巧借等差數(shù)列凸顯妙解之美

趙小青

【內(nèi)容摘要】如今，在新課改下，對高中生創(chuàng)新思維以及創(chuàng)新能力加以培養(yǎng)屬于數(shù)學(xué)教學(xué)期間的重要環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)課上，除了要讓高中生對一些常規(guī)性的解題方法加以掌握之外，同時好虛站在不同角度對數(shù)學(xué)問題加以思考，進而實現(xiàn)一題多解。而本文重要借助例題對巧妙構(gòu)建等差數(shù)列進行解題的方法加以說明，并且在教學(xué)中進行應(yīng)用，進而對高中生創(chuàng)新思維以及創(chuàng)新能力加以提升。

【關(guān)鍵詞】等差數(shù)列?創(chuàng)新是為?高中數(shù)學(xué)

新課改下，高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)十分重視培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，并且強調(diào)要對學(xué)生的創(chuàng)新思維加以訓(xùn)練。而數(shù)學(xué)乃是培養(yǎng)學(xué)生思維的重要學(xué)科，教師如果可以對數(shù)學(xué)問題加以巧妙安排，并且對問題加以巧妙引導(dǎo)，給學(xué)生營造良好思維環(huán)境，這對訓(xùn)練學(xué)生思維十分有利。在高中時期，函數(shù)思想始終貫穿其中，而等差數(shù)列屬于特殊函數(shù)，其是高考重點考查的對象。因此，數(shù)學(xué)課上，教師若能讓學(xué)生借助等差數(shù)列站在不同角度對問題加以思考，對問題加以巧妙解決，便可提升解題的靈活性，進而對高中生創(chuàng)新思維加以良好培養(yǎng)。

一、在函數(shù)當(dāng)中顯現(xiàn)妙解之美

例如，如果x+y=4，求z=х2+у2的最小值。

分析：一般解答上題可進行代入消元，將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)再進行解答。假設(shè)站在等差數(shù)列這一角度進行思考，從x+y=4可得到，x，2，y構(gòu)成了一個等差數(shù)列，假設(shè)公差是d，那么x=2-d，y=2+d，將其帶入到z=х2+у2之中便能得到變量d有關(guān)的函數(shù)，進而使得運算得以簡化，對等差數(shù)列加以巧妙構(gòu)建，并且對構(gòu)造之美加以突顯。

解：設(shè)x=2-d，y=2+d，那么z=х2+у2=（2-d）2+（2+d）2≥8，

當(dāng)d=0之時，可取“=”，即x=y=2之時，原式可取最小值8.

再如，如果3sina+cosa=0，那么1sin2a+cos2a的值是???.

A.103?B.53?C.23?D.-2

分析：平時在對此題加以解答之時，基本上都是把三角函數(shù)有關(guān)公式進行變形，而如果站在等差數(shù)列這一角度加以思考，從3sina+cosa=0能夠看到3sina，0，cosa可構(gòu)成一個等差數(shù)列。

解：從3sina+cosa=0能夠看到3sina，0，cosa可構(gòu)成一個等差數(shù)列。

現(xiàn)設(shè)3sina=0-d，cosa=0+d，因為sin2a+cos2a=1，就能得到d29+d2=1，因此d2=109

Sin2a+cos2a=sin2a+1-2sin2a=1-sin2a=cos2a=d2，

即1sin2a+cos2a=109

此題通過對等差數(shù)列進行構(gòu)造，把三角函數(shù)方面求值運算變成代數(shù)分式方面求值運算，解法既新穎，又簡捷，能夠?qū)?gòu)造之美加以突顯。

二、在方程當(dāng)中顯現(xiàn)妙解之美

例如，解方程x-1+9-x-4=0.

分析：該題能夠移一個根號到等號的右邊，之后讓兩邊平方，然而做起來較為麻煩。而站在等差數(shù)列這一角度進行思考，根據(jù)x-1+9-x=4來構(gòu)造一個x-1，2，9-x的等差數(shù)列，假設(shè)d是公差，那么x-1=2-d，9-x=2+d，通過兩邊平方來消除x，把原問題變成d有關(guān)的二次方程，能夠凸顯出妙解之美。

解：設(shè)x-1=2-d，9-x=2+d（-2≤ d≤ 2）

那么x-1=（2-d）2，9-x=（2+d）2，

把兩式進行相加，能得到8=（2-d）2+（2+d）2，通過整理能夠得到d=0.

因此x-1=2，最終解得x=5.

通過對等差數(shù)列加以構(gòu)造，能夠?qū)W(xué)生思維加以拓展，并且使得計算得以簡化。

三、在不等式中顯現(xiàn)妙解之美

例如，現(xiàn)已知a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求c具體取值范圍。

分析：看起來此題和數(shù)列無關(guān)，然而卻可對等差數(shù)列進行巧妙應(yīng)用，進而讓問題得以簡化，從而得到解決。

解：可把a+b+c=1進行變形，得到a+b=1-c，進而得到a，1-c2，b構(gòu)成了一個等差數(shù)列，假設(shè)d是公差，那么則有a=1-c2-d，b=1-c2+d，

1=a2+b2+c2=（1-c2-d）2+（1-c2+d）2+c2，通過整理能夠得到：

4d2=-3c2+2c+1≥0，即3c2-2c-1≤0，解得-3≤c≤1.

此題是直接求解c的范圍，這樣就顯得十分麻煩。然而通過對等差數(shù)列加以構(gòu)造，可以實現(xiàn)消元目的，將其轉(zhuǎn)化為不等式，這樣就可對計算加以簡化，并且對學(xué)生思維加以鍛煉，突顯出構(gòu)造之美。

四、在幾何當(dāng)中顯現(xiàn)妙解之美

例如，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓x2a2+y2b2=1，（a>b>0）的左焦點與右焦點，假設(shè)橢圓之上總有一個點P可以滿足PF2⊥PF1，求該橢圓離心率具體范圍。

分析：此題擁有不少解答方法，根據(jù)條件可知，滿足PF2+PF1=2a。站在等差數(shù)列這一角度進行思考，PF1，a，PF2可以構(gòu)成一個等差數(shù)列，這樣問題便可被順利解決。

解：由于PF2+PF1=2a，同時PF1，a，PF2可以構(gòu)成一個等差數(shù)列，因此可以設(shè)PF1=a-d，PF2=a+d，又因PF2+PF1=2a，那么PF12+PF22=F1F22，因此，a2+d2=2c2≥a2，所以e2≥12，也就是說22≤e≤1.

解答此題的常用解法就是借助橢圓定義以及性質(zhì)，但計算起來稍顯麻煩[1-2]。假設(shè)可以站在等差數(shù)列這一角度進行思考，便能對計算加以簡化，這樣還能顯得解法十分特別，進而突顯出解法的巧妙。

結(jié)論

綜上可知，新時期，教學(xué)具有的根本任務(wù)就是讓所有學(xué)生都得到發(fā)展。而一堂質(zhì)量高的數(shù)學(xué)課，需要教師對課堂良好氛圍加以創(chuàng)設(shè)，并且設(shè)置與內(nèi)容相符的課堂情境，促使學(xué)生主動投入到知識體驗之中。所以，數(shù)學(xué)課上，教師需注重引導(dǎo)學(xué)生站在不同角度借助新思路對數(shù)學(xué)問題加以解決，并且對高中生自我潛能進行充分發(fā)揮，進而對其創(chuàng)新思維加以培養(yǎng)。

【參考文獻】

[1]杜文靜.芻議高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識[J].中國校外教育，2017（35）：48-49.

[2]陳晨.如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生解題能力[J].文化創(chuàng)新比較研究，2017，1（19）：72-73.

（作者單位：江西省贛州市南康區(qū)第四中學(xué)）