兩個(gè)含Smarandache LCM函數(shù)的復(fù)合數(shù)論函數(shù)方程的可解性

張明麗，高 麗，申江紅

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000)

上世紀(jì)90年代，美國著名的數(shù)學(xué)家F.Smarandache[1]提出了許多新的數(shù)論問題，并定義了若干新的數(shù)論函數(shù)，對現(xiàn)代數(shù)論的發(fā)展產(chǎn)生了較大的影響。其中以F.Smarandache本人命名的Smarandache函數(shù)S(n)，以及在其基礎(chǔ)上衍生出的若干數(shù)論函數(shù)，如Smarandache LCM函數(shù)SL(n)，近年來受到國內(nèi)外諸多學(xué)者的廣泛關(guān)注和深入研究。對于任意的正整數(shù)n，Euler函數(shù)φ(n)定義為在序列1，2，…，n-1中與n互素的整數(shù)的個(gè)數(shù)，Euler函數(shù)是數(shù)論中一個(gè)重要的積性函數(shù)。Smarandache函數(shù)S(n)表示為，對于任意的正整數(shù)n，S(n)=min{m∈Z:n|m!}。Smarandache LCM函數(shù)SL(n)表示為，對于任意的正整數(shù)n，若n=p1r1p2r2…pkrk，其中所列的p1，p2，…，pk均為素?cái)?shù)且順序排列，則Smarandache LCM函數(shù)SL(n)=max{p1r1，p2r2，…，pkrk}。近年來，關(guān)于上述數(shù)論函數(shù)方程相互結(jié)合求解及性質(zhì)的研究備受關(guān)注。張?zhí)炱絒2]研究了復(fù)合歐拉函數(shù)方程φ(φ(n))=2Ω(n)的奇數(shù)解；田呈亮[3]研究了復(fù)合歐拉函數(shù)方程φ(φ(n))=2Ω(n)的正整數(shù)解；多布杰[4]研究了復(fù)合歐拉函數(shù)方程φ(φ(n))=2t的可解性問題。

近期，王洋、張四保[5]研究了復(fù)合歐拉函數(shù)方程φ(φ(n-φ(φ(n))))=2的可解性問題，但求解過程較為繁瑣，故袁合才、王波等[6]對其求解方法加以簡化，研究了復(fù)合歐拉函數(shù)方程φ(φ(n-φ(φ(n))))=4，6的可解性問題。張利霞、趙西卿等在文獻(xiàn)[7-8]中分別研究了數(shù)論方程S(SL(n))=φ(n)，

S(SL(n))=φ2(n)的可解性，郭夢媛、高麗等在文獻(xiàn)[9]研究了S(SL(n2))=φ2(n)的可解性。本文基于此，探究了含Smarandache LCM函數(shù)的復(fù)合數(shù)論函數(shù)方程φ(φ(n-S(SL(n))))=8，10的可解性問題。

1 相關(guān)引理

引理2[7]當(dāng)n≥2時(shí)，有φ(n)

引理3[7]對于整數(shù)k和素?cái)?shù)p，有S(Pk)≤kp；當(dāng)且僅當(dāng)k

證明由引理1—引理3易知，當(dāng)滿足條件時(shí)，

l=n-S(SL(n))≥n-kp≥

則有l(wèi)+1≤n≤2l,證畢。

2 主要結(jié)論及其證明

定理1 含Smarandache LCM函數(shù)的復(fù)合數(shù)論函數(shù)方程

φ(φ(n-S(SL(n))))=8

(1)

的正整數(shù)解為n=34，51，50，30，44，55，72，77，42，49，45，52，54，56，65，64，81，91，90，98，100，62，93。

證明因?yàn)棣?φ(n-S(SL(n))))=8，所以

φ(n-S(SL(n)))=15，16，20，24，30。下面分5種情況加以討論：

情形一：若φ(n-S(SL(n)))=15，由引理2可知式(1)無解。

情形二：若φ(n-S(SL(n)))=16，則

n-S(SL(n))=17，32，34，40，48，60。

當(dāng)n-S(SL(n))=17時(shí)，由引理4，此時(shí)18≤n≤34，將其逐一代入驗(yàn)證，只有n=34滿足

n-S(SL(n))=17，即n=34為式(1)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=32時(shí)，由引理4，此時(shí)33≤n≤64，將其逐一代入驗(yàn)證，此時(shí)式(1)無解。

當(dāng)n-S(SL(n))=34時(shí)，由引理4，此時(shí)35≤n≤68，將其逐一代入驗(yàn)證，只有n=51滿足

n-S(SL(n))=34，即n=51為式(1)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=40時(shí)，由引理4，此時(shí)41≤n≤80，將其逐一代入驗(yàn)證，只有n=50滿足

n-S(SL(n))=40，即n=50為式(1)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=48時(shí)，由引理4，此時(shí)49≤n≤96，將其逐一代入驗(yàn)證，此時(shí)式(1)無解。

當(dāng)n-S(SL(n))=60時(shí)，由引理4，此時(shí)61≤n≤120，將其逐一代入驗(yàn)證，此時(shí)式(1)無解。

情形三：若φ(n-S(SL(n)))=20，則

n-S(SL(n))=25，33，44，50，66。

當(dāng)n-S(SL(n))=25時(shí)，由引理4，此時(shí)26≤n≤50，將其逐一代入驗(yàn)證，只有n=30滿足

n-S(SL(n))=25，即n=30為式(1)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=33時(shí)，由引理4，此時(shí)34≤n≤66，將其逐一代入驗(yàn)證，只有n=44滿足

n-S(SL(n))=33，即n=44為式(1)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=44時(shí)，由引理4，此時(shí)45≤n≤88，將其逐一代入驗(yàn)證，只有n=55滿足

n-S(SL(n))=44，即n=55為式(1)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=50時(shí)，由引理4，此時(shí)51≤n≤100，將其逐一代入驗(yàn)證，此時(shí)式(1)無解。

當(dāng)n-S(SL(n))=66時(shí)，由引理4，此時(shí)67≤n≤132，將其逐一代入驗(yàn)證，只有n=72，77滿足

n-S(SL(n))=66，即n=72，77為式(1)的解。

情形四：若φ(n-S(SL(n)))=24，則

n-S(SL(n))=35，39，45，52，56，70，72，78，84，90。

當(dāng)n-S(SL(n))=35時(shí)，由引理4，此時(shí)36≤n≤70，將其逐一代入驗(yàn)證，只有n=42，49滿足

n-S(SL(n))=35，即n=42，49為式(1)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=39時(shí)，由引理4，此時(shí)40≤n≤78，將其逐一代入驗(yàn)證，只有n=45，52滿足

n-S(SL(n))=39，即n=45，52為式(1)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=45時(shí)，由引理4，此時(shí)46≤n≤90，將其逐一代入驗(yàn)證，只有n=54滿足

n-S(SL(n))=45，即n=54為式(1)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=52時(shí)，由引理4，此時(shí)53≤n≤104，將其逐一代入驗(yàn)證，只有n=56，65滿足n-S(SL(n))=52，即n=56，65為式(1)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=56時(shí)，由引理4，此時(shí)57≤n≤112，將其逐一代入驗(yàn)證，只有n=64滿足

n-S(SL(n))=56，即n=64為式(1)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=70時(shí)，由引理4，此時(shí)71≤n≤140，將其逐一代入驗(yàn)證，此時(shí)式(1)無解。

當(dāng)n-S(SL(n))=72時(shí)，由引理4，此時(shí)73≤n≤144，將其逐一代入驗(yàn)證，只有n=81滿足

n-S(SL(n))=72，即n=81為式(1)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=78時(shí)，由引理4，此時(shí)79≤n≤156，將其逐一代入驗(yàn)證，只有n=91滿足

n-S(SL(n))=78，即n=91為式(1)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=84時(shí)，由引理4，此時(shí)85≤n≤168，將其逐一代入驗(yàn)證，只有n=90，98滿足

n-S(SL(n))=84，即n=90，98為式(1)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=90時(shí)，由引理4，此時(shí)91≤n≤180，將其逐一代入驗(yàn)證，只有n=100滿足

n-S(SL(n))=90，即n=100為式(1)的解。

情形五：若φ(n-S(SL(n)))=30，則

n-S(SL(n))=31，62。

當(dāng)n-S(SL(n))=31時(shí)，由引理4，此時(shí)32≤n≤62，將其逐一代入驗(yàn)證，只有n=62滿足

n-S(SL(n))=31，即n=62為式(1)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=62時(shí)，由引理4，此時(shí)63≤n≤124，將其逐一代入驗(yàn)證，只有n=93滿足

n-S(SL(n))=62，即n=93為式(1)的解。

定理2 含Smarandache LCM函數(shù)的復(fù)合數(shù)論函數(shù)方程

φ(φ(n-S(SL(n))))=10

(2)

的正整數(shù)解為n=46，69。

證明因?yàn)棣?φ(n-S(SL(n))))=10，所以

φ(n-S(SL(n)))=11，22。下面分2種情況加以討論：

情形一：若φ(n-S(SL(n)))=11，由引理2可知式(2)無解。

情形二：若φ(n-S(SL(n)))=22，則

n-S(SL(n))=23，46。

當(dāng)n-S(SL(n))=23時(shí)，由引理4，此時(shí)24≤n≤46，將其逐一代入驗(yàn)證，只有n=46滿足

n-S(SL(n))=23，即n=46為式(2)的解。

當(dāng)n-S(SL(n))=46時(shí)，由引理4，此時(shí)47≤n≤92，將其逐一代入驗(yàn)證，只有n=69滿足

n-S(SL(n))=46，即n=69為式(2)的解。