邊條件含譜參數(shù)有理式的Sturm-Liouville問(wèn)題的譜不等式

傅守忠，王 忠

（肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 肇慶 526061）

0 引言

起源于求解熱傳導(dǎo)方程的Sturm-Liouville(以下簡(jiǎn)稱S-L)問(wèn)題是指S-L方程

賦予分離的自伴邊條件

所形成的特征值問(wèn)題,其中1/p,q,w都是[a,b]上的可積實(shí)值函數(shù),且p和w幾乎處處為正,h和H為實(shí)數(shù)或∞,其中∞代表對(duì)應(yīng)的端點(diǎn)為Dirichlet的邊條件,例如H=∞表示y(b)=0.S-L問(wèn)題已成為數(shù)學(xué)物理許多應(yīng)用領(lǐng)域(如振動(dòng)力學(xué)和量子力學(xué)等)的重要理論工具.在由彈簧連接的振動(dòng)系統(tǒng)中,將一端完全固定,振動(dòng)方程分離變量后,形成的S-L問(wèn)題在該端取Dirichlet邊條件y(·)=0.若一端固定在1個(gè)彈性支承上(比如該端可在與彈簧振動(dòng)方向垂直的光滑的桿上滑動(dòng)),則對(duì)應(yīng)的邊條件為一般邊條件(2).熟知,經(jīng)過(guò)經(jīng)典的Liouville變換,可將S-L問(wèn)題(1)～(2)規(guī)范化為[0,1]區(qū)間上等譜的勢(shì)方程S-L問(wèn)題∶

經(jīng)典S-L問(wèn)題(3)～(5)誘導(dǎo)出Hilbert空間L2[0,1]中定義的常微分算子L的譜問(wèn)題Ly=λy(參見(jiàn)文獻(xiàn)[1-3]),其中算子L及其定義域?yàn)?/p>

若振動(dòng)系統(tǒng)中彈簧的一端相對(duì)固定,而另一端懸掛1個(gè)擺動(dòng)的物體,則其振動(dòng)方程分離變量產(chǎn)生的S-L問(wèn)題的邊條件就與系統(tǒng)的振動(dòng)頻率(即譜)相關(guān),即h和(或)H依賴于λ.還有很多物理問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型會(huì)轉(zhuǎn)化為邊條件含譜參數(shù)的S-L問(wèn)題[4].多年來(lái),許多學(xué)者致力于這類問(wèn)題的研究,得到很多有意義的成果.諸如將問(wèn)題納入一種特定的Hilbert空間后,誘導(dǎo)出的微分算子是自伴的,譜由特征值組成,特征函數(shù)系是完備的,等等[5-8].

賦予不同邊條件的S-L問(wèn)題特征值間的不等式不僅有趣,而且在特征值分布、近似計(jì)算及確定給定特征值的序號(hào)等問(wèn)題中有重要的應(yīng)用價(jià)值.例如由方程(3)～(5)組成的S-L問(wèn)題的特征值遞增序列,與方程(3)賦予邊條件(4)和Dirichlet邊條件y(1)=0生成另一個(gè)S-L問(wèn)題的特征值遞增序列之間,存在交錯(cuò)不等式,由此及Sturm比較定理和的信息(如所對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)),就可以得到對(duì)應(yīng)于一般S-L問(wèn)題的特征值的相應(yīng)信息[9-10].利用Weyl-Titchmarshm-函數(shù)及其性質(zhì)[11-12],文獻(xiàn)[13]和[14]給出端點(diǎn)x=1處的邊條件依賴于aλ+b或其倒數(shù)的S-L問(wèn)題的特征值與間的交錯(cuò)不等式.

本文中,筆者討論邊條件依賴于特征參數(shù)分式線性函數(shù)的S-L問(wèn)題的相應(yīng)結(jié)論,即邊條件(5)變成

的S-L問(wèn)題,其中a≠0,b,c≠0,d為實(shí)數(shù),且滿足ad-bc＞0(這里a=0和c=0的情形可分別化歸成文獻(xiàn)[13]和[14]中的結(jié)論).文獻(xiàn)[15]已經(jīng)證明這類問(wèn)題誘導(dǎo)出的S-L算子是自伴的,因而其特征值都是實(shí)的.

本文將利用由(3),(4)和(6)(簡(jiǎn)寫為(3)-(4)-(6))組成的S-L問(wèn)題的Weyl-Titchmarshm-函數(shù)及其性質(zhì),給出該問(wèn)題的廣義特征函數(shù),并得到其特征值遞增序列與序列間的交替不等式,最后得到這2組特征值可以唯一確定勢(shì)函數(shù)q(x).

1 Weyl-Titchmarshm-函數(shù)及其性質(zhì)

對(duì)任意的復(fù)數(shù)λ,設(shè)v(x,λ)是方程(3)滿足初始條件y(0)=1,y′(0)=h的解(對(duì)應(yīng)于h=∞即邊條件y(0)=0,初始條件改為y(0)=0,y′(0)=1),則對(duì)任意的λ,函數(shù)v(x,λ)都滿足方程(3)和邊條件(4),且由常微分方程的解對(duì)其參數(shù)的連續(xù)依賴性,v(x,λ)及v′(x,λ)都是λ的整函數(shù).

定義Weyl-Titchmarshm-函數(shù)[11-12]

則m(λ)是λ的半純函數(shù),且m(λ)的極點(diǎn)集合恰好是

引理1[13]當(dāng)時(shí),

推論1[13]對(duì)每個(gè)自然數(shù)

引理2[12,16]m(λ)有如下漸近式

特別地,當(dāng)λ→-∞ (沿實(shí)軸)時(shí)

推論2[13]若記則m(λ)在區(qū)間內(nèi)由-∞連續(xù)地嚴(yán)格遞增到+∞.

引理3λ?是由方程(3),(4)和(6)生成的S-L問(wèn)題的特征值當(dāng)且僅當(dāng)?shù)仁桨?∞的情形，但不用區(qū)分±∞.

證 由v(x,λ)所滿足的條件和m(λ)的定義,經(jīng)簡(jiǎn)單變形可知必要性成立.

在將∞-∞定義為0的意義下,由引理3易見(jiàn),方程(3),(4)和(6)生成的S-L問(wèn)題的廣義特征函數(shù)為

顯然F(λ)的極點(diǎn)恰好是

2 主要結(jié)論與證明

定理1設(shè)S-L問(wèn)題(3)-(4)-(6)的特征值遞增序列為

2)若存在非負(fù)整數(shù)n,使得則

證 1)由推論2,m-函數(shù)m(λ)在區(qū)間內(nèi)都連續(xù),故F(λ)在區(qū)間

內(nèi)也都連續(xù).又由于a≠0且ad-bc＞0,故

再根據(jù)推論2,F(λ)在公式(9)所列的各區(qū)間內(nèi)都由-∞連續(xù)地嚴(yán)格遞增到+∞,故由連續(xù)函數(shù)的介值定理知F(λ)在上述每個(gè)區(qū)間內(nèi)都有且只有1個(gè)零點(diǎn).結(jié)合引理3知F(λ)的零點(diǎn)恰好都是由方程(3)-(4)-(6)生成的S-L問(wèn)題的特征值,即得不等式(7).

注 事實(shí)上,F(λ)的零點(diǎn)就是λ的函數(shù)m(λ)與的交點(diǎn),圖1給出定理1中的不等式的幾何意義.

圖1 特征值不等式的幾何意義

定理2 對(duì)固定的h及滿足ad-bc＞0及a≠0,c≠0的實(shí)數(shù)a,b,c,d,S-L問(wèn)題(3)-(4)-(6)的特征值和將邊條件(6)換成Dirichlet邊條件y(1)=0的S-L問(wèn)題的特征值可唯一確定q(x).

證明方法類似文獻(xiàn)[13]中定理2的證明.