數(shù)學(xué)教學(xué)方法創(chuàng)新的幾點(diǎn)嘗試

劉道貴

素質(zhì)教育要求在基礎(chǔ)教育階段，要培養(yǎng)學(xué)生具有實(shí)現(xiàn)自我“可持續(xù)性發(fā)展”的意識(shí)和能力。要求我們的學(xué)生學(xué)會(huì)設(shè)問(wèn)，學(xué)會(huì)探索，學(xué)會(huì)概括，學(xué)會(huì)合作，去解決面臨的問(wèn)題，去適應(yīng)環(huán)境。只有學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，才能學(xué)會(huì)生存，只有敢于創(chuàng)新，才能贏得發(fā)展。江澤民同志指出：“創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂，是國(guó)家興旺發(fā)達(dá)的不竭動(dòng)力”。培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力是實(shí)施素質(zhì)教育的重點(diǎn)，也是我們教師的責(zé)任。

創(chuàng)新精神是每一個(gè)學(xué)生都具有的，在基礎(chǔ)教育階段主要是激發(fā)學(xué)生的好奇心、求知欲和想象力，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性的思維品質(zhì)、科學(xué)精神和人文精神，發(fā)展學(xué)生的探究、發(fā)現(xiàn)和初步的創(chuàng)造能力。在課堂教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生大膽設(shè)想、敢于探索、善于創(chuàng)新的精神，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要課題。筆者根據(jù)多年的教育教學(xué)實(shí)踐，就數(shù)學(xué)教學(xué)方法創(chuàng)新，談?wù)勛约旱淖龇ㄅc體會(huì)。

一、揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展和本質(zhì)，體會(huì)蘊(yùn)含在其中的思想方法，是誘發(fā)創(chuàng)新意識(shí)的重要環(huán)節(jié)

學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)造能力，不是一朝一夕所能形成的，而是靠教師平時(shí)長(zhǎng)期有意識(shí)地培養(yǎng)和點(diǎn)滴積累而形成的。平時(shí)教學(xué)中，教師要從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)背景出發(fā)，向他們提供充分的從事數(shù)學(xué)活動(dòng)和交流的機(jī)會(huì)，構(gòu)建自己有效的數(shù)學(xué)理解的場(chǎng)所，幫助他們?cè)谧灾魈剿鞯倪^(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，要善于創(chuàng)設(shè)問(wèn)題的情境，多角度激發(fā)學(xué)生去積極思維和操作，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，使學(xué)生得到足夠的創(chuàng)造空間。

例如在新時(shí)代滬科版七年級(jí)（下）完全平方公式與平方差公式的導(dǎo)入，我是這樣引入的：先回顧多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則即：

。

（1）令 得：

.

（2）在（1）的基礎(chǔ)上用 去替換 得：

。

（3）令 得

。

（4）令 得：

。

以上的四種設(shè)問(wèn)我認(rèn)為才算是真正意義上的從學(xué)生已有的知識(shí)背景“多項(xiàng)式乘法法則”出發(fā)，同時(shí)又賦予了代數(shù)式中字母的真正含義，在不知不覺(jué)中將新的知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法滲透給了學(xué)生，實(shí)現(xiàn)了“和平演變”，通過(guò)隨堂檢測(cè)，達(dá)到了較好的教學(xué)效果。

又如，在學(xué)完立幾“直線和平面”這一章，進(jìn)行章節(jié)復(fù)習(xí)中，我選取了如下例題：

例1：已知：AB⊥α，BC∈α，CD⊥BC且CD與平面α成30°角，若AB=BC=CD=2（如圖），

（1）求證：AD與BC是異面直線；

（2）求AB與CD兩異面直線間的距離；

（3）求平面BCD與平面α所成二面

角的大??；

（4）求A、D兩點(diǎn)問(wèn)的距離；

（5）求AD與平面α所成角的正弦值；

（6）求點(diǎn)D到平面ABC的距離。

分析：（1）用反證法。（2）根據(jù)異面直線距離的定義可知，線段BC的長(zhǎng)為其距離。（3）作DE⊥α，連結(jié)CE，由三垂線逆定理知，∠DCE為平面BCD與平面α所成二面角的平面角，且∠DCE=30°。（4）圖中四邊形ABED是直角梯形，通過(guò)Rt△CDE與Rt△BCE可求得DE=1，BE=，因?yàn)锳B=BC=2，設(shè)F為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DF，則AF=1，從而可在Rt△AFD中求出AD=。（5）因?yàn)镈F∥BE，所以∠ADF為AD與平面α所成角的大小，不難求出sin∠ADF=。（6）由以上可知DE∥AB，故DE∥平面ABC，那么DE與平面ABC的距離就是點(diǎn)D到平面ABC的距離，而CE是DE與平面ABC的公垂線，所以線段CE的長(zhǎng)是它們間的距離，可由Rt△CDE中求出CE=，即點(diǎn)D到平面ABC的距離為。

當(dāng)上述輔助線DE作出后，并完成了上面六個(gè)問(wèn)題，進(jìn)而還可以向?qū)W生提出以下幾個(gè)問(wèn)題。

（7）求證平面BCD⊥平面CDE；（8）求點(diǎn)A到CE的距離，A到CD的距離；（9）求異面直線DE與AC的距離；

（10）求點(diǎn)A到平面CDE的距離；（11）求BD與平面CDE所成角的大小。

以上通過(guò)一個(gè)題設(shè)，多個(gè)結(jié)論的典型例題示范，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多角度思考，展開(kāi)發(fā)散思維，這對(duì)于鍛煉學(xué)生思維的深度、廣度、靈活性都能起到積極的作用，從而培養(yǎng)他們良好的思維品質(zhì)及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。

二、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題背景，從多角度培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性，是培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)的核心。

蘇霍姆林斯基說(shuō)：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者。”因此，教師要善于挖掘問(wèn)題存在的歷史背景及解決問(wèn)題策略的多樣性，激勵(lì)學(xué)生從不同的知識(shí)體系中尋求不同的方法解決同一問(wèn)題，讓學(xué)生從求異思維中進(jìn)一步認(rèn)識(shí)事物并且加深對(duì)與之相關(guān)的知識(shí)鞏固和理解。為思維的創(chuàng)新奠定基礎(chǔ)。

我們知道， 數(shù)學(xué)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活， 數(shù)學(xué)的發(fā)展應(yīng)歸結(jié)為現(xiàn)實(shí)所需. 當(dāng)學(xué)生要學(xué)習(xí)某種新知識(shí)之前， 如果他們先了解這項(xiàng)知識(shí)在生活中的背景材料， 那么對(duì)知識(shí)的理解會(huì)自然， 接受也坦然， 記憶長(zhǎng)遠(yuǎn)， 運(yùn)用自如。

例如學(xué)習(xí)兩個(gè)重要不等式時(shí)， 可通過(guò)如下兩個(gè)實(shí)際應(yīng)用背景， 引導(dǎo)學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)重要不等式的定理及其推論. 某商店在節(jié)前進(jìn)行商品降價(jià)酬賓銷(xiāo)售活動(dòng)， 擬分兩次降價(jià). 有三種降價(jià)方案：甲方案是第一次打 折銷(xiāo)售， 第二次打 折銷(xiāo)售；乙方案是第一次打 折， 第二次打 折銷(xiāo)售；丙方案是兩次都打 折銷(xiāo)售. 請(qǐng)問(wèn)：哪一種方案降價(jià)較多？

學(xué)生通過(guò)審題、分析、討論， 共同得出：甲乙方案給顧客的優(yōu)惠率都是 ；

丙方案給顧客的優(yōu)惠率是 ，最后歸結(jié)為比較 與 大小的問(wèn)題.

用作差法即可得 ，另外通過(guò)平方展開(kāi)或開(kāi)方即可得重要不等式：

（1） ，

（2） 。這樣給出重要不等式的兩個(gè)定理， 已是水到渠成， 相當(dāng)自然.

不等式（2）還可以從幾何的角度，利用數(shù)形結(jié)合思想加以證明：構(gòu)造以長(zhǎng)度為 為直徑的半圓（如上圖），

利用垂徑定理和其幾何性質(zhì)很容易得出不等式（2）。

再如高中數(shù)學(xué)必修4關(guān)于“兩角差的余弦公式”的證明有三種不同的方法證明： 。

（1） 從幾何的角度，在單位圓里證；

如下圖，設(shè)角 為銳角且 >

，角 終邊是OA，則 。

OA= ，AP= ，并且 。于是

= .

（2）在單位圓中利用向量證；如圖（上圖）在平面直角坐標(biāo)系 內(nèi)作單位圓O，以 為始邊作角 ，它們的終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別是A，B.則 ， .

由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有

.

設(shè) 與 的夾角為 ，則 .

而由題意知 ，

所以有 ，即公式的證。

（3）在直角坐標(biāo)系中，利用兩點(diǎn)間的距離證。（證明略）

在中學(xué)數(shù)學(xué)中， 很多數(shù)學(xué)問(wèn)題都具有生活的背景和意義. 從學(xué)生的角度來(lái)說(shuō)， 這些生活實(shí)例構(gòu)成了他們的新知識(shí)的基礎(chǔ)， 是獲取新知識(shí)的不可或缺重要組成部分. 所以， 在教學(xué)中要善于發(fā)掘問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系， 抽象問(wèn)題的本質(zhì)， 進(jìn)而用數(shù)學(xué)語(yǔ)言（符號(hào)）來(lái)表達(dá)問(wèn)題的實(shí)質(zhì). 這個(gè)過(guò)程是學(xué)生親身體會(huì)、全面思考、分析問(wèn)題的過(guò)程， 是培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和創(chuàng)造性的必要手段.

三、對(duì)課本例題進(jìn)行深入挖掘、拓展，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，是培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)的重要方法。

荷蘭著名學(xué)者弗賴登塔爾說(shuō)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行‘再創(chuàng)造，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來(lái)，教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種創(chuàng)造工作，而不是把現(xiàn)成的知識(shí)灌輸給學(xué)生。”因此，我在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已解答的問(wèn)題進(jìn)行進(jìn)一步的探究推廣和再創(chuàng)造，反思其題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系，即已知這些條件能得出那些結(jié)論和要得出這一結(jié)論需要哪些條件。通過(guò)這樣有意識(shí)的引導(dǎo)，可使學(xué)生思考問(wèn)題更深刻，抓住事物的規(guī)律和本質(zhì)，對(duì)知識(shí)的理解達(dá)到舉一反三融會(huì)貫通，有助于創(chuàng)新意識(shí)的形成。

例2：一條小河的同旁有兩個(gè)村莊A、B，在河邊修一個(gè)抽水站，問(wèn)該站應(yīng)修在什么地方才能使它到兩村莊的距離之和最短？

這是一個(gè)經(jīng)久不衰的老題，每次的課改版本中均保留了它。究其原因關(guān)鍵是代表了一種方法即利用對(duì)稱知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法。因此每個(gè)學(xué)生都必須掌握（如上圖）。

如果我們能引導(dǎo)學(xué)生更深一步思考，大膽地將思維擴(kuò)展一下：A、B兩村莊在小河的兩邊，情況會(huì)怎么樣？

變題1：小河兩岸（設(shè)兩岸是平行的）有兩個(gè)村莊A、B，要在河上修一座與河岸垂直的小橋，使兩村莊間的距離為最短，小橋應(yīng)修在什么地方？（解答如下圖）

與變題1比較，僅改變了這么一個(gè)條件，就出現(xiàn)了一個(gè)“新”題。但它的實(shí)質(zhì)和變題完全相同，這是思維上的一次飛躍和創(chuàng)新，是思維向高層次發(fā)展的結(jié)果。

如果將例2中的A、B兩點(diǎn)換成兩個(gè)圓，我們就得到：

變題2：設(shè)直線的同旁有兩個(gè)定圓⊙和⊙，試在⊙、⊙和上各找一個(gè)點(diǎn)A、B和C，使AC+CB最短。

問(wèn)題的解答是簡(jiǎn)單的，作⊙，使它關(guān)于直線與⊙對(duì)稱，連結(jié)交于C，交⊙于B，連交⊙于A，則A、B、C為所求的點(diǎn)，即AC+BC最短。因?yàn)閷?duì)⊙，⊙和上的其他任意點(diǎn)A、B、C總有AC+CB>AC+CB（圖略）。

變題3：若河邊所在的直線改為X軸，A、B兩村莊為坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，A（-1，2），B（3，5），問(wèn)在X軸上是否存在一點(diǎn)C使得AC+BC最短？在Y軸呢？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)。

前面的問(wèn)題都是在平面上討論的，如果將思維擴(kuò)展到三維空間情況又怎樣呢？請(qǐng)看

變題4：在平面α上取一點(diǎn)P，使它到α同旁的兩定點(diǎn)A、B的距離之和為最?。ㄈ缟蠄D）。

變題5：在二面角α-AB-β的兩個(gè)面α、β上各有一點(diǎn)P、Q，在AB上找一點(diǎn)O，使PO+OQ為最?。ㄈ缟嫌覉D）。

空間圖形中，我們接觸較多的有正方體和圓柱體等，這樣又有一個(gè)新的擴(kuò)展。

變題6：如下圖，在圓柱形鐵桶的外側(cè)A處有一條小蟲(chóng)，請(qǐng)為它設(shè)計(jì)一條最短的路線，使它沿桶外側(cè)爬到桶內(nèi)壁的B處。

分析：將桶的側(cè)面展開(kāi)為一矩形，取B點(diǎn)關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn) ，連結(jié)交CD于E，則E點(diǎn)為所求，即小蟲(chóng)沿外側(cè)AE方向爬到E點(diǎn)，再?gòu)腅點(diǎn)沿內(nèi)壁EB方向爬到B點(diǎn)，此時(shí)路線最短。這不就是例2嗎？

象以上這樣的問(wèn)題在教學(xué)中只要留心可以隨處找到而且很多，俗話說(shuō)得好“處處留心皆學(xué)問(wèn)”。從教學(xué)思想方法的角度來(lái)講，如果我們能經(jīng)常有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生從多角度訓(xùn)練、多方位去思考，使他們的思維不局限在某一點(diǎn)、某一個(gè)側(cè)面上或某一方法上，不僅滿足于解決問(wèn)題，大膽擴(kuò)充視野，而且要爭(zhēng)取更多信息，使其在結(jié)構(gòu)、形式、材料、功能等方面充分地?cái)U(kuò)展引伸，從而不斷提高思維的深度和廣度，那么我們就一定會(huì)獲得更多具有創(chuàng)新性的成果，使學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)通過(guò)教學(xué)得到充分地培養(yǎng)。