帶磁場的一維Schrdinger方程的逆散射問題

胡振宇,黃華,段志文

( 華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北 武漢430074)

1.引言

研究其逆散射問題,其中p(x)為實(shí)位勢,并且無有界態(tài).本文給出了該逆散射問題的解.H是算子延拓至L2(?∞,∞),即H是自伴Schrdinger 算子.記空間：

Deift[3]等人研究了一維Schrdinger方程：?f′′+qf=k2f的逆散射問題,得出以下結(jié)論：令f1(x,k),f2(x,k),k ∈R{0}是方程Hfj=k2fj,j= 1,2的解,且有如下的漸近狀態(tài)：f1(x,k)→e?ikx,x →+∞,f2(x,k)→e?ikx,x →?∞,且f1(x,k),f2(x,k)有如下的漸近表示：

其中Ti,Ri,i=1,2,分別是傳輸系數(shù)和反射系數(shù).定義矩陣

此外,Faddeev[5?6]在Schrdinger方程逆散射問題上做了類似的工作,并提出自己的一套方法.而他的方法源于Gel’fand-Levitan[7],Kay-Moese[8]和Agranovich-Marchenko[1]等人的工作.

本文受這些文章的啟發(fā),添加磁場位勢,研究該磁場位勢的逆散射問題,也得到類似的結(jié)論.本文研究思路如下：對方程(1.1)做如下變換：m(x,k) = e?(?+ikx)f(x,k)→1,x →+∞,可得

或改寫成方程組的形式：

且

記?p2(x)=QR(x,m),即

在方程組(1.2)中我們通過公式(1.3)消去p.為了重構(gòu)p,我們僅需要求解方程組(1.4)的初值問題[2]的解,那么p可由(1.3)式給出.本文的主要內(nèi)容安排如下：在第二部分,本文推導(dǎo)了關(guān)于散射矩陣S(k),m(x,k),B(x,k)的相關(guān)結(jié)論.第三部分,在位勢p無界態(tài)的條件下,本文推導(dǎo)了跡公式,并通過求解初值問題(1.4),由反射系數(shù)R重構(gòu)p,并且還得到了方程組(1.4)解的先驗(yàn)上界.

2.正問題

在敘述本文的研究方法之前,給出一些相關(guān)引用、定義及事實(shí).定義R上的Fourier 變換及其逆變換：

H2+表示由Hardy空間[4]中解析函數(shù)h(k)構(gòu)成的集合,其中Imk >0,h滿足若假設(shè)h(k)∈H2+的邊界值為在L2(?∞,∞) 意義下,即有如下等價H2+空間的描述：

根據(jù)前文介紹,下面引理和定理當(dāng)它們的證明和文[3]相似時,只作敘述,證明略去.而當(dāng)本文相關(guān)結(jié)論證明方法和他們不同時,加以詳細(xì)論證.

引理2.1[3]對于每個k,Imk ≥0,積分方程

有唯一解m(x,k),且m(x,k)滿足如下的Schrdinger方程：

且m(x,k)→1當(dāng)x →+∞,m(x,k)服從如下估計式：

對于每個x,當(dāng)Imk >0,m(x,k)是解析的且當(dāng)Imk ≥0,m(x,k)是連續(xù)的.特別地,由(ii) 知,m(x,k)?1∈H2+.此外,記˙m(x,k)≡dm(x,k)/dk在Imk ≥0時存在,k≠ 0時k˙m(x,k)在Imk ≥0 時處處連續(xù).若p ∈L21,那么˙m(x,k)在k=0 處也存在且連續(xù),且有如下估計式：

(v)|(x,k)|≤c(1+x2)對于所有k ≥0,p ∈L21.其中

引理2.2[3]對于任意x,當(dāng)Imk ≥0,m(x,k)有有限個零點(diǎn),并且它們均為簡單零點(diǎn),在負(fù)半軸上.若k= iβ(β >0)是m(x,k)的零點(diǎn),那么k2=?β2是算子在L2(x

引理2.3[3]方程

y ≥0,有一個(實(shí)的、唯一)解B(x,y)滿足

特別地,B(x,y)∈L1∩L∞(0

B(x,y)關(guān)于x和y均連續(xù)且有：

B(x,y)滿足波動方程：

且有??B(x,0+)/?x=??B(x,0+)/?y=?p2(x).最后,m(x,k)≡1+∞0B(x,y)e2ikydy即為引理2.1中的函數(shù).

引理2.4[3]假設(shè)是相應(yīng)約斯特函數(shù)的Fourier變換,j=1,2.令

則

可得L∞(0

由此即得L1(0

定理2.1令p(x)是上的實(shí)位勢,那么

對于所有k≠0是連續(xù)的(若p(x)∈L21,那么S(k)在k=0連續(xù))且有如下性質(zhì)：

1) (對稱性)T1(k)=T2(k)≡T(k),

2) (酉性質(zhì))

故

3) (解析性)T(k)在Imk >0時是亞純函數(shù)且有有限個簡單極點(diǎn)iβ1,··· ,iβn,βj >0,在虛擬k軸上,剩余項(xiàng)是

數(shù)?β21,··· ,β2n是H的特征值.當(dāng)Imk >0,k≠ 0,iβ1,··· ,iβn,T(k)連續(xù)(若p(x)∈L21,那么當(dāng)Imk ≥0,k≠iβ1,··· ,iβn,T(k)連續(xù)).

4) (逼近) (i)T(k)=1+O(1/k) 當(dāng)|k|→∞,Imk ≥0,

(ii)Rj(k)=O(1/k),j=1,2,當(dāng)|k|→∞,k是實(shí)數(shù),

(iii) 若H沒有特征值,那么T(k)?1∈H2+且|T(k)|≤1在Imk ≥0.

5)|T(k)|>0對于所有Imk ≥0,k≠0,|k|≤C|T(k)|當(dāng)→0,若p(x)∈L21,有兩種可能情形：

(i) 0

(ii)T(k) =αk+o(k),α≠ 0,當(dāng)k →0,Imk ≥0,且1+Rj(k) =αjk+o(k),j= 1,2當(dāng)k →0,k實(shí).

證該定理1),2),4),5),6)的證明可參考文[3]中的定理2.1,只證明3).極點(diǎn)k0使得0,即k0為T(k)的極點(diǎn).下證iβj,j=1,2,··· ,n是簡單極點(diǎn).

令k=iβ(T?1(iβ)=0),故

下面計算[f1,˙f2](x),[ ˙f1,f2](x),由方程：?f′′2?2ipf′2?ip′(x)f2=k2f2得

該方程為常微分方程,則有：

則

因?yàn)閑?f1(x,iβj) 是實(shí)值非零,且與e?f2(x,iβj) 線性相關(guān),故(T?1)·(iβj)≠0.即得證iβj,j=1,2,··· ,n是簡單極點(diǎn),且有剩余項(xiàng)：

3)得證.

引理2.5[3]

能被R1(k)(或R2(k))和特征值?β21>···>?β2n重構(gòu).

引理2.6[3]令H有n個界態(tài)：0>?β21>···>?β2n,且有相應(yīng)的規(guī)范常數(shù)：

那么

引理2.7[3]對于定理2.1中的散射矩陣S(k),有

并且

引理2.8[3](i) 若p ∈L21/2,則

(ii) 若p ∈L21/2,且(p)′ ∈L21/2,則

引理2.9[3](虛擬水平集)H有一界態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)m(x,0)=0對于某些x.

3.重構(gòu)與跡公式

在這一節(jié)我們將論述如何通過反射系數(shù)和規(guī)范常數(shù)來重構(gòu)位勢.另外除非特別說明,我們現(xiàn)考慮p ∈L21/2且p′ ∈L21/2.關(guān)于p的這些光滑性假設(shè)僅僅為了便于闡述最小化技術(shù)方法.特別地,通過定理2.14)(ii) 我們注意到kR(k)∈L1∩L∞?L2.由文[1] 知,通過引理2.8我們可得,當(dāng)p無界態(tài)時有：

該式我們稱之為跡公式.

在下面證明中,方程(1.4)將對應(yīng)如下初值條件

引理3.1[3]令p(x)無界態(tài),能通過選取R(k)使得那么p能被它的反射系數(shù)R(k)重構(gòu)出來.

引理3.2[3]令|r(k)|<1即r(k)=O(1/k),且假定m(x,k)?1和r(k)e2ikxm(x,k)+m(x,k)?1均屬于C(R,H2+).令b(x,k)=m(x,k)?1,我們有：

(ii)令r(k)在0處連續(xù)且選取δ使得且假定1,那么

(iii) 令a>0,r(k)滿足(ii)中條件,選取δa >0.使得對|x|≤a,選取則

定理3.1假設(shè)p(x)∈L21(0,∞)無界態(tài)(半直線)且無虛擬水平,那么p(x)能被它(半直線上的)的散射矩陣S(k),?∞

證該定理證明分以下兩步,首先得到公式

而全直線上的反射系數(shù)R可以視為限制在(0,∞),故只需考慮半直線(0,∞) 上反射系數(shù)R即可,然后由引理3.1可重構(gòu)p(x).詳細(xì)敘述如下：為了便于敘述,我們再次對p2(x) 作同樣的正則性假設(shè)：(p2)′ ∈L1(0,∞).我們假設(shè),當(dāng)m(0,0)≠0 時,即p(x)無虛擬水平集.核心想法是將半直線問題拓展成全直線上去.由引理2.9可得到這樣一個事實(shí)：p(x)在(0,∞)上能延拓至全直線并且有(p2)′ ∈L1(?∞,∞) 且無有界態(tài).又m(x,0)≠0,x >0,因此大于0,p(x)可能在(?∞,0)上被重構(gòu).對于所有k,

其中R1(k),T(k)分別為反射系數(shù),傳輸系數(shù),且特別地,

或者

即

然而T(k)m2(0,k)/m1(0,k)?1∈H2+,因此R?= (1?S)?,即R?能由散射矩陣S重構(gòu).同樣地,當(dāng)x ≥0,(kR)?能由散射矩陣S重構(gòu).

同理可得：

即

定理3.2令p(x)∈L21是無界態(tài)的位勢,那么

是方程(1.4)(3.1)的解且有：

其中C(R,a)僅依賴于反射系數(shù)R和點(diǎn)a.

證證明分為以下三步：首先通過引理2.1、2.6及定理2.1得到m(x,k)?1和r(k)e2ikxm(x,k)+m(x,k)?1均屬于C(R,H2+),其次,易知是方程(1.4)(3.1) 的解,最后可由引理3.2推導(dǎo)出

得證.

總結(jié)在p(x)無界態(tài)且在L21中時,我們得該位勢能被反射系數(shù)R(k)確定,并且得到基于R(k)的跡公式.另外,由此代入到原Schrdinger方程中,可以得到方程的解有上界.