談?wù)劇昂瘮?shù)”

楊婉玲

摘 要 “函數(shù)”是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念。由于函數(shù)是以運(yùn)動變化的觀點(diǎn)對現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的一種刻畫，決定了它是對學(xué)生進(jìn)行素質(zhì)教育的極好材料。函數(shù)所包含的內(nèi)容十分廣泛，它的概念和思維方法滲透在數(shù)學(xué)的各個(gè)部分。

關(guān)鍵詞 中學(xué)數(shù)學(xué) “函數(shù)”

中圖分類號：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

首先，讓我們來認(rèn)識一下“函數(shù)”。函數(shù)概念的形成在歷史上大體分三個(gè)階段。

第一階段把函數(shù)定義為“解析表達(dá)式”。由于17、18世紀(jì)工程技術(shù)和天體力學(xué)研究的需要，引進(jìn)了變量，研究變量必然涉及到變量與變量之間的關(guān)系，于是函數(shù)的概念就逐漸形成了。1784年歐拉在《無窮小分析引論》中把單變量的函數(shù)定義為“由該變量與數(shù)字一起以任意方式構(gòu)成一種解析表達(dá)式”。

第二階段把函數(shù)定義為變量之間的單值對應(yīng)。隨著函數(shù)研究的發(fā)展和函數(shù)廣泛的應(yīng)用，只停留在把函數(shù)理解為解析表達(dá)式顯然不夠全面。例如，由列表法、圖象法，所表示的函數(shù)關(guān)系就不包含在上述定義中，于是產(chǎn)生了把函數(shù)定義為“變量之間的單值對應(yīng)”，柯西給出的定義是“對于x的每一個(gè)值，如果y有完全確定的值與之對應(yīng)，那么y叫做x的函數(shù)”現(xiàn)階段初中數(shù)學(xué)的函數(shù)概念就接近這個(gè)定義。這樣，函數(shù)可以用解析式表示，這樣就把函數(shù)概念又一次擴(kuò)充了。

在集合與對應(yīng)概念的基礎(chǔ)上，把函數(shù)定義為一種特殊的對應(yīng)。并用y=f（x）表示是函數(shù)概念的一次深化，它為函數(shù)概念的第三個(gè)階段作了準(zhǔn)備。由于中學(xué)研究的函數(shù)主要是數(shù)值函數(shù)，而且又以連續(xù)函數(shù)為主，所以高中階段的函數(shù)僅限于以集合與對應(yīng)的概念來解釋數(shù)值函數(shù)的概念。

了解了函數(shù)的形成歷史，在此基礎(chǔ)上，對函數(shù)的教學(xué)才能有的放矢。不難發(fā)現(xiàn)，在中學(xué)階段，我們對函數(shù)的學(xué)習(xí)是循序漸進(jìn)的。在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，函數(shù)的教學(xué)大致可分為三個(gè)階段。

第一階段是在初中代數(shù)課程中初步探討了函數(shù)的概念。其中初一（上）“字母表示數(shù)”一章，旨在讓學(xué)生體會字母表示數(shù)的必要性，從而引入代數(shù)式。實(shí)質(zhì)上這里已經(jīng)滲透了初步的函數(shù)思想。初一（下）“變量之間的關(guān)系”一章，通過大量貼近學(xué)生生活的實(shí)例，讓學(xué)生體會變量之間相互關(guān)系的普遍性，并通過列表、解析式、圖象幾種方式呈現(xiàn)變量之間的關(guān)系。同時(shí)也暗示函數(shù)的三種表示方式。初二（下）則明確變量之間的這種關(guān)系就是函數(shù)，并研究較為簡單、應(yīng)用最為廣泛的一次函數(shù)，而其后進(jìn)一步研究反比例函數(shù)和二次函數(shù)。

第二個(gè)階段舊教材安排在第一冊第二章函數(shù)及第四章三角函數(shù)。新教材必修1第二章安排了：函數(shù)概念與基本初等函數(shù)。必修4第一章安排了：三角函數(shù)。第二階段實(shí)際是對函數(shù)概念的再認(rèn)識階段，即用集合與對應(yīng)的觀點(diǎn)理解函數(shù)的一般定義，加深對函數(shù)概念的理解，在此基礎(chǔ)上研究了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，（新教材又增加了冪函數(shù)）以及后面的三角函數(shù)等基本初等函數(shù)，從而使學(xué)生在第二階段獲得較為系統(tǒng)的函數(shù)知識，并初步培養(yǎng)了函數(shù)的應(yīng)用意識，為今后學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。

在舊教材中，函數(shù)概念的產(chǎn)生是在映射、一一映射等概念之后。使用的是由一般到特殊的演繹法。但新教材對函數(shù)教學(xué)的安排有所改變。它在初中的函數(shù)基礎(chǔ)上，運(yùn)用集合與對應(yīng)的觀點(diǎn)解釋了函數(shù)的概念。在函數(shù)概念給出后再給出映射的概念。而且學(xué)習(xí)中對映射的要求也淡化了，一一映射的概念干脆沒有給。原來的函數(shù)部分對映射、一一映射這些抽象的概念要求太高，而這些對高中學(xué)生來講較難接受，通過這次調(diào)整，使這種抽象的概念加以淡化，而且只要求學(xué)生從直觀上了解映射的概念。這樣做學(xué)生在理解函數(shù)的概念上更加直觀、更加明確。而且從學(xué)習(xí)效果上來看，明顯的學(xué)生對函數(shù)概念的理解上更加到位、更加深刻。

三角函數(shù)方面新教材也作了調(diào)整，舊教材三角函數(shù)方面的內(nèi)容共3章23節(jié)70多課時(shí)，而新教材安排了必修4第一章10節(jié)約16課時(shí)，第三章5節(jié)約8課時(shí)。從內(nèi)容上看，新教材是原教材的縮減，如原教材中的反三角函數(shù)和簡單三角方程，縮減為新教材中的鏈接內(nèi)容。只利用幾個(gè)例題簡單明了地給出了反三角函數(shù)的定義，三角方程剔除了。這樣做很大程度地減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，學(xué)生在知識層面上更容易接受。

導(dǎo)數(shù)作為選修課進(jìn)入高中新課程后，為研究函數(shù)提供了更有力的工具和更廣闊的空間。諸如曲線的切線、函數(shù)圖象的形態(tài)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值與最值問題等，都得到了有效而徹底的解決。對函數(shù)的考察重點(diǎn)也將隨之向用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)問題轉(zhuǎn)移。其中原課程對函數(shù)單調(diào)性的研究僅局限于用定義考察某些簡單函數(shù)的單調(diào)性，而應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法更具一般性。函數(shù)的最值是函數(shù)的重要內(nèi)容之一，也是解決實(shí)際應(yīng)用問題的重要題材，導(dǎo)數(shù)方法提供了解決一元函數(shù)最值問題的通則通法，把函數(shù)最值的應(yīng)用拓展到更廣泛的領(lǐng)域。所以，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)成為新課程命題的熱點(diǎn)。從近幾年的高考試題中不難發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)。

總之，函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的一條主動脈。我們只有不斷地認(rèn)真研究新大綱和新教材，把新課程改革實(shí)驗(yàn)扎實(shí)地貫徹于課堂教學(xué)中。深入地認(rèn)識函數(shù)，并不斷地對函數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)和研究，才能讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)和運(yùn)用函數(shù)的知識來解決相關(guān)的問題。這是我們每一個(gè)中學(xué)教師應(yīng)該認(rèn)真做到的。