從歐拉買郵票問題說開去

耿曉華

偉大的數(shù)學(xué)家歐拉是不是集郵愛好者，或許已經(jīng)無法考證，但歐拉買郵票問題卻流傳了下來．傳說歐拉在郵局買了一些郵票，其中2分錢一張的郵票數(shù)量是1分錢一張的郵票數(shù)量的分錢一張的郵票數(shù)量又是2分錢一張的郵票數(shù)量的還買了8分錢一張的郵票5張，他只用一張鈔票（這里假設(shè)有8種面額：1元、2元、5元、10元、50元、100元、1000元、10000元，且100分=1元）付款，并且沒有找回零錢（數(shù)學(xué)家的做事風(fēng)格嘛，哈哈），試問歐拉每種郵票各買了多少張？

顯然，我們可以借用方程思想解決這個問題．假設(shè)y為歐拉買的1分錢一張的郵票數(shù)量，則2分錢與5分錢一張的郵票的數(shù)量分別為．這說明y一定是16的正整數(shù)倍，我們不妨設(shè)y=16x，這樣所有郵票的總價為（16x+2×12x+5×9x+40）分，恰好是一張鈔票的面值k元．令16x+2×12x+5×9x+40=100k，其中x為正整數(shù)，k是1，2，5，10，50，100，1000，10000中的某個數(shù)．化簡這個方程得到17x=20k-8．要解決這個問題，最終就歸結(jié)為如何 求 二元一 次 方 程17x=20k-8的 正 整 數(shù) 解，其 中k∈｛1，2，5，10，50，100，1000，10000｝．

下面，我們給出如下幾種方案．

方案1：對于方程17x=20k-8，直接驗證k的所有可能的取值1，2，5，10，50，100，1000，10000，求得的x為正整數(shù)即可．驗證得到k只可能是1000．容易解得1分的郵票是18816張，2分的郵票14112張，5分的郵票10584張．這種方案運算量大，相對比較麻煩．

方案2：對于方程17x=20k-8，我們用方程一邊的“整”描述另外一邊的“整”，再枚舉即可．例如則是整數(shù)，再將k的所有可能的取值1，2，5，10，50，100，1000，10000逐一代入，即可知道k=1000是符合條件的，這樣x也可以求得．以下同方案1．

方案3：對于方程17x=20k-8，我們可以用方程一邊的“因子”描述另外一邊的“因子”，再枚舉即可．注意到右邊是4的倍數(shù)，方程可寫為17x=4（5k-2），所以x也一定是4的倍數(shù)．可設(shè)x=4m，則17×4m=4（5k-2），約分得到17m=5k-2，再將k的所有可能的取值1，2，5，10，50，100，1000，10000逐一代入，即可知道k=1000是符合條件的．以下同方案1．

丟番圖的“墓志銘”，出自《希臘詩文集》

實際上，這個問題中k的取值是有限的，可以借助于枚舉的方法得到，相對比較容易．如果我們可以把條件放寬一點，即k只要是正整數(shù)即可，那這個問題就遠(yuǎn)比原問題復(fù)雜多了，即求17x=20k-8所有的正整數(shù)解或者給出正整數(shù)解的結(jié)構(gòu)．像這樣形如ax+by=c（a，b，c∈Z，ab≠0）的方程，我們稱為最簡單的二元一次不定方程．不定方程歷史悠久，早在1700多年前，古希臘的數(shù)學(xué)家丟番圖就對不定方程做過深入的研究，所以不定方程又被稱為丟番圖方程．

我們先來分析一下最簡單的二元一次不定方程的解的結(jié)構(gòu)：

設(shè)方程ax+by=c，其中a，b，c為整數(shù)，且ab≠0．

若a，b的最大正公因數(shù)記為（a，b），當(dāng)且僅當(dāng)c是（a，b）的倍數(shù)時，該方程才有整數(shù)解，其所有的整數(shù)解為（t為整數(shù)），其中（x0，y0）是某個具體的解，我們也稱之為特解．

回到歐拉買郵票問題，考慮上述方程即20k-17x=8的正整數(shù)解，容易觀察x是4的倍數(shù)，所以通過簡單的枚舉得到k=14，x=16就是原方程的一組解，所以根據(jù)前面的結(jié)論就可以得到該方程所有的整數(shù)解為為整數(shù)）．再進(jìn)一步，求原方程的正整數(shù)解還需要滿足k＞0，且x＞0，所以只要參數(shù)t為自然數(shù)即可．因此，20k-17x=8的所有的正整數(shù)解為為自然數(shù)），這還表明這個方程組有無窮多組正整數(shù)解．

不定方程問題是非常有趣的代數(shù)問題，有一些不定方程有一些程序化的解決方案，對這一類不定方程的研究已經(jīng)成熟，例如前面的二元一次不定方程．但更多的不定方程因為結(jié)構(gòu)的多樣性，方法也是多樣的，沒有程序化的解決方案，甚至難度還特別大，例如著名的費馬大定理就是一個不定方程的解的問題：xn+yn=zn，當(dāng)n為大于2的正整數(shù)時，該方程無正整數(shù)解．很明顯，當(dāng)n=2時，任意一組勾股數(shù)就是解，但n＞2時，就特別困難．費馬提出的這個猜想，直到上世紀(jì)末才由美國數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯給出了證明，使得猜想成為定理，經(jīng)歷了350多年．懷爾斯因此獲得了1998年國際數(shù)學(xué)屆的最高獎之一的菲爾茲特別獎．值得一提的是，在這350多年里，還有很多的數(shù)學(xué)家鍥而不舍地研究這個問題，雖然他們沒有最終解決問題，但是在研究的過程中發(fā)現(xiàn)了新的問題，提出了新的猜想，創(chuàng)造了新的方法，有力地推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展．

數(shù)學(xué)的發(fā)展是波瀾壯闊的，代數(shù)中的不定方程就是其中的浪花一朵．