以通過查閱壽險公司的生命表得到平均壽命。因此為了使研究的結(jié)果更加精準(zhǔn)，這里采用保險精算模型來進(jìn)行定價，基于貸款人的生命期限對房屋價值進(jìn)行折現(xiàn)，得到的均值就是貸款的最終定價［5］。由于我國現(xiàn)在的住房抵押貸款是采用浮動利率計息，因此這里給住房反向抵押貸款定價時，也采用浮動利率。且做出表1中的假設(shè)：

表1 反向抵押貸款定價的假設(shè)條件

從前面的分析中，可知決定貸款定價的主要因素包括利率的變動、房屋的未來價值、申請人的壽命等，這里選擇純跳模型描述浮動利率的變動，用布朗運(yùn)動描述房屋未來價值的變動，申請人的壽命可以從壽險公司最新的生命表中獲得，按照前述的定價思路就可以對單生命和雙生命狀態(tài)的貸款進(jìn)行定價。

（二）定價模型的構(gòu)建

在定價模型的構(gòu)建上，考慮到準(zhǔn)確性和實用性?；陲L(fēng)險中性定價原理，選擇使用保險精算模型，同時對前面學(xué)者研究的兩個缺陷，即固定利率和固定房價增長率進(jìn)行修正，用蒙特卡羅模擬方法來模擬浮動利率變動路徑和房價波動的布朗運(yùn)動過程，同時結(jié)合我國實際的經(jīng)濟(jì)金融狀況來選擇和測度模型參數(shù)。單生命和雙生命狀態(tài)下的定價模型如下：

1.單生命狀態(tài)下的定價模型

該定價模型依據(jù)的思路是申請人最終獲得的貸款總額等于抵押房產(chǎn)期限結(jié)束時價值的折現(xiàn)值與各項業(yè)務(wù)費(fèi)用之和［6］。分別算出不同壽命下的貸款產(chǎn)品價值p(L)，對其加權(quán)得到最終的產(chǎn)品定價用Σ表示，用*p(L)表示期限為L的概率。那么，上述等式左邊和右邊分別表示為：∏∏

左邊：

右邊：

對等式進(jìn)行整理得到：

表2 單生命定價模型中參數(shù)符號及意義

式（3）中的參數(shù)及其意義如表2。

2.雙生命狀態(tài)下的定價模型

由于本文考慮的是貸款額度的一次性支付，所以對于夫妻兩人的雙生命狀態(tài)，定價思路和模型是相同的。不同的是合同期限要截止到最后一個人離世，因此要算出夫妻二人的聯(lián)合死亡概率［7］。基于此最終整理得到的公式如下：

表3 雙生命定價模型參數(shù)符號及意義

從上面的模型中可以看出，決定住房反向抵押貸款定價的因素主要有利率m、房價增長率g、貸款申請人的死亡概率

五、住房反向抵押貸款產(chǎn)品定價實證分析

為了讓實證分析更符合實際情況，這里選擇上海市為例，其原因主要有以下幾點：首先，上海市是國際性的大都市，這里的居民更能夠接受新的金融產(chǎn)品和服務(wù)；其次，上海市的人均住房占有量較高，在全國都靠前；再次，上海市的老年人口較多，社會養(yǎng)老負(fù)擔(dān)較重。

（一）參數(shù)設(shè)定和測算

1.貸款利率m

在貸款利率變動路徑模型的選擇上，結(jié)合我國實際情況，貸款利率還沒有完全市場化，主要參照人民銀行存貸款基準(zhǔn)利率進(jìn)行浮動，所以這里采用單純跳躍模型來描述利率變動，即：

式（5）的dpt(c)是泊松過程，c是跳躍強(qiáng)度；代表隨機(jī)跳躍的幅度，滿足正態(tài)分布，均值為μ，方差為σp2。選擇1990年4月至2018年12月之間的五年以上貸款利率數(shù)據(jù)，以月為基本單位，共有345個貸款利率數(shù)據(jù)，對其進(jìn)行差分處理得到344個數(shù)據(jù)，其中共產(chǎn)生48次跳躍，即跳躍強(qiáng)度c為。在此基礎(chǔ)上對為μ和σp2進(jìn)行軟件分析與估計得到：

因此住房反向抵押貸款的利率變動過程可以用式（8）描述：

住房反向抵押貸款從2018年10月開始，初始利率m0加上貸款保險費(fèi)率得到最終的貸款利率為4.9%+0.06%=5.5%。

2.房價增長率g

早期的學(xué)者對房價的預(yù)測基本都是建立回歸預(yù)測模型，即找出影響房價的各種因素，建立各種影響因素與房價之間的函數(shù)關(guān)系。這種方法要求找出所有變量因素的數(shù)據(jù)，難度較大，可操作性不強(qiáng)，其結(jié)果偏差也較大。因此采用簡單有效的時間序列模型來預(yù)測房價，房價的一階差分這里假設(shè)滿足布朗運(yùn)動

式（9）中μH和σH表示房價增長率和波動率，dZH是維納過程，且t增值率服從N(μHt，σH2t)，H0表示初始t=0時刻的房屋價值，此后t>0的房屋價值Ht為：

式（10）中的Bt～N(0，σH2t)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

由于住房反向抵押貸款需要對房屋產(chǎn)權(quán)進(jìn)行抵押，因此貸款定價主要基于二手房市場。選擇上海市2007年12月～2018年12月二手房月度數(shù)據(jù)進(jìn)行ADF檢驗，其檢驗結(jié)果如表4：

表4 上海市二手房指數(shù)ADF檢驗結(jié)果

從表4中可知p=0.6074且比所有參照值都高，不是平穩(wěn)的時間序列也說明房價的變動是隨機(jī)的，進(jìn)一步對房價波動率數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計，得到：

也就是說，數(shù)據(jù)滿足下述特征的隨機(jī)游走，其函數(shù)表達(dá)式為式（11）

式（11）中的Bt～N(0.0003798t)

3.死亡概率q

住房反向抵押貸款的貸款額度大小隨著申請人剩余壽命的變化而變化，越靠近死亡時間，獲得的貸款額度越大。因此需要通過獲得申請人的死亡概率來推算合同到期時間。由于我國的住房反向抵押貸款沒有大量的歷史數(shù)據(jù)可供參考，因此在計算死亡概率時，這里借助保監(jiān)會發(fā)布的啟用于2017年1月的第三套生命表，運(yùn)用保險精算理論，算出死亡概率和預(yù)期余壽（在表6和表7中體現(xiàn)計算結(jié)果），其中運(yùn)用的死亡率計算模型如下：

假設(shè)存活率用px表示、死亡率用qx表示為申請人x歲且在t年后繼續(xù)存活的概率、0tqx為申請人x歲且在t年內(nèi)死亡的概率，為申請人x歲且正好在第t年內(nèi)死亡的概率。

將式（15）帶入式（14），就能得到單生命狀態(tài)下的死亡率的計算公式

同樣的方法，雙生命狀態(tài)下的聯(lián)合死亡率計算公式為：

即

4.無風(fēng)險利率rf

無風(fēng)險利率即最低的資金使用成本，在我國金融市場的發(fā)展還不夠完善，所以國債利率不能用來準(zhǔn)確地反映無風(fēng)險利率。所以這里選擇銀行定期存款利率來表達(dá)無風(fēng)險利率，由于住房反向抵押貸款具有長期性的特征，所以這里用最新的五年期銀行定期存款利率來表示無風(fēng)險利率，取值2.75%。

5.費(fèi)率α

由于國外已經(jīng)實行住房反向抵押貸款多年，所以這里的各項費(fèi)率采用國外的經(jīng)驗數(shù)據(jù)如表5。

表5 反向抵押貸款費(fèi)率表

6.房屋折舊率β

雖然我國規(guī)定的住宅用地使用年限70年，但是房屋建筑材料的使用時限，質(zhì)檢總局規(guī)定為50年，所以按照對最低時限50年的折舊率計算，采用直線折舊方法，每年的折舊率為2%，另外考慮到土地的稀有性，土地的價格會越來越高，綜上各種因素，這里的房屋折舊率β定為1.8%。

（二）實證模擬定價結(jié)果

選擇男性申請人，房屋初始價值H0為100萬，運(yùn)用蒙特卡羅模擬方法，在假定其他條件不變時，通過對變量利率和房價進(jìn)行上萬次仿真模擬，對每一條模擬路徑運(yùn)用前述的單生命和雙生命狀態(tài)下住房反向抵押貸款定價模型進(jìn)行實證模擬，最后算出N條路徑的加權(quán)值就是最終的貸款定價。實證模擬定價結(jié)果如表6、表7所示。

表6 單生命狀態(tài)下不同年齡段男性借款人的貸款額度

表7 雙生命狀態(tài)下不同年齡段男性借款人的貸款額度

從表6和表7實證結(jié)果可知，在當(dāng)前房屋價值固定為100萬元的時候，申請人所獲得的貸款額度隨著貸款人年齡的增加而逐步增加，因為貸款人的年齡越大，其預(yù)期剩余壽命越短，預(yù)期未來房屋價值的折現(xiàn)價值越高，這個實證結(jié)論和預(yù)期的假設(shè)是一致的。此外，從該項業(yè)務(wù)開展帶來的經(jīng)濟(jì)效益來看，我國的退休老人在申請這項業(yè)務(wù)之后，以60周歲男性為例，其可支配的養(yǎng)老金額在原來的社保水平基礎(chǔ)上，提高約40萬元的一次性可支配收入，大大提高了退休老人的生活幸福指數(shù)。

不過值得注意的是，我國的金融市場目前還沒有達(dá)到發(fā)達(dá)國家程度，利率市場化進(jìn)程有待推進(jìn)，房地產(chǎn)市場整頓的呼聲較高，加上住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)是一種周期較長的業(yè)務(wù)，其面臨的不確定因素和風(fēng)險太多，包括申請人的信用狀況和身體狀況等。因此我國的住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)需要根據(jù)實際情況謹(jǐn)慎且循序漸進(jìn)的開展。