一題多解，感悟“函數(shù)零點(diǎn)”

張琪

函數(shù)f（x）的零點(diǎn)即是方程f（x）＝0的實(shí)數(shù)根.從方程到函數(shù)，表面看僅是改變了概念的形式，但它卻為我們的研究方程根的問題打開了大的空間?！袄煤瘮?shù)的性質(zhì)討論方程和不等式，從而使原來無法解決的問題轉(zhuǎn)化為可解了，而且體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體性，體現(xiàn)了“用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待問題”、“用新觀點(diǎn)看待舊事物”、“用動(dòng)態(tài)變化的觀點(diǎn)看待靜態(tài)確定的事物”等思想”［1］.因此我們?cè)诤瘮?shù)零點(diǎn)教學(xué)中，讓學(xué)生弄清零點(diǎn)本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地運(yùn)用函數(shù)知識(shí)對(duì)零點(diǎn)問題進(jìn)行分析。

典例.已知函數(shù)f（x）＝x3－3x2+ax+2，曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，2）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－2.

（1）略.（2）證明：當(dāng)k＜1時(shí)，曲線y＝f（x）與直線y＝kx－2只有一個(gè)交點(diǎn).

函數(shù)y＝f（x）的零點(diǎn)?方程f（x）＝0的根?函數(shù)y＝f（x）圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。該句話為我們提供了解決函數(shù)零點(diǎn)問題的三種角度：角度一.函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，通過解方程求出函數(shù)的零點(diǎn)；角度二.數(shù)形轉(zhuǎn)化，通過研究函數(shù)圖像，利用零點(diǎn)存在性定理來研究問題；角度三.將函數(shù)變形，將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題。該題可以從角度二和角度三來探究問題：

法1：構(gòu)造函數(shù)g（x）＝f（x）－kx+2＝x3－3x2+（1－k）x+4，由g（－1）＝k－1＜0g（－1）＝k－1＜0且g（0）＝4，可知函數(shù)g（x）在（0，1）存在零點(diǎn)，求導(dǎo)得：g＇（x）＝3x2－6x+1－k

當(dāng)Δ≤0即k≤－2，易知函數(shù)g（x）有唯一的零點(diǎn)。

當(dāng)Δ＞0即－2＜k＜1，此時(shí)方程g′（x）＝0有兩個(gè)相異實(shí)根x1，x2，由圖像可知：若函數(shù)g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，滿足，消去k可得：g（x2）＝+4求導(dǎo)可知，g（x2）min＝min｛g（0），g（2）｝，因?yàn)間（0）＝4，g（2）＝0，所以g（x2）＞0，故函數(shù)g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，命題可證。

點(diǎn)評(píng)：此法由零點(diǎn)存在性定理，函數(shù)g（x）在（－1，0）上有一零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖像性質(zhì)來研究其他范圍的情形。此法的難點(diǎn)在于求不出具體的極值點(diǎn)值，需要設(shè)極值點(diǎn)，通過消參，構(gòu)造函數(shù)來實(shí)現(xiàn)解題。.

法2：對(duì)解法1稍加改造得到更為簡便的作法：易知函數(shù)g（x）在（0，1）存在零點(diǎn)，利用條件可知：當(dāng)1－k＞0，在x≤0時(shí)，g′（x）＝3x2－6x+1－k＞0，g（x）單調(diào)遞增，則函數(shù)g（x）在（－∞，0］有唯一零點(diǎn).故僅需證明當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）無零點(diǎn)。設(shè)h（x）＝x3－3x2+4.求導(dǎo)可知：在x∈（0，+∞）時(shí)，h（x）≥0。由g（x）＝x3－3x2+（1－k）x+4＞h（x），故g（x）≥0恒成立，由此命題可證。

點(diǎn)評(píng)：此法技巧較強(qiáng)，通常做法是解法1是對(duì)參數(shù)k進(jìn)行討論，而該法為什么對(duì)變量x進(jìn)行討論？如果我們?cè)诮忸}時(shí)候能明確方向即證明：在x∈（0，+∞）時(shí)，函數(shù)g（x）無零點(diǎn)。緊扣k＜1，便不難想到構(gòu)造函數(shù)h（x）.

法3（分離常數(shù)法）：x3－3x2+x+2＝kx－2，顯然x＝0不是該方程的解，，轉(zhuǎn)化為證明直線y＝k與曲線y＝x2－3x+1+只有一個(gè)交點(diǎn)。設(shè)u（x）＝x2－3x+1+（x≠0），畫出u（x）的圖像，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)k＜1，直線y＝k與曲線y＝x2－3x+1+只有一個(gè)交點(diǎn)，由此命題可證。

法4：可知直線y＝kx－2與曲線y＝f（x）相切時(shí)，兩圖像有僅有一個(gè)交點(diǎn)。設(shè)切點(diǎn)P（x0，y0），由f′（x0）＝，可得-4＝0，解得：x0＝2，斜率k＝1，因此k＜1時(shí)，命題得證。

點(diǎn)評(píng)：上面解法3和解法4異曲同工，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題可以應(yīng)用分離法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題來進(jìn)行處理，此法形象直觀，是選擇填空的解題利器.但此法對(duì)圖像的精細(xì)化要求較高，需要綜合運(yùn)用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí).

配套練習(xí)：已知函數(shù)f（x）＝ax3－3x2+1，若P存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0＞0，則a的取值范圍是________。答案為（－∞，－2）。參考答案如下：

法1：顯然a≠0，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合三次函數(shù)f（x）的圖像特征，可得當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）有小于零的零點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)a＜0時(shí)，要使f（x）有唯一的零點(diǎn)x0，且x0＞0，只要極小值f）＞0，即a2＞4，所以a＜-2.

法3：依題意a≠0，f（x）存在唯一的正零點(diǎn)等價(jià)于兩函數(shù)ax2＝3x－或者ax＝3－圖像在（0，+∞）時(shí)僅有一個(gè)交點(diǎn)，后研究兩曲線的相切問題。

單墫老師認(rèn)為：“有規(guī)律、便于推廣的解法才是好的解法，因?yàn)樗沂玖藛栴}的本質(zhì)”。我們的教學(xué)要讓學(xué)生理解問題的本質(zhì)，摸透解題的規(guī)律.函數(shù)零點(diǎn)問題的解題方式歸納如下：零點(diǎn)問題的解決其往往需要同時(shí)涉及到函數(shù)、方程、不等式的相關(guān)知識(shí)，需要在這三者中不斷進(jìn)行化歸轉(zhuǎn)化。當(dāng)待求目標(biāo)難以直接實(shí)現(xiàn)時(shí)，可借助函數(shù)零點(diǎn)的等價(jià)條件來迂回實(shí)現(xiàn).其中判斷零點(diǎn)問題最常用的方法就是通過構(gòu)造函數(shù)。若直接求解零點(diǎn)問題十分困難，需要轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問題進(jìn)行判定。解題途徑主要是下面三種：（1）構(gòu)造函數(shù)，利用零點(diǎn)存在性定理研究問題；（2）完全分離，利用函數(shù)圖像最值研究問題；（3）不完全分離，利用曲線相切研究問題。

當(dāng)然以上途徑，各有利弊，須由題設(shè)的特征來合理選擇，但無論選擇何種方法，均需在求解過程中，抓住“數(shù)中有形，形中有數(shù)”這一基本函數(shù)思想，通過尋找臨界，來破解函數(shù)零點(diǎn)問題。