放飛小學(xué)生合理數(shù)學(xué)猜想

余虹 楊震

【摘 要】教師應(yīng)依據(jù)小學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)和思維能力，致力培養(yǎng)學(xué)生合情推理與歸納類比能力。在教師合理引導(dǎo)下進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想，可以提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)與解決問題的能力。通過“兩數(shù)之積的最值問題”和“烙餅問題”兩個教學(xué)案例，闡述數(shù)學(xué)猜想對小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的助推作用，以及一般性證明對教學(xué)模式選擇的指導(dǎo)性作用。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)生；合理；數(shù)學(xué)猜想

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）05-0294-02

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活經(jīng)常使用的思維方式”。合情推理能力的培養(yǎng)亦是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的核心目標(biāo)之一，對于培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新精神有著重要意義。

一、合理猜想，放飛學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

能夠進(jìn)行合情推理（即猜想）既是進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的必要條件，也是學(xué)生進(jìn)入社會后能夠進(jìn)行科學(xué)思維的必然要求。歸納與類比也屬于猜想，學(xué)生可以通過猜想打開思想的“閘門”。

小學(xué)生的年齡較小，智力發(fā)展尚未成熟，認(rèn)知水平多處于由具體形象思維向邏輯抽象思維的過渡階段，難以從整體角度對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行分析與論證。他們處于系統(tǒng)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的初始階段，有著純真豐富的想象力。如果引導(dǎo)學(xué)生善于進(jìn)行猜想，則有朝一日他們會在思維的“地基”上搭建出極富特色的“自由王國”。

在教學(xué)實(shí)踐中，教師要找準(zhǔn)知識的產(chǎn)生點(diǎn)、發(fā)展點(diǎn)、變化點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生合情猜想能力。

二、兩個案例，談培養(yǎng)學(xué)生合理猜想

愛因斯坦說“提出一個問題比解決一個問題更重要”，數(shù)學(xué)不是單純的解題，也不是單一的證明，它應(yīng)該包含猜想，而且往往先有猜想然后才有證明。

案例1 四年級的學(xué)生拿著這樣一道題“用9、2、5、3、0五張數(shù)學(xué)卡片，如何組成一道三位數(shù)乘兩位數(shù)的試題，使乘積盡可能大？”來詢問，說沒有解題思路。

當(dāng)學(xué)生對某類問題無從下手時，就需要在教師引導(dǎo)下，先猜想，再推理論證，從而解決問題。

1.“順向式”猜想。

給定五個數(shù)字，組成一個三位數(shù)和一個兩位數(shù)，使兩數(shù)之積最大。滿足“數(shù)字大者在高位”這一必要條件后，問題癥結(jié)在于“這兩數(shù)之差的大小變化會導(dǎo)致其乘積大小發(fā)生變化”。

引導(dǎo)學(xué)生通過測量猜想“相同周長的長方形中，正方形面積（相鄰兩邊之積）最大”，從而類比猜想：這兩個數(shù)之差最小時乘積最大，即92×530=48760。事實(shí)上，亦可類比聯(lián)想到均值不等式；或如上圖，通過觀察二次函數(shù)圖像y=x（b-x）其中y>0，b>0，當(dāng)x與（b-x）越接近y值越大，當(dāng)x=b-x=b2時，存在最大值，亦似可印證猜想。

上例問題，由于給定的數(shù)字較少，學(xué)生可利用枚舉法驗(yàn)證猜想。

上述問題加以推廣：給定n個數(shù)字，n≥3且n∈Z（其中有i個零，i∈N，i≤n-2），將這n個數(shù)字組成兩個數(shù)，使其乘積最大。教師在論證之后，再選擇合理教學(xué)模式。

利用化歸思想結(jié)合構(gòu)造法論證上述一般性問題：

令0

an-ian-i-1…a1表示（n-i）位數(shù)。

①設(shè)n-i=3，則0

顯然a2a1·a3>a3a1·a2

故其乘積最大為a2a1·a3·10i

②設(shè)n-i=4，則0

利用結(jié)論①得a3a2·a4>a4a2·a3

因a3a2·a4a1=a3a2·a40+a3a2·a1

a3a2a1·a4=a3a20·a4+a1·a4

可知a3a2·a4a1>a3a2a1·a4

故兩數(shù)之積最大為a3a2·a4a1·10i。

以此類推，利用化歸思想得：

當(dāng)n-i為偶數(shù)時，an-ian-i-3an-i-5…a1·an-i-1an-i-2an-i-4…a2·10i

乘積最大。

當(dāng)n-i為奇數(shù)時，an-ian-i-3an-i-5…a2·an-i-1an-i-2an-i-4…a1·10i

乘積最大。

綜上所述，猜想成立。

2.“逆向式”猜想。

引導(dǎo)學(xué)生將求最大值問題變式為求最小值問題：用9、2、5、3、0五張數(shù)學(xué)卡片，組成一個三位數(shù)和一個兩位數(shù)，使這兩數(shù)之積最??？

給定五個數(shù)字，要組成一個三位數(shù)和一個兩位數(shù)，使其乘積最小，必要條件為“數(shù)字小者放在高位且最高位不為零”。由所組成的兩個數(shù)之差最小時乘積最大，逆向猜想兩個數(shù)之差最大時乘積最小，即20×359=7180。

學(xué)生通過枚舉法進(jìn)行驗(yàn)證，教師做一般性論證如下：

①有4個數(shù)字（其中有1個“0”），將這4個數(shù)字組成二個兩位數(shù)，使其乘積最小。

令0

易知a10·a2a3

②有5個數(shù)字（其中有1個“0”），將這5個數(shù)字組成一個兩位數(shù)和一個三位數(shù)，使其乘積最小。

令0

化歸為問題①，推知a10·a2a3a4

故其乘積最小為：a10·a2a3a4

由類似方法可解決：給定n個數(shù)字，其中含i個“0”（i≤n-2，n≥2，i∈N），將這n個數(shù)字組成一個a位數(shù)與一個b位數(shù)（a、b>0，a、b∈Z），求兩數(shù)之積的最小值?？芍獌蓴?shù)之差最大時，這兩數(shù)之積最小。

另有：給定n個數(shù)字，n≥2，將這n個數(shù)字組成若干個數(shù)，若給定的數(shù)字中有“0”，則所得若干個數(shù)之積最小值為零；若給定的數(shù)字中不含“0”，則令0

a1a2…an-1an>a1a2…an-10>a1a2…an-1·an

推知所得若干個數(shù)之積最小值為a1·a2·a3…an。

案例2 烙餅問題：要用鍋烙3張餅，每次最多烙2張餅，如何安排才能讓烙餅的次數(shù)最少？

引導(dǎo)學(xué)生猜想3張餅共6面，每次最多烙兩面，故烙餅次數(shù)最少為6÷2=3次。學(xué)生利用自制的小圓片代替烙餅的正反兩面，動手演示烙餅過程，驗(yàn)證猜想是否正確。

對以上問題進(jìn)行拓展：烙n（n>1，n∈Z）個餅，每次烙兩面，至少要烙幾次？

學(xué)生合情推理：烙n個餅，共烙2n個面，每次烙兩面，至少烙2n÷2=n次

在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步拓展：若烙n個餅，每次最多烙m（n，m∈z+）個面，則至少烙多少次？

學(xué)生解決具體問題，如烙10個餅，每次烙3面，至少烙多少次？學(xué)生通過計(jì)算20÷3=6……2猜想至少烙7次。并通過模擬操作驗(yàn)證，體會化歸思想。

教師通過合情推理得出以下一般性結(jié)論并加以證明，以供科學(xué)引導(dǎo)學(xué)生之用。

若烙n個餅，共2n個面，每次最多烙m（n，m∈z+）個面，則烙的最少次數(shù)為

先證：當(dāng)m

①當(dāng)2b

化歸為烙（m+b）個餅的問題，過程如下：

I.烙m個餅

II.將烙過一面的m個餅中取出b個，將剩下的（m-b）個翻面，補(bǔ)上b個末烙過的餅。

III.取出已烙好的（m-b）餅

IV.將第一次取出的b個餅放入鍋中，同時將第II步補(bǔ)上的b個餅翻面，則烙完所有的餅。

由此可知，烙（m+b）個餅至少需3次。

得烙n個餅，每次最多烙m個面，次數(shù)最少為：

2（a-1）+3=2a+1，即[2nm]+1。

②當(dāng)2b>m時，2n=（2a+1）m+（2b-m）

化歸為烙（m+b）個餅的問題，過程如下：

I.烙m個餅

II.將烙過一面的m個餅中取出b個，將剩下的（m-b）個翻面，補(bǔ)上b個末烙過的餅。

III.取出已烙好的（m-b）餅

IV.將第一次取出的b個餅中的（m-b）個放入鍋中，同時將第II步中補(bǔ)上的b個餅翻面。

V.將剩下的（2b-m）個餅烙完。

由此可知，烙（m+b）個餅至少需4次。

得烙n個餅，每次最多烙m個面，次數(shù)最少為：

2（a-1）+4=（2a+1）+1，即[2nm]+1。

再證：當(dāng)m

b∈N，b

①當(dāng)m≠2且m為奇數(shù)時，m整除n，所烙次數(shù)最少為2nm

當(dāng)m≠2且m為偶數(shù)時，由2n=2am+2b，知m整除（2am+2b），得m整除2b，因0<2bm<2，故2bm=1，即m=2b。化歸為烙（m+b）個餅的問題，易

知烙（m+b）個餅至少3次，得所烙次數(shù)最少為2（n-m-b）m+3=2nm。

②當(dāng)m=2且n為奇數(shù)時：

知b=1，化歸為烙三個餅問題，烙三個餅次數(shù)最少為3。易知烙n個餅，每次最多烙2個面，所烙次數(shù)最少為2（n-3）2+3=n，即2nm。

當(dāng)m=2且n為偶數(shù)時：

易知烙n個餅，每次最多烙2個面，2整除n，所烙次數(shù)最少為2n2=n，即2nm。

由上所述，命題成立。

以上兩個數(shù)學(xué)問題看似完全不同，實(shí)際上都用到猜想與化歸，可按相同的模式加以解決。教師應(yīng)該對這些問題作為相同的思維方法在不同情境中的應(yīng)用來看待，從而啟發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)各類問題間的內(nèi)在聯(lián)系，從而高效地建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)。

數(shù)學(xué)需要嚴(yán)格地推理，更需要大膽地猜想。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要放飛學(xué)生合理的數(shù)學(xué)猜想。

參考文獻(xiàn)

[1]（美）波利亞.數(shù)學(xué)與猜想[M].北京：科學(xué)出版社，2001.5.

[2]（美）伍德沃克.教育心理學(xué)[M].南京：江蘇教育出版社，2005.4.

[3]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.1.