關(guān)于有理函數(shù)教學(xué)的幾點(diǎn)思考

李瑩瑩

【摘要】本文通過高等數(shù)學(xué)的兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，有理函數(shù)求極限和有理函數(shù)找間斷點(diǎn)分析并闡述了掌握有理函數(shù)運(yùn)算原理的重要性，以及數(shù)學(xué)教學(xué)的目的和意義在于讓學(xué)生具備一定數(shù)學(xué)素養(yǎng)，養(yǎng)成科學(xué)有效的思考方式。

【關(guān)鍵詞】有理函數(shù) 極限 間斷點(diǎn)

【中圖分類號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）09-0134-02

我們研究數(shù)是從整數(shù)到分?jǐn)?shù)，正數(shù)到負(fù)數(shù)，最終學(xué)習(xí)了有理數(shù)運(yùn)算的理論，學(xué)習(xí)代數(shù)式是從整式到分式，但卻沒有在中學(xué)給學(xué)生形成有理函數(shù)運(yùn)算的一般理論。高等數(shù)學(xué)第一章講完函數(shù)極限定義后，我們重點(diǎn)研究了有理函數(shù)的極限，但這時(shí)很多學(xué)生對(duì)有理函數(shù)這個(gè)概念是陌生的，有函數(shù)即多項(xiàng)式的商，下面我們分別來看看國(guó)內(nèi)中學(xué)的競(jìng)賽題和SAT考試題：

1.已知多項(xiàng)式6x2+7x+k能夠被2x+1整除，求k的值。

2.Give the ploynomial 6x4+2x2-8x-c， where c is a constant，for what value of c will have no remainder？

這兩個(gè)題目考查的是相同問題，要求學(xué)生明白多項(xiàng)式乘除的一般原理，就像弄明白有理數(shù)的運(yùn)算規(guī)則是一樣的。

解：根據(jù)已知條件6x2+7x+k=（2x+1）P（x），6x4+2x2-8x-c=（x+2）Q（x），P（x），Q（x）分別是一次和三次多項(xiàng)式，將x=- ，x=-2分別代入方程6x2+7x+k=0，6x4+2x2-8x-c=0，得k=2，c=2。

在國(guó)內(nèi)這不是升學(xué)考試的重點(diǎn)內(nèi)容，而被學(xué)生忽視了，或者說我們的學(xué)習(xí)太功利，目標(biāo)太明確了，從而拋棄了某些基本理論，規(guī)避了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的除了升學(xué)之外的意義。都說數(shù)學(xué)是思維的體操，這句話有點(diǎn)太老套了，但我們確實(shí)需要有科學(xué)、有效的思考方式，以應(yīng)對(duì)成長(zhǎng)、生活、工作中的各種問題，這也是我們?cè)诿恳粋€(gè)階段都需要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的主要原因。

高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有理函數(shù)主要研究了兩個(gè)問題，有理函數(shù)的極限和原函數(shù)，在有理函數(shù)求極限、有理函數(shù)找間斷點(diǎn)的過程中，有理函數(shù)的基本運(yùn)算和性質(zhì)都是至關(guān)重要的。

3.求極限

解：分子分母都趨向于零，在沒有學(xué)習(xí)洛必達(dá)法則之前我們需要將分子因式分解，如果知道多項(xiàng)式乘除的原理，處理起來很順利，x5+x3+x+3=（x+1）（x4-x3+2x2-2x+3），約分后代入求值，得結(jié)果9，否則需要學(xué)生填項(xiàng)完成因式分解，首先這不是所有學(xué)生都能想得到的，再則，當(dāng)題目換成 ，學(xué)生需要再次通過填項(xiàng)完成因式分解，分解的難度也增大了。我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該提倡的是第一種解決方案，用一個(gè)理論，一種方法處理一類問題，盡量減少特殊方法，解題技巧，一些基本的論理在平時(shí)的教學(xué)中必須重點(diǎn)去處理，讓學(xué)生形成正確的思維方式。

4.求函數(shù)f（x）= 的間斷點(diǎn)

解：f（x）的定義域是x≠-3，1

x=-3是無窮間斷點(diǎn)，x=1是可去間斷點(diǎn)。

在學(xué)習(xí)間斷點(diǎn)之前，我們首先應(yīng)該通過研究函數(shù)的圖像，知道x≠-3，1這兩個(gè)限制條件分別是函數(shù)的鉛直漸近線和“洞”，這樣在找間斷點(diǎn)并判別類型時(shí)，根據(jù)極限學(xué)生在已知有理函數(shù)不同限制條件在圖像上的表現(xiàn)后，能更好地理解間斷點(diǎn)及其分類。

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，老師講授數(shù)學(xué)，除了考試升學(xué)之外，我們更應(yīng)該讓學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，養(yǎng)成科學(xué)有效的思考方式。國(guó)外中學(xué)數(shù)學(xué)教材在講到軸對(duì)稱的時(shí)候，用到了鏡子，讓學(xué)生通過鏡子來理解什么是軸對(duì)稱，大家會(huì)覺得數(shù)學(xué)怎么這么不嚴(yán)謹(jǐn)了，但這正應(yīng)該是我們具備的一種思考方式，用你能夠使用的工具，能夠想到的辦法去解決實(shí)際問題。而不是像我們?cè)诮饽承?shù)學(xué)題的時(shí)候，經(jīng)歷了多次的推導(dǎo)演算，山路十八彎，才得到答案，一個(gè)班上只有個(gè)別學(xué)生能想到思路。這樣的思考方式不具備普遍性，也不是絕大多數(shù)人能完成的事，不應(yīng)成為我們教學(xué)的主體。

我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該重點(diǎn)講解解題的一般思路，一般方法，順應(yīng)知識(shí)點(diǎn)來解題讓大家的思考，每一種方法都有支點(diǎn)（概念、定理、性質(zhì)），每一個(gè)想法都不是無水之源，做我們能做的事情，想我們可以想到的方法，別總把數(shù)學(xué)解釋的高深莫測(cè)，讓數(shù)學(xué)惠及每一個(gè)人。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，《高等數(shù)學(xué)》（第七版），高等教育出版社，2014.7.

[2]人民教育出版社教學(xué)資源編輯室，《教材解讀》（數(shù)學(xué)，八年級(jí)，上冊(cè)），人民教育出版社，2017.5.

[3]黃伯強(qiáng)，《有理分式函數(shù)的部分分式分解》，南京工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2008.6.