“約數(shù)”vs“因數(shù)”

沈于芹

[摘 要]在數(shù)學(xué)中，對(duì)于某些概念，會(huì)使用不同的專有名詞來描述，雖然這些專有名詞指代的對(duì)象相同，意義也很接近，但傳達(dá)的具體數(shù)學(xué)信息卻存在差別，在關(guān)鍵時(shí)候，這些不同的叫法會(huì)帶來不同的理解方式。

[關(guān)鍵詞]整除;因數(shù);概念;倍數(shù);乘法;除法

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2019）08-0069-01

自教材改編以來，關(guān)于“約數(shù)”和“因數(shù)”用法的爭(zhēng)論一直未曾消停。反方觀點(diǎn)認(rèn)為，新教材改編得不妥，因?yàn)殡S意修改專有名詞，會(huì)混淆視聽、擾亂思維;正方觀點(diǎn)認(rèn)為，因?yàn)椤耙驍?shù)”一詞合并了“乘數(shù)”和“約數(shù)”兩個(gè)概念，這樣一改反倒減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。雙方各執(zhí)一詞，相持不下。教參上給出的解釋是，“為了克服一個(gè)教學(xué)單元內(nèi)概念扎堆出現(xiàn)的現(xiàn)象，新教材中對(duì)‘整除這一概念不再明確定義，并把舊教材中的‘約數(shù)改為‘因數(shù)，這樣一來，派生約數(shù)概念的整除概念就可以不必出現(xiàn)?！蹦敲矗凹s數(shù)”改為“因數(shù)”到底有無必要？

一、整除引申因數(shù)令人費(fèi)解

在舊教材中，約數(shù)、因數(shù)和倍數(shù)這一系列的概念全部隸屬于整除單元。教材首先揭示整除的概念：整數(shù)a除以整數(shù)b，所得的商數(shù)也為整數(shù)，沒有余數(shù)，這時(shí)就稱a能被b整除。如果整a能被整數(shù)b整除，此時(shí)，我們就說a是b的倍數(shù)，b是a的約數(shù)（或因數(shù)）。由此可見，約數(shù)是建立在整除概念基礎(chǔ)上的。

在人教版新教材五年級(jí)下冊(cè)第二章中，“因數(shù)和倍數(shù)”屬于單元主標(biāo)題，教材通過飛機(jī)航程的情境，用一個(gè)乘法算式“2[×]6=12”直接揭示因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系：12是2和6的倍數(shù)，2和6是12的因數(shù)。實(shí)際上，這是在暗示學(xué)生，被乘數(shù)和乘數(shù)是積的因數(shù)，積是被乘數(shù)和乘數(shù)的倍數(shù)。然后，教材還特別指出，為了便于描述和研究，討論因數(shù)和倍數(shù)的時(shí)候，一般默認(rèn)在整數(shù)范圍內(nèi)。

說到這里，事實(shí)已經(jīng)很明確了，舊教材是從除法入手，先揭示什么是整除，然后在整除的概念下派生出約數(shù);而新教材則是從乘法算式切題，直接陳述何為因數(shù)、何為倍數(shù)。既然兩種方法都可行，在效果一樣的前提下，用整除概念來引出“約數(shù)”邏輯程序相對(duì)煩瑣，其間還要辨別“整除”和“除盡”的異同，以及在整數(shù)范圍內(nèi)的限定，無疑增大了學(xué)生的理解難度。兩相對(duì)照，新教材的安排似乎更恰當(dāng)。

二、拋開整除也能找全因數(shù)

有人說，新教材中“整除”“約數(shù)”這些專屬名詞的滅失導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)脫離了傳統(tǒng)經(jīng)典。筆者認(rèn)為，刪減“整除”和“約數(shù)”這些學(xué)術(shù)性很強(qiáng)的名詞之后，學(xué)生照樣能學(xué)通“因數(shù)和倍數(shù)”這部分知識(shí)，說明這些專屬名詞已經(jīng)失去了原有的價(jià)值。

那么，整除概念還該不該出現(xiàn)？新教材從乘法算式中揭示出因數(shù)、倍數(shù)的概念，刪減了整除的講授，這樣一來，尋找某個(gè)數(shù)的因數(shù)時(shí)，學(xué)生進(jìn)行的思維過程是回憶原數(shù)等于哪兩個(gè)整數(shù)的乘積，那么所有的被乘數(shù)和乘數(shù)就都是原數(shù)的因數(shù)。原數(shù)較小時(shí)，因數(shù)比較容易找，一旦原數(shù)過大，尋找因數(shù)就很困難了，如果要列舉全部因數(shù)更是難上加難，容易遺漏或重復(fù)。此時(shí)如果采用整除法定義來尋找因數(shù)，就十分便捷。學(xué)生可以用原數(shù)依次除以自然數(shù)1、2、3……若能被整除，那么除數(shù)和商就都是原數(shù)的因數(shù)，反之，就可以立即排除。

筆者認(rèn)為，要想迅速找出一個(gè)數(shù)的所有因數(shù)，用乘法相對(duì)盲目，用除法才能做到簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確、有序?？墒菃栴}又來了，難道用除法來找因數(shù)，就必須提到“數(shù)的整除”這一復(fù)雜的概念嗎？經(jīng)過實(shí)踐，筆者發(fā)現(xiàn)其實(shí)不講整除，學(xué)生也能很好應(yīng)用除法找因數(shù)。

三、要明辨因數(shù)的雙重含義

有人問，如何準(zhǔn)確把握“因數(shù)”概念？由于新教材里的“因數(shù)”具有雙重含義，既可以理解為整除概念派生出的約數(shù)，又可以理解為乘法算式中的被乘數(shù)和乘數(shù)。這樣一來，就會(huì)出現(xiàn)一種悖論，如，判斷“在2[×]3=6中，2是因數(shù)”時(shí)，大部分人認(rèn)為這是錯(cuò)的，理由是因數(shù)和倍數(shù)彼此依存，只能說兩個(gè)數(shù)互為因倍數(shù)，或者說其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的因數(shù)（倍數(shù)），單獨(dú)說誰是因數(shù)（倍數(shù)）存在邏輯漏洞。但也有人持相反觀點(diǎn)，認(rèn)為這道題是正確的，理由是在這道乘法算式中，2是被乘數(shù)，被乘數(shù)就是因數(shù)，所以2是因數(shù)毫無破綻。他們還拿除法類比，例如，在除法算式6[÷]2=3中，說2是除數(shù)也沒有不妥，那么究竟如何決斷？

然而，在舊教材中就不會(huì)出現(xiàn)這樣的悖論。如，判斷“在2[×]3=6中，2是約數(shù)”，這種說法毫無根據(jù)，因?yàn)榧s數(shù)是在整除概念下誕生的，一提到約數(shù)，必會(huì)聯(lián)想到整除，進(jìn)而想到倍數(shù)，想起約數(shù)和倍數(shù)是相互依存的。若判斷“在2[×]3=6中，2是因數(shù)”，一般人肯定會(huì)依據(jù)算式表達(dá)的數(shù)量關(guān)系來斷定其為正確，此時(shí)無須想到整除。但我認(rèn)為，姑且不論這道判斷題是否有意義，無論是新教材還是舊教材，都應(yīng)判斷為對(duì)，因?yàn)檫@里的“因數(shù)”具有雙重含義，在沒有明確說明語境時(shí)，只要符合一種含義就行。打一個(gè)通俗的比方：李芳媽媽、李芳、李芳女兒三人在一起，此時(shí)李芳就有雙重身份——媽媽和女兒，說李芳是女兒難道不對(duì)嗎？

總之，筆者以為，在“因數(shù)和倍數(shù)”這部分知識(shí)中，新教材的做法比較好，因?yàn)樗?jiǎn)單直接、節(jié)奏明快，不像舊教材會(huì)牽涉一些生澀難懂的專屬名詞，學(xué)生很輕松就能學(xué)到這部分知識(shí)！

（責(zé)編 李琪琦）