基于約束終止狀態(tài)的行星混合動力系統(tǒng)全局優(yōu)化算法?

曾小華，王 越，楊南南，宋大鳳，李廣含

(吉林大學，汽車仿真與控制國家重點實驗室，長春 130025)

前言

與傳統(tǒng)的內(nèi)燃機車輛相比，混合動力汽車可實現(xiàn)更好的節(jié)能減排，而能量管理優(yōu)化策略對發(fā)揮其節(jié)能減排有著至關(guān)重要的影響[1]。

當前基于優(yōu)化的能量管理策略，主要包括瞬時優(yōu)化控制和全局優(yōu)化控制[2]。其中，全局優(yōu)化控制策略是以全工況下的綜合能耗最小為控制目標，獲得系統(tǒng)的全局最優(yōu)解，能保證系統(tǒng)在整個行駛工況中的綜合能耗最小[3]，由于其節(jié)能效果優(yōu)于瞬時優(yōu)化控制，得到相關(guān)研究人員的青睞[4]。文獻[5]中針對全局優(yōu)化計算量大的問題，基于電池充放電電流劃分不同SOC的可行域來減少全局優(yōu)化的計算量。文獻[6]中為簡化動態(tài)規(guī)劃算法，通過降低變量網(wǎng)格來減少計算量，再通過多次迭代提高計算精度，逼近最優(yōu)解。文獻[7]中研究得出動態(tài)規(guī)劃算法中SOC罰函數(shù)的權(quán)系數(shù)直接影響動態(tài)規(guī)劃優(yōu)化效果和SOC平衡。文獻[8]中針對傳統(tǒng)動態(tài)規(guī)劃算法中存在成本函數(shù)受SOC變化影響大的問題，提出以等效油耗為成本函數(shù)和采用割線迭代法求解權(quán)系數(shù)的動態(tài)規(guī)劃優(yōu)化算法。

可見，當前全局優(yōu)化的研究主要存在以下問題：(1)直接應用全局優(yōu)化算法面臨運算量大和時間成本高的問題；(2)基于動態(tài)規(guī)劃的全局優(yōu)化算法通常采用罰函數(shù)來滿足系統(tǒng)的終止狀態(tài)約束條件，需要研究者憑借經(jīng)驗進行多次調(diào)試，工作量龐大，不利于算法的自動化實施。

基于以上問題，本文中在分析行星式混合動力系統(tǒng)效率特性基礎(chǔ)上，將行星式混合動力系統(tǒng)的2個自由度轉(zhuǎn)化為2個控制維度，由此設(shè)計一種分層優(yōu)化架構(gòu)，利用瞬時最優(yōu)控制策略實現(xiàn)底層控制的最優(yōu)，利用單維度的全局優(yōu)化策略實現(xiàn)頂層控制的最優(yōu)。通過仿真得出所提出的全局優(yōu)化算法可使整車油耗進一步降低。同時，在全局優(yōu)化算法中采用基于終止狀態(tài)受約束的邊界求解方法實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)約束，也有效避免了為實現(xiàn)電量平衡而產(chǎn)生的大量調(diào)試工作，降低優(yōu)化成本，減少計算工作量。

1 雙行星混合動力系統(tǒng)構(gòu)型

本文中研究對象為一種應用于城市客車的雙行星排式混合動力系統(tǒng)，系統(tǒng)構(gòu)型簡圖如圖1所示，包括發(fā)動機、電機MG1與MG2和雙行星排 PG1與PG2，前行星排PG1為系統(tǒng)的功率分流機構(gòu)，后行星排PG2的齒圈被固定于變速器機殼上，為電機MG2的減速機構(gòu)。

圖1 雙行星混合動力系統(tǒng)構(gòu)型簡圖

忽略系統(tǒng)內(nèi)部轉(zhuǎn)動慣量和摩擦損失，得

式中：ωe為發(fā)動機轉(zhuǎn)速；k1為前行星排特征參數(shù)；ωr1為前排齒圈的轉(zhuǎn)速；ωg為電機MG1轉(zhuǎn)速；Ts1為前排太陽輪轉(zhuǎn)矩；Tc1為前行星架轉(zhuǎn)矩。

由后行星排的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩關(guān)系，可得電機MG2與系統(tǒng)輸出軸的轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩關(guān)系：

式中：ωc2為后排行星架轉(zhuǎn)速；ωm為電機MG2轉(zhuǎn)速；k2為后行星排特征參數(shù)；Ts2為后排太陽輪轉(zhuǎn)矩，即電機MG2轉(zhuǎn)矩Tm；Tc2為后排行星架轉(zhuǎn)矩。

2 系統(tǒng)效率特性分析

本節(jié)中在行星式混合動力系統(tǒng)效率特性分析的基礎(chǔ)上，說明系統(tǒng)能量管理策略的兩個優(yōu)化控制維度。為了便于研究，將行星式混合動力系統(tǒng)分為發(fā)動機和傳動系統(tǒng)兩部分，分別研究兩部分的效率。

2.1 發(fā)動機工作效率

發(fā)動機的工作效率ηe通常利用其燃油消耗率be定義：

式中C為柴油熱值，本文中取值42 500 kJ/kg。be可表示為

式中：Te為發(fā)動機輸出轉(zhuǎn)矩；Be為發(fā)動機噴油率，g/h。

發(fā)動機效率主要受發(fā)動機工作點的影響。工程中針對行星式混合動力系統(tǒng)常用發(fā)動機最優(yōu)控制策略，能有效發(fā)揮行星式混合動力系統(tǒng)轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩雙解耦的特性，實現(xiàn)發(fā)動機工作效率的最優(yōu)化控制。

2.2 傳動系統(tǒng)效率

定義行星式混合動力系統(tǒng)的廣義傳動效率為傳動系統(tǒng)輸出功率與輸入功率之比。根據(jù)電池充、放電的不同情況，得到系統(tǒng)的廣義傳動效率：

式中：Po為傳動系統(tǒng)輸出功率；Pbat為電池輸出功率；Pe為發(fā)動機輸出功率。

由行星式混合動力系統(tǒng)的工作特性可知，傳動系統(tǒng)效率受機械點影響，在忽略各部件工作效率的前提下，可得電機MG1的電功率與發(fā)動機輸出功率關(guān)系：

式中1－δ表征了系統(tǒng)內(nèi)電功率占發(fā)動機輸出功率的比例。

在電池功率為零的前提下：當δ＝1時，發(fā)動機輸出功率全部經(jīng)由機械路徑輸出，此時即為系統(tǒng)的機械點；而δ＜1代表機械點前的工作狀態(tài)，電機MG1發(fā)電，MG2放電；δ＞1代表機械點后的工作狀態(tài)，電機MG1電動，MG2發(fā)電。

考慮機械點前、后以及電池充、放電情況對傳動效率的影響后，可得不同情況下的系統(tǒng)的廣義傳動效率：

式中：ηg和ηm分別為電機MG1和MG2的工作效率；ηr1和 ηr2分別為前、后行星排的機械效率；γ＝Pbat/Pe，表示電池功率相對于發(fā)動機功率的比例。結(jié)合上式可知，系統(tǒng)傳動效率除受到兩電機工作效率和機械傳動效率的影響外，還是關(guān)于分離因子δ和電池功率比例γ的函數(shù)。

根據(jù)式(5)，在確定系統(tǒng)輸出功率和電池功率的前提下，傳動效率將決定發(fā)動機輸出功率，即Pe＝fpe(Po，Pbat，ηtr)，由式(4)和式(5)可得

由于發(fā)動機燃油消耗率be可表示為be＝f(Pe，ωe)＝ f(Pe，v，δ)，發(fā)動機功率又是系統(tǒng)輸出功率和傳動效率的函數(shù)，再結(jié)合式(8)傳動效率又是關(guān)于分離因子的函數(shù)，因此，發(fā)動機噴油率最終可表示為車速、系統(tǒng)輸出功率、電池功率和分離因子的關(guān)系式：

由式(10)可知，系統(tǒng)輸出功率Po和車速v確定，則在行星式混合動力系統(tǒng)的能量管理策略優(yōu)化問題中，控制變量包含電池功率Pbat和分離因子δ兩個維度。

根據(jù)式(5)，最優(yōu)的傳動效率對應確定狀態(tài)下的最小發(fā)動機輸出功率，而發(fā)動機效率與系統(tǒng)燃油消耗率呈反比，即最優(yōu)的發(fā)動機效率對應最小的發(fā)動機燃油消耗率；發(fā)動機噴油率為發(fā)動機功率與燃油消耗率的乘積，則最優(yōu)的系統(tǒng)綜合效率即對應最小的發(fā)動機噴油率，由此可得瞬時最優(yōu)控制的目標函數(shù)。

基于上述分析，本文中將這兩個控制維度拆分為兩個控制層級。第一，在確定的系統(tǒng)輸出功率、車速和電池功率下，以分離因子δ為控制變量，以系統(tǒng)綜合效率最優(yōu)為控制目標的瞬時最優(yōu)控制問題，從而確定最優(yōu)系統(tǒng)綜合效率對應的發(fā)動機工作點。第二，在瞬時最優(yōu)控制的基礎(chǔ)上，以電池功率Pbat為控制變量，以整車燃油消耗量最小為控制目標的全局優(yōu)化控制問題，即確定全工況下的發(fā)動機功率和電池功率優(yōu)化分配策略。

3 瞬時最優(yōu)控制策略

本節(jié)中通過瞬時最優(yōu)策略建立發(fā)動機轉(zhuǎn)速和發(fā)動機功率之間的約束，在給定的系統(tǒng)狀態(tài)和目標電池功率下，確定使得系統(tǒng)綜合效率最優(yōu)的發(fā)動機工作點。

由于最優(yōu)的系統(tǒng)綜合效率對應最小的發(fā)動機噴油率，結(jié)合式(10)可得瞬時最優(yōu)控制的目標函數(shù)：

系統(tǒng)狀態(tài) x＝[v，Po，Pbat]；控制變量 u＝δ。 可見，瞬時最優(yōu)策略的優(yōu)化結(jié)果為不同車速、系統(tǒng)輸出功率和電池功率下的最優(yōu)分離因子。

由于系統(tǒng)輸出功率Po與電池功率Pbat之間僅有一個非線性因素，即為電機MG2的工作效率。基于此，定義系統(tǒng)等效輸出功率P′o為

根據(jù)式(11)和式(12)，系統(tǒng)狀態(tài)變量轉(zhuǎn)換為x＝[v，P′o]；控制變量為u＝δ。 因此最優(yōu)分離因子可表征為系統(tǒng)等效輸出功率與車速的二維關(guān)系，考慮系統(tǒng)的非線性特性，采用遺傳算法求解系統(tǒng)在不同狀態(tài)下的瞬時最優(yōu)控制變量。在確定車速下，系統(tǒng)輸出功率和輸出轉(zhuǎn)矩直接對應，考慮到需求轉(zhuǎn)矩在實車控制中更為常用，計算得到不同系統(tǒng)輸出轉(zhuǎn)矩和車速下的系統(tǒng)瞬時最優(yōu)分離因子，如圖2所示。

由圖可見，由于公交客車行駛車速較低，絕大多數(shù)情況下系統(tǒng)的最優(yōu)分離因子都被控制在1以下，僅少量高速、低負荷(輸出轉(zhuǎn)矩小于400 N·m)的情況下，分離因子超過1。實車僅空載情況下的滾動阻力已經(jīng)超過700 N·m，這部分分離因子超過1的情況幾乎不可能在實際運行中出現(xiàn)。但考慮到這里的需求轉(zhuǎn)矩是系統(tǒng)等效輸出功率對應的需求轉(zhuǎn)矩，若電池放電功率較大(放電時Pbat＜0)，等效輸出功率接近0的情況也可能發(fā)生，因此，仍保留了該部分計算結(jié)果。

4 全局優(yōu)化策略

為保證系統(tǒng)在全工況下的總體油耗最小，還須利用全局優(yōu)化算法確定目標工況下每一時刻的優(yōu)化電池功率。

4.1 全局優(yōu)化原理

行星式混合動力系統(tǒng)的全局優(yōu)化問題可表述為

采用動態(tài)規(guī)劃(DP)方法將式(13)和式(14)所表示的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為離散系統(tǒng)的最優(yōu)化問題：

式中Π為在目標工況下所有可行控制規(guī)則的集合。

根據(jù)DP的優(yōu)化原理，系統(tǒng)的全局最優(yōu)解可轉(zhuǎn)化為后向的優(yōu)化序列。

(1)系統(tǒng)最終時刻N的成本(見式(16))表示在約束范圍內(nèi)，各系統(tǒng)狀態(tài)對應的瞬時成本和懲罰。

式中：lN(xi)為最終時刻N狀態(tài)變量為xi時的系統(tǒng)瞬時成本；gN(xi)為最終時刻N基于狀態(tài)變量xi的懲罰量。

(2)根據(jù)DP的后向優(yōu)化原理，從k＝N－1到0的迭代計算可表示為

根據(jù)得到的初始時刻各狀態(tài)變量對應的最優(yōu)控制路徑后，從目標初始狀態(tài)x0出發(fā)，根據(jù)各時刻狀態(tài)變量與最優(yōu)控制變量的對應關(guān)系，進行前向計算，即可確定

4.2 優(yōu)化邊界求解

為避免實現(xiàn)電量平衡而進行的大量調(diào)試工作，本文中采用一種終止狀態(tài)受約束的邊界求解方法，在DP后向?qū)?yōu)前，首先開展系統(tǒng)邊界計算，獲取每一時刻狀態(tài)變量的邊界約束，進而通過在后向迭代尋優(yōu)過程中考慮邊界約束[9]，實現(xiàn)系統(tǒng)的電量平衡。以下邊界的求解為例說明邊界計算方法。

由等效內(nèi)阻模型作為電池模型，可得到電池電流Ibat和電池功率Pbat之間的關(guān)系：

式中rint為電池內(nèi)阻。根據(jù)SOC與電池容量Qbat和電流的關(guān)系，可得系統(tǒng)容量與電流的關(guān)系：

根據(jù)式(19)可得系統(tǒng)狀態(tài)變量與控制變量的關(guān)系：

可見，系統(tǒng)狀態(tài)與控制變量之間的關(guān)系可以表示為

定義k時刻能夠允許系統(tǒng)達到終止狀態(tài)下邊界的最小狀態(tài)變量值為該時刻的下邊界約束xk，low。根據(jù)混合動力系統(tǒng)的電量平衡要求，在其控制問題中，系統(tǒng)終止狀態(tài)的范圍為控制目標，是已知量，即xN，low＝xf，min，xf，min為終止狀態(tài)的下邊界值。 基于此，k＝N－1到k＝0時刻的系統(tǒng)狀態(tài)下邊界可以用后向迭代計算進行求解。

考慮本系統(tǒng)的狀態(tài)變量SOC為[0，1]之間的正數(shù)，式(22)可進一步改寫為

在后向迭代計算中，xk＋1，low為已知量(初始值為xf，min)，僅 xk，low和 uk為未知變量，因此，xk，low的求解屬于不動點問題(x＝f(x))，可利用不動點迭代方法進行求解。k時刻的下邊界求解流程如下。

考慮狀態(tài)變量 SOC的數(shù)量級，取容差 ξ＝10－5。在完成k時刻的下邊界求解后，重復上述(1)和(2)兩步，繼續(xù)求解得到k－1時刻的下邊界，直到k＝0。

為實現(xiàn)系統(tǒng)電量平衡，將終止狀態(tài)xf的上下邊界設(shè)置為基于目標狀態(tài)的較小范圍，利用上述邊界求解方法，即可實現(xiàn)基于終止狀態(tài)約束的邊界求解。

4.3 全局優(yōu)化結(jié)果

基于前文中建立的瞬時最優(yōu)控制策略和受約束的動態(tài)規(guī)劃算法，在中國典型城市工況下完成能量管理策略的優(yōu)化。首先，得到系統(tǒng)邊界約束求解結(jié)果和優(yōu)化的系統(tǒng)狀態(tài)，如圖3所示?？紤]電池的高效工作區(qū)間，本文中限制電池SOC的變化范圍為40%～60%，同時，為了實現(xiàn)電池電量平衡，設(shè)置終止狀態(tài)的邊界約束[xf，min，xf，max] 為[50%，51%]。 可見，本文中所采用的邊界求解方法能有效保證終止狀態(tài)數(shù)值，從而實現(xiàn)電量平衡，終止時刻的電池SOC達到50%。

圖3 優(yōu)化結(jié)果及邊界約束

為驗證基于瞬時最優(yōu)策略的全局優(yōu)化算法，分別建立了基于控制規(guī)則的發(fā)動機最優(yōu)控制策略(heuristic rule-based engine optimal control，HREOC)、瞬時最優(yōu)控制策略(heuristic rule-based instantaneous optimal control，HR-IOC)和基于瞬時最優(yōu)策略的全局優(yōu)化(DP-IOC)，并基于中國典型城市工況進行仿真驗證。燃油經(jīng)濟性仿真結(jié)果見表1。

表1 燃油經(jīng)濟性對比

由表可見，相比于HR-EOC策略，DP-IOC在中國典型城市工況下的100 km油耗降低了2.66 L；相比于HR-IOC策略，DP-IOC在中國典型城市工況下的100 km油耗降低了1.93 L。結(jié)果表明，利用DP算法對電池的電量使用規(guī)則進行優(yōu)化，能夠進一步降低整車油耗。

DP-IOC和HR-IOC策略下的發(fā)動機工作點分布如圖4所示。由圖可見，相比于基于規(guī)則的控制策略，DP優(yōu)化結(jié)果中，更多的發(fā)動機工作點分布在低速區(qū)間。

圖4 發(fā)動機工作點對比(HR-IOC與DP-IOC)

統(tǒng)計DP優(yōu)化結(jié)果的分離因子，結(jié)果如圖5所示。由圖可見，在DP優(yōu)化結(jié)果中，分離因子向著機械點方向移動的趨勢更加明顯，這說明全局優(yōu)化算法通過電池電量的合理利用，進一步優(yōu)化了系統(tǒng)的綜合工作效率。

圖5 分離因子統(tǒng)計(HR-IOC與DP-IOC)

針對優(yōu)化計算結(jié)果進一步開展統(tǒng)計分析，可說明系統(tǒng)優(yōu)化的原理和效果。系統(tǒng)綜合效率是發(fā)動機工作效率與傳動系統(tǒng)效率的乘積。其中，發(fā)動機工作效率可根據(jù)仿真得到的發(fā)動機燃油消耗率計算得到，傳動系統(tǒng)平均工作效率可表示為

式中：Edr為統(tǒng)計得到車輪處消耗的驅(qū)動總能量；Ergb為電池回收的再生制動能量；ηrgb為再生制動能量存儲于電池并釋放用于驅(qū)動車輛所產(chǎn)生的效率，主要受到電池充放電效率、電機效率和傳動路徑的機械效率影響；Eeng為發(fā)動機輸出總能量。 Edr－Ergbηrgb表示考慮再生制動后車輪處所需的驅(qū)動總能量。根據(jù)以上定義，基于仿真結(jié)果統(tǒng)計得到發(fā)動機平均效率、傳動系統(tǒng)平均效率和系統(tǒng)綜合效率，見表2。

表2 系統(tǒng)綜合效率分析

由表2可見，HRB-IOC策略下的發(fā)動機平均效率較為優(yōu)化，在中國典型城市工況下達到42.5%，但傳動系統(tǒng)平均效率相對較差，僅為72.1%，系統(tǒng)綜合效率為30.7%。經(jīng)過全局優(yōu)化后，發(fā)動機平均工作效率略有惡化，為41.2%，但傳動系統(tǒng)平均效率顯著提升，達到82.0%，傳動系統(tǒng)平均效率的提升使得系統(tǒng)綜合效率提升，達到33.8%。綜上可見，全局優(yōu)化算法通過電池電量的優(yōu)化使用，進一步提升了系統(tǒng)傳動效率和綜合效率，從而實現(xiàn)了整車油耗的進一步降低。

5 結(jié)論

通過系統(tǒng)效率特性分析，將行星式混合動力系統(tǒng)的2個自由度轉(zhuǎn)化為2個控制維度?；谙到y(tǒng)的2個控制維度，首先采用瞬時最優(yōu)控制策略以系統(tǒng)綜合效率最優(yōu)為目標，實現(xiàn)給定系統(tǒng)需求和電池功率條件下的發(fā)動機工作點尋優(yōu)；此后，以全工況下的綜合油耗最小為目標，以電池功率為控制變量，利用全局優(yōu)化算法實現(xiàn)電池電量的優(yōu)化利用。仿真結(jié)果表明，基于瞬時最優(yōu)策略的全局優(yōu)化算法進一步提升了系統(tǒng)傳動效率和綜合效率，從而實現(xiàn)了整車油耗的進一步降低。

此外，本文中在全局優(yōu)化算法中采用基于終止狀態(tài)約束的邊界求解方法實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)約束，解決了當前全局優(yōu)化目標函數(shù)中罰函數(shù)的不確定性問題，避免了為實現(xiàn)電量平衡而產(chǎn)生的大量調(diào)試工作，提升了優(yōu)化算法效率和在線實施的可行性。