基于小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題建模下的思維訓(xùn)練

趙靜 蔡敏 任娟 王遠(yuǎn)

一、思維的獨(dú)創(chuàng)性訓(xùn)練

對數(shù)學(xué)問題有自己的發(fā)現(xiàn)，這種發(fā)現(xiàn)有時(shí)是建立在計(jì)算的基礎(chǔ)上，有時(shí)是建立在觀察的基礎(chǔ)上，有時(shí)是建立在數(shù)學(xué)計(jì)算研究過程基礎(chǔ)之上，有時(shí)是建立在思考中自我提問，反問，追問的基礎(chǔ)上，通過求證而實(shí)現(xiàn)的，這個(gè)過程是學(xué)生主動(dòng)建模數(shù)學(xué)概念的過程。如我們在教學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊第31頁計(jì)算下面各題，你發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生通過計(jì)算不難發(fā)現(xiàn)被除數(shù)不變，除數(shù)越小商越大，同時(shí)，也有部分學(xué)生發(fā)現(xiàn)除數(shù)小于1商大于被被除數(shù)，也有個(gè)別學(xué)生發(fā)現(xiàn)了如果把被除數(shù)與除數(shù)位置互換角色，則有除數(shù)不變被除數(shù)越大，商越大，如果除數(shù)大于1，被除數(shù)比1 大或比1 小都不影響除數(shù)不變被除數(shù)越大，商越大這個(gè)規(guī)律，通過這道題，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生有三種發(fā)現(xiàn)，第一種發(fā)現(xiàn)是建立在計(jì)算的基礎(chǔ)上，第二種發(fā)現(xiàn)是建立在觀察的基礎(chǔ)上，第三種發(fā)現(xiàn)是建立在反問，追問的基礎(chǔ)上，如有學(xué)生問;“反過來讓除數(shù)與被除數(shù)交換位置怎樣？第一組發(fā)現(xiàn)了什么？第二組發(fā)現(xiàn)了什么？第三組發(fā)現(xiàn)了什么？”不斷地追問下去，他們經(jīng)過研究求證出了這種結(jié)果，因?yàn)槿嗤瑢W(xué)都能夠了解第一種發(fā)現(xiàn)，那么，少數(shù)學(xué)生發(fā)現(xiàn)的第二種情形，極少數(shù)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了第三種情形，這第二種情形與第三種發(fā)現(xiàn)就具有獨(dú)創(chuàng)性。

二、思維的靈活性訓(xùn)練

變式，變式是數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的方法，我們在實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常發(fā)現(xiàn)教材中或教輔中這種變式的原型和變式，如果學(xué)生能夠在教材或練習(xí)中找到數(shù)學(xué)原型與它的變式，更進(jìn)一步，如果學(xué)生能夠利用變式把數(shù)學(xué)原型變化成這個(gè)原型的一個(gè)變式或幾個(gè)變式十幾種變式，學(xué)生在數(shù)學(xué)建模中培養(yǎng)了學(xué)生的思維靈活性。

如五年級(jí)上冊數(shù)學(xué)教材79頁例5，我們可以根據(jù)速度、路程與時(shí)間的關(guān)系，小林和小云共同走完全程速度合為（0.25+0.2），路程為4.5km，則所需時(shí)間為4.5÷0.45=10分鐘。如果小云在原點(diǎn)不走，小林在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)走完全程則需要加上小云的速度，即小林以（0.25+0.2）的速度才能走完全程，則小林需要的時(shí)間為4.5÷0.45=10分鐘，同理如果小林不走，小云則需要0.2+0.25的速度走10分鐘走完全程與小林相遇。我們也可以這樣設(shè)想，假如：①小林走到中點(diǎn)停止行走，問小云和小林什么時(shí)間相遇？②當(dāng)小林走到中點(diǎn)時(shí)，小云停止行走，問小云和小林什么時(shí)間相遇？

這時(shí)先解小林走到中間用多長時(shí)間，2.25÷0.25=9（分鐘），小云9 分鐘走的路程是0.2×9=1.8千米。

我們在這個(gè)例子中通過對小云運(yùn)動(dòng)進(jìn)行變式，從另一個(gè)角度來解決這類行程問題，把小云的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行變通把兩者共同完成的問題，變成了小林一個(gè)人的行程問題，同理，我們在這里引導(dǎo)學(xué)生變化小林的運(yùn)動(dòng)速度，讓他的行走的速度為零，把小林的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行變通，使兩者共同完成的問題，變成了小林一個(gè)人的行程問題，這樣計(jì)算起來非常容易，在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，有個(gè)別學(xué)生把小林的運(yùn)動(dòng)速度變化成變化的速度，如小林行駛到中點(diǎn)時(shí)休息了5分鐘，然后再行走，這樣的變式使學(xué)生思維更加靈活。

轉(zhuǎn)化，如四年級(jí)數(shù)學(xué)課本下冊第15頁第1 題，連一連（根據(jù)下圖），如果我們從前面看，平移上層一個(gè)正方體，把上層一個(gè)正方體往后平移一個(gè)位置，則前面看到的圖形沒有變，同理，上層中間或最右邊的正方形移動(dòng)一個(gè)位置，從前面看到的圖形也不會(huì)變化，從左面看，把小正方形向右平移一個(gè)位置或平移2 個(gè)位置，所觀察到的圖形也不會(huì)變化。

利用旋轉(zhuǎn)來解題是一種解題的技巧，有些題，學(xué)生可以通過旋轉(zhuǎn)方法把較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成比較簡單的數(shù)學(xué)問題建模。如五年級(jí)數(shù)學(xué)課本上冊第92頁第1 題，做一做，如果，我們指導(dǎo)學(xué)生把涂色的三角形向上旋轉(zhuǎn)180度，可以與上面的三角形重合，這樣旋轉(zhuǎn)后，我們指導(dǎo)學(xué)生把一般的圖形轉(zhuǎn)化成了特殊的圖形;如五年級(jí)數(shù)學(xué)課本上冊第94頁第8 題，圖中的三角形ABE向右旋轉(zhuǎn)180度與三角形DEC重合，或三角形DEC向左旋轉(zhuǎn)180度與三角形ABE重合，我們指導(dǎo)學(xué)生也能把一般的圖形轉(zhuǎn)化成了特殊的圖形。

如五年級(jí)數(shù)學(xué)課本上冊第102頁第7 題，學(xué)生根據(jù)分割后，把原來的曲線變成了直線，直線再則的部分可以填補(bǔ)，原面積相似于分割后的面積，原圖轉(zhuǎn)化成了平行四邊形。如同冊數(shù)學(xué)102頁第9題，用同一方法，分割后的面積變成了五邊形，如果把這個(gè)五邊形轉(zhuǎn)化成一個(gè)梯形與一個(gè)三角形，求出該題的相似面積就容易得多了。

三、實(shí)驗(yàn)效果

我們選取三年級(jí)三（1）班為對照班，（三）（四）為實(shí)驗(yàn)班，四年級(jí)四（2）班為對照班，四（1）為實(shí)驗(yàn)班。我們根據(jù)所羅門四組設(shè)計(jì)原則，分別在對照班隨機(jī)抽取50%作樣本，與實(shí)驗(yàn)班用三、四年級(jí)測驗(yàn)卷或現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)操作的方法進(jìn)行前測，另外50%不進(jìn)行監(jiān)測，我們設(shè)計(jì)了三年級(jí)與四年級(jí)數(shù)學(xué)思維能力測試卷，共10道題小學(xué)計(jì)算能力，這些題中共50個(gè)考察要點(diǎn)，要點(diǎn)分布在思考8個(gè)考察點(diǎn)，各7個(gè)要點(diǎn)，其中觀察4個(gè)考察點(diǎn)為利用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)可以解決，4個(gè)考察點(diǎn)為利用新知識(shí)解決。實(shí)驗(yàn)、比較、猜想、概括、推理。實(shí)驗(yàn)比較等項(xiàng)同每4個(gè)為利用舊知識(shí)解決另3個(gè)用新知識(shí)進(jìn)行解決。我們給每個(gè)考察點(diǎn)記2分，共100分，我們共出了8套這樣的試題，三、四年級(jí)各4套。前測我們考前班長隨機(jī)抽取試題，前測與后測兩次測試的內(nèi)容不同。

我們在實(shí)驗(yàn)班開展數(shù)學(xué)小學(xué)計(jì)算能力優(yōu)化重組活動(dòng)化教學(xué)實(shí)驗(yàn)，對照班按現(xiàn)有教材正常教學(xué)，然后在實(shí)驗(yàn)班與對照班參與前測的學(xué)生的同學(xué)與沒有參與前測的同學(xué)組成四組進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)小學(xué)計(jì)算能力測試平均分?jǐn)?shù)，實(shí)驗(yàn)班比對照班有明顯提高，說明注重小學(xué)生思維的訓(xùn)練的教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)。