考慮兩種失效競爭的多狀態(tài)冷貯備系統(tǒng)可靠性模型

陳童，謝經(jīng)偉，狄鵬，尹東亮

海軍工程大學(xué) 管理工程與裝備經(jīng)濟(jì)系，武漢 430033

在航空航天、艦船以及核電等高風(fēng)險(xiǎn)領(lǐng)域，通常會(huì)采取冗余結(jié)構(gòu)[1-3]以保證系統(tǒng)可靠性，例如動(dòng)力系統(tǒng)中的備用泵組和電力系統(tǒng)中的備用配電板等。這些設(shè)備往往會(huì)由于磨損、疲勞、腐蝕等因素出現(xiàn)性能的不斷退化，直至系統(tǒng)退化失效；此外，溫度、電壓、壓力、振動(dòng)等外部環(huán)境因素帶來的沖擊也可能導(dǎo)致系統(tǒng)突發(fā)失效。由于這2類失效的存在使得系統(tǒng)表現(xiàn)出多狀態(tài)的特性，若簡單的在可靠性建模過程中將系統(tǒng)狀態(tài)分為工作與故障2類，顯然難以滿足對系統(tǒng)可靠性計(jì)算、評估等工作的實(shí)際需求，因此多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性理論[4-5]自20世紀(jì)80年代提出以來，已經(jīng)成為了可靠性領(lǐng)域的主要研究方向之一。

顯然，設(shè)備在使用過程中不僅會(huì)受性能退化的影響，同時(shí)也會(huì)受到外部沖擊的影響，設(shè)備的失效是退化失效與突發(fā)失效相互競爭的結(jié)果[6]。An和Sun[7]認(rèn)為高可靠性產(chǎn)品具有抵抗小型沖擊的能力，假設(shè)在一定閾值內(nèi)沖擊會(huì)使得性能退化，當(dāng)超過某一閾值時(shí)系統(tǒng)故障，在此基礎(chǔ)上建立了微型發(fā)動(dòng)機(jī)的可靠性模型；Yuan等[8]分別考慮退化過程與沖擊過程獨(dú)立與相關(guān)2種情況，對概率失效閾值不確定下的k/n系統(tǒng)進(jìn)行了研究；王浩偉等[9]假設(shè)沖擊流為Gamma過程，故障時(shí)間則采用Weibull分布進(jìn)行描述，建立了競爭失效模式下的導(dǎo)彈可靠性模型；Levitinab和Finkelsteincd[10]則基于競爭失效理論對不可修并聯(lián)系統(tǒng)可靠性問題進(jìn)行了研究。

除了設(shè)計(jì)冗余結(jié)構(gòu)提升系統(tǒng)可靠性外，往往還會(huì)通過維修活動(dòng)來保證系統(tǒng)可靠性。常見的維修活動(dòng)包括預(yù)防性維修與修復(fù)性維修。而在競爭失效系統(tǒng)中，退化與沖擊可能對系統(tǒng)的不同部位造成不同程度的損傷，所以在對系統(tǒng)進(jìn)行維修時(shí)，針對不同類型的損傷或者故障，往往需要不同的維修人員或維修工具進(jìn)行修理，因此其維修時(shí)間分布也不盡相同。Riascos-Ochoa等[11]針對單部件競爭失效系統(tǒng)，根據(jù)部件的內(nèi)部性能水平與外部沖擊損傷等級設(shè)計(jì)了3種預(yù)防性維修方式，當(dāng)故障時(shí)則進(jìn)行換件維修；陳童和尹東亮[12-13]考慮維修優(yōu)先權(quán)，采用保養(yǎng)與維修2種方式，分別對多狀態(tài)冷貯備與多狀態(tài)溫貯備系統(tǒng)進(jìn)行了研究。

針對競爭失效系統(tǒng)，許多研究采用定時(shí)維修策略與計(jì)劃維修策略[14-15]，但往往可能會(huì)造成維修不及時(shí)或過度維修。而在航空航天、艦船等領(lǐng)域，大量的隱蔽性故障需要通過檢測手段才能發(fā)現(xiàn)，而基于狀態(tài)的維修恰恰能夠通過檢測手段探查系統(tǒng)狀態(tài)，使得維修人員可視情采用不同的維修方式。通過這種維修策略，可有效保證系統(tǒng)可靠性水平并降低維修成本[16-17]。文獻(xiàn)[17]采用年齡更換與定期檢測策略，獲得了競爭失效下單部件系統(tǒng)的最佳預(yù)防性維修間隔、檢測間隔以及檢測次數(shù)；Zhang等[18]采用雙Wiener過程描述退化過程，外部沖擊則采用齊次Poisson過程進(jìn)行描述，對定期檢測下的三態(tài)機(jī)械系統(tǒng)預(yù)防性維修策略進(jìn)行了研究；Yue和Gao[19]則分別采用定期檢測與隨機(jī)檢測策略，對退化系統(tǒng)進(jìn)行了研究。

以往的這些研究通?？紤]故障時(shí)間、維修時(shí)間等服從一些典型分布，如指數(shù)分布、Weibull分布、Erlang分布等，這樣雖然能夠降低模型的解析難度，但是卻使得模型僅能夠適用于一些特定情況，適用性受到很大限制。而Neuts和Meier[20]提出的PHase-type(PH)分布不僅保留了指數(shù)分布易于解析的特性，還能夠擬合正數(shù)軸上任意分布，因此在復(fù)雜系統(tǒng)可靠性建模中能夠描述各類復(fù)雜的隨機(jī)分布，顯示出良好的應(yīng)用前景。例如，Kima和Kimb[21]采用PH分布描述不可修部件的工作時(shí)間，建立了冗余系統(tǒng)可靠性模型；王威等[22]研究了具有修理工多重休假的多部件系統(tǒng)，假設(shè)系統(tǒng)部件壽命、維修時(shí)間以及修理工休假時(shí)間均服從連續(xù)PH分布，得到了一系列可靠性指標(biāo)；Ruiz-Oastro[23]假設(shè)沖擊到達(dá)過程為離散PH更新過程，研究得到了累積沖擊下的系統(tǒng)可靠性參數(shù)；Montoro和Pérezo[24]假設(shè)故障時(shí)間、檢測時(shí)間以及維修時(shí)間均服從PH分布，研究了包含n個(gè)相同部件的溫貯備系統(tǒng)，并分析了不同預(yù)防性維修閾值對系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的影響。

綜上，本文以包含多個(gè)相同部件的冷貯備系統(tǒng)為研究對象，考慮隨機(jī)檢測策略，假設(shè)系統(tǒng)的3個(gè)不同類型的維修臺能夠根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)分別提供預(yù)防性維修、退化失效的修復(fù)性維修以及突發(fā)失效的修復(fù)性維修服務(wù)，工作部件在各性能水平停留時(shí)間、各類維修時(shí)間等隨機(jī)時(shí)間變量均采用PH分布進(jìn)行描述，而外部的沖擊到達(dá)過程則采用PH更新過程進(jìn)行描述，建立了多狀態(tài)冷貯備系統(tǒng)可靠性模型，得到了系統(tǒng)可靠性主要參數(shù)的解析表達(dá)式，并通過算例驗(yàn)證了模型的適用性，演示了3類維修速率及預(yù)防性維修閾值對系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的影響。

1 問題描述與假設(shè)

某冷貯備系統(tǒng)包含1個(gè)工作部件和k-1個(gè)相同的冷貯備部件，在時(shí)間t=0時(shí)，所有部件均完好。系統(tǒng)采用隨機(jī)檢測策略，維修臺根據(jù)工作部件狀態(tài)提供不同類型的維修服務(wù)：

1) 當(dāng)部件性能退化到一定程度時(shí)進(jìn)行預(yù)防性維修。

2) 當(dāng)部件由于性能嚴(yán)重退化導(dǎo)致失效時(shí)進(jìn)行退化失效修復(fù)性維修，稱為Ⅰ類修復(fù)性維修。

3) 當(dāng)部件由于致命突發(fā)沖擊導(dǎo)致失效時(shí)進(jìn)行突發(fā)失效修復(fù)性維修，稱為Ⅱ類修復(fù)性維修。

針對不同類型維修需求，系統(tǒng)中有3個(gè)不同類型的維修臺，分別提供預(yù)防性維修、Ⅰ類修復(fù)性維修與Ⅱ類修復(fù)性維修服務(wù)。

下面對該問題做進(jìn)一步假設(shè)：

1) 令i表示工作部件所處性能水平，其中i∈{1,…,m1,m1+1,…,m2,m2+1}，m1和m2表示工作部件性能水平，將部件的性能水平劃分為完好、一般和故障3類，其中1≤i≤m1時(shí)，部件性能處于完好狀態(tài)；當(dāng)m1+1≤i≤m2時(shí)，部件性能處于一般狀態(tài)，即部件可以正常運(yùn)行，但是性能較差；當(dāng)i=m2+1時(shí)，部件處于故障失效狀態(tài)，該部件需要用冷貯備部件替換下來。

2) 工作部件在各性能水平的停留時(shí)間具有fi階PH表示(αi,Ti),αi為連續(xù)時(shí)間馬爾科夫鏈的初始概率；Ti為瞬間狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移矩陣。

令piy(1≤i,y≤m2+1)表示部件性能從水平i下降到y(tǒng)的概率。

3) 當(dāng)檢測到工作部件性能水平位于一般狀態(tài)時(shí)，工作部件需要接受預(yù)防性維修，其中檢測時(shí)間分布具有ε階PH表示(η,G)，預(yù)防性維修時(shí)間分布具有z1階PH表示(β1,S1)。

4) 當(dāng)工作部件性能退化直至故障時(shí)，則進(jìn)入Ⅰ類修復(fù)性維修臺，Ⅰ類修復(fù)性維修時(shí)間分布具有z2階PH表示(β2,S2)。

5) 當(dāng)發(fā)生致命的外部沖擊時(shí)，工作部件即刻進(jìn)入故障狀態(tài)，該部件進(jìn)入Ⅱ類修復(fù)性維修臺，外部致命沖擊的到達(dá)服從PH更新過程，具有t階PH表示(γ,L)；Ⅱ類修復(fù)性維修時(shí)間分布具有z3階PH表示(β3,S3)。

6) Ⅰ類修復(fù)性維修與Ⅱ類修復(fù)性維修具有優(yōu)先權(quán)。當(dāng)3個(gè)維修臺分別對系統(tǒng)內(nèi)部的k-1個(gè)部件進(jìn)行維修時(shí)，若工作部件退化失效或突發(fā)失效，預(yù)防性維修臺內(nèi)正在進(jìn)行維修的部件即刻轉(zhuǎn)入工作狀態(tài)，預(yù)防性維修臺繼續(xù)對下一個(gè)部件進(jìn)行預(yù)防性維修，直至所有部件均進(jìn)入Ⅰ類修復(fù)性維修臺與Ⅱ類修復(fù)性維修臺。

7) 當(dāng)正進(jìn)行預(yù)防性維修的部件中止維修進(jìn)入工作狀態(tài)時(shí)，部件返回至預(yù)防性維修閾值對應(yīng)的性能水平m1。

在此基礎(chǔ)上建立了如圖1所示的2種失效競爭下多狀態(tài)冷貯備系統(tǒng)可靠性模型。

圖1 模型示意圖Fig.1 Diagram for model

2 模型構(gòu)建

2.1 系統(tǒng)狀態(tài)空間

假設(shè)在時(shí)刻t，工作部件性能處于水平i的x相位，檢測和沖擊的相位分別為h、l，維修臺進(jìn)行預(yù)防性維修、Ⅰ類修復(fù)性維修、Ⅱ類修復(fù)性維修的相位分別表示為r1、r2、r3；預(yù)防性維修臺內(nèi)正在維修的部件與待維修部件數(shù)量之和為l1,l1=0,1,…,k-1；Ⅰ類修復(fù)性維修臺內(nèi)正在維修的部件與待維修部件數(shù)量之和為l2,l2=0,1,…,k；Ⅱ類修復(fù)性維修臺內(nèi)正在維修的部件與待維修部件數(shù)量之和為l3,l3=0,1,…,k；M表示所有維修臺內(nèi)正在維修的部件與待維修部件數(shù)量之和(M=0,1,…,k)?？紤]到3個(gè)維修臺分別提供不同類型的維修活動(dòng)，可將M表示為

當(dāng)M=0,1,…,k-1時(shí)，有

M={(l1,l2,l3):0≤l1,l2,l3≤k-1,l1+l2+l3=M}

當(dāng)M=k時(shí)，有

k={(0,l2,l3):l2+l3=k}

根據(jù)M可將系統(tǒng)的狀態(tài)空間表示為Ω={M,M=0,1,…,k}

M=M1∪M2∪M3∪M4∪M5∪M6∪M7

M1={(M,0,0)},M2={(l1,l2,0)}，

M3={(0,M,0)},M4={(0,l2,l3)}，

M5={(0,0,M)},M6={(l1,0,l3)}，

M7={(l1,l2,l3)}。

具體含義為

1) 3個(gè)維修臺均處于空閑狀態(tài)，此時(shí)無部件需維修，系統(tǒng)正常運(yùn)行：(0,0,0)={i,x,h,l}，其中1≤i≤m2,1≤x≤fi,1≤h≤ε,1≤l≤t。

2) 僅預(yù)防性維修臺處于工作狀態(tài)，此時(shí)預(yù)防性維修臺內(nèi)最多有k-1個(gè)部件，系統(tǒng)正常運(yùn)行：(l1,0,0)={i,x,h,l,r1}，其中1≤i≤m2,1≤x≤fi,1≤h≤ε,1≤l≤t,1≤r1≤z1。

3) 僅Ⅰ類修復(fù)性維修臺處于工作狀態(tài)，若Ⅰ類修復(fù)性維修臺內(nèi)部件數(shù)量l2≤k-1，此時(shí)系統(tǒng)正常運(yùn)行：(0,l2,0)={i,x,h,l,r2}，其中1≤i≤m2,1≤x≤fi,1≤h≤ε,1≤l≤t,1≤r2≤z2；若所有部件均處于Ⅰ類修復(fù)性維修臺，此時(shí)系統(tǒng)故障：(0,k,0)={r2}，其中1≤r2≤z2。

4) 僅Ⅱ類修復(fù)性維修臺處于工作狀態(tài)，若Ⅱ類修復(fù)性維修臺內(nèi)部件數(shù)量l3≤k-1，此時(shí)系統(tǒng)正常運(yùn)行：(0,0,l3)={i,x,h,l,r3},其中1≤i≤m2,1≤x≤fi,1≤h≤ε,1≤l≤t,1≤r3≤z3；若所有部件均處于Ⅱ類修復(fù)性維修臺，此時(shí)系統(tǒng)故障：(0,0,k)={r3}，1≤r3≤z3。

5) 僅預(yù)防性維修臺處于空閑狀態(tài)，若Ⅰ類修復(fù)性維修臺與Ⅱ類修復(fù)性維修臺內(nèi)部件數(shù)量l2+l3≤k-1，此時(shí)系統(tǒng)正常運(yùn)行：(0,l2,l3)={i,x,h,l,r2,r3}，其中1≤i≤m2,1≤x≤fi,1≤h≤ε,1≤l≤t,1≤r2≤z2,1≤r3≤z3,l2=1,2,…,k-2,l3=M-l2；若所有部件均故障，此時(shí)系統(tǒng)故障：(0,l2,l3)={i,x,h,l,r2,r3}，其中1≤i≤m2,1≤x≤fi,1≤h≤ε,1≤l≤t,1≤r2≤z2,1≤r3≤z3,l2=1,2,…,k-1,l3=k-l2。

6) 僅Ⅰ類修復(fù)性維修臺處于空閑狀態(tài)，由于Ⅱ類修復(fù)性維修較預(yù)防性維修具有優(yōu)先權(quán)，當(dāng)預(yù)防性維修臺工作時(shí)，至少有一工作部件，此時(shí)系統(tǒng)運(yùn)行：(l1,0,l3)={i,x,h,l,r1,r3}，其中1≤i≤m2,1≤x≤fi,1≤h≤ε,1≤l≤t,1≤r1≤z1,1≤r3≤z3,l1=1,2,…,k-2,l3=M-l1。

7) 僅Ⅱ類修復(fù)性維修臺處于空閑狀態(tài)，由于Ⅰ類修復(fù)性維修較預(yù)防性維修具有優(yōu)先權(quán)，當(dāng)預(yù)防性維修臺工作時(shí)，至少有一工作部件，此時(shí)系統(tǒng)運(yùn)行：(l1,l2,0)={i,x,h,l,r1,r2}，其中1≤i≤m2,1≤x≤fi,1≤h≤ε,1≤l≤t,1≤r1≤z1,1≤r2≤z2,l1=1,2,…,k-2,l2=M-l1。

8) 3個(gè)維修臺均處于工作狀態(tài)，由于Ⅰ類修復(fù)性維修與Ⅱ類修復(fù)性維修較預(yù)防性維修具有優(yōu)先權(quán)，當(dāng)預(yù)防性維修臺工作時(shí)，至少有一工作部件，此時(shí)系統(tǒng)運(yùn)行：(l1,l2,l3)={i,x,h,l,r1,r2,r3}，其中:1≤i≤m2,1≤x≤fi,1≤h≤ε,1≤l≤t,1≤r1≤z1,1≤r2≤z2,1≤r3≤z3,l1=1,2,…,k-3,l2=1,2,…,k-3,l3=M-l1-l2。

2.2 無窮小生成元

根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)空間的劃分，可得系統(tǒng)在整個(gè)狀態(tài)空間的轉(zhuǎn)移速率矩陣，即該馬爾科夫鏈的無窮小生成元Q。

Q=

式中:B00表示系統(tǒng)在狀態(tài)空間M=0的內(nèi)部轉(zhuǎn)移;B01、B10、C(1)、C(2)、D(1)、D(2)、E(2)、B(k-1)(k-1)、B(k-1)k、Bk(k-1)、Bkk均表示狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移矩陣。

系統(tǒng)各狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移關(guān)系如圖2所示。

當(dāng)檢測到工作部件性能水平時(shí)，性能水平通過矩陣U1、U2引入。

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移示意圖Fig.2 Diagram for system state transition

為表述方便，令

1) 狀態(tài)空間M=0的內(nèi)部轉(zhuǎn)移

B00表示系統(tǒng)在狀態(tài)空間M=0的內(nèi)部轉(zhuǎn)移，T?Itε表示工作部件性能水平i之間轉(zhuǎn)移，沖擊與檢測的相位未發(fā)生改變；Io?L?Iε表示沖擊未發(fā)生，工作部件性能水平與檢測相位未發(fā)生改變；U1?It?G0η表示檢測設(shè)備檢測到工作部件處于完好狀態(tài)，沖擊的相位未發(fā)生改變；Iot?G表示檢測未發(fā)生，工作部件性能水平與沖擊相位未發(fā)生改變。

B00=T?Itε+Io?L?Iε+U1?It?

G0η+Iot?G

2) 狀態(tài)空間M=0與M=1之間的轉(zhuǎn)移

① 檢測到工作部件處于一般狀態(tài)，該部件進(jìn)入預(yù)防性維修臺，冷貯備部件進(jìn)入工作狀態(tài)，轉(zhuǎn)移速率矩陣為B01(1):

式中:en為元素為1的n×1列向量。

② 工作部件退化失效，該部件進(jìn)入Ⅰ類修復(fù)性維修臺，冷貯備部件進(jìn)入工作狀態(tài)，轉(zhuǎn)移速率矩陣為B01(2):

③ 工作部件突發(fā)失效，該部件進(jìn)入Ⅱ類修復(fù)性維修臺，冷貯備部件進(jìn)入工作狀態(tài)，轉(zhuǎn)移速率矩陣為B01(3):

3) 狀態(tài)空間M=1,2,…,k-2的內(nèi)部轉(zhuǎn)移

C(M)表示系統(tǒng)在狀態(tài)空間M=1,2,…,k-2的內(nèi)部轉(zhuǎn)移，此時(shí)系統(tǒng)內(nèi)無新的部件需要進(jìn)入維修臺進(jìn)行維修。

C(M)=

M=3,4,…,k-2

C(2)=

G0η?Iz1+Iot?G?Iz1+Iotε?S1

U1?It?G0η?Iz1z2+Iot?G?Iz1z2+

Iotε?S1?Iz2+Iotεz1?S2}

G0η?Iz2+Iot?G?Iz2+Iotε?S2

U1?It?G0η?Iz2z3+Iot?G?Iz2z3+

Iotε?S2?Iz3+Iotεz2?S3}

G0η?Iz3+Iot?G?Iz3+Iotε?S3

U1?It?G0η?Iz1z3+Iot?G?Iz1z3+

Iotε?S1?Iz3+Iotεz1?S3}

U1?It?G0η?Iz1z2z3+Iot?G?Iz1z2z3+

Iotε?S1?Iz2z3+Iotεz1?S2?Iz3+

Iotεz1z2?S3}

4) 狀態(tài)空間M向M+1的轉(zhuǎn)移(M=1,2,…,k-2)

D(M)表示系統(tǒng)從狀態(tài)空間M轉(zhuǎn)移到M+1，此時(shí)工作部件需要進(jìn)入維修臺進(jìn)行維修活動(dòng)，冷貯備部件進(jìn)入工作狀態(tài)。

① 檢測到工作部件性能處于一般狀態(tài)，該部件進(jìn)入預(yù)防性維修臺。

② 工作部件退化失效，該部件進(jìn)入Ⅰ類修復(fù)性維修臺。

③ 工作部件突發(fā)失效，該部件進(jìn)入Ⅱ類修復(fù)性維修臺。

D(M)=

M=3,4,…,k-2

D(2)=

D(1)=

① 檢測到工作部件性能處于一般狀態(tài)，該部件轉(zhuǎn)入預(yù)防性維修臺，冷貯備部件進(jìn)入工作狀態(tài)，即(l1,l2,0)→(l1+1,l2,0)。

② 工作部件退化失效，該部件進(jìn)入Ⅰ類修復(fù)性維修臺，冷貯備部件進(jìn)入工作狀態(tài)，即(l1,l2,0)→(l1,l2+1,0)。

式中：

j=1,2,…,M-1

j=1,2,…,M-1

① 檢測到工作部件處于一般狀態(tài)，該部件進(jìn)入預(yù)防性維修臺，即(l1,l2,l3)→(l1+1,l2,l3)。

② 工作部件退化失效，該部件進(jìn)入Ⅰ類修復(fù)性維修臺，即(l1,l2,l3)→(l1,l2+1,l3)。

③ 工作部件突發(fā)失效，該部件進(jìn)入Ⅱ類修復(fù)性維修臺，即(l1,l2,l3)→(l1,l2,l3+1)。

式中：

j=1,2,…,M-2

j=1,2,…,M-2

j=1,2,…,M-2

同理可知：

[00[U2eoα1?It?G0η?β3?Iz2z30]]

式中：

j=1,2,…,M-1

j=1,2,…,M-1

式中：

j=1,2,…,M-1

j=1,2,…,M-1

5) 狀態(tài)空間M向M-1的轉(zhuǎn)移(M=2,3,…,k-1)

E(M)表示系統(tǒng)從狀態(tài)空間M轉(zhuǎn)移到M-1,M=2,3,…,k-1，此時(shí)維修臺內(nèi)減少1個(gè)待修部件。

① 預(yù)防性維修臺內(nèi)減少1個(gè)待修部件，即(l1,l2,l3)→(l1-1,l2,l3)。

② Ⅰ類修復(fù)性維修臺內(nèi)減少1個(gè)待修部件，即(l1,l2,l3)→(l1,l2-1,l3)。

③ Ⅱ類修復(fù)性維修臺內(nèi)減少1個(gè)待修部件，即(l1,l2,l3)→(l1,l2,l3-1)。

E(M)=

M=4,5,…,k-1

① 預(yù)防性維修臺內(nèi)減少一個(gè)待修部件，即(l1,l2,0)→(l1-1,l2,0)。

② Ⅰ類修復(fù)性維修臺內(nèi)減少一個(gè)待修部件，即(l1,l2,0)→(l1,l2-1,0)。

式中：

j=2,3,…,M-1

① 預(yù)防性維修臺內(nèi)減少1個(gè)待修部件，即(l1,l2,l3)→(l1-1,l2,l3)。

② Ⅰ類修復(fù)性維修臺內(nèi)減少1個(gè)待修部件，即(l1,l2,l3)→(l1,l2-1,l3)。

③ Ⅱ類修復(fù)性維修臺內(nèi)減少1個(gè)待修部件，即(l1,l2,l3)→(l1,l2,l3-1)。

式中：

j=1,2,…,M-3

j=2,3,…,M-2

j=3,4,…,M-1

同理可知：

式中：

其中：

6) 狀態(tài)空間M=k-1的內(nèi)部轉(zhuǎn)移

B(k-1)(k-1)表示系統(tǒng)在狀態(tài)空間M=k-1的內(nèi)部轉(zhuǎn)移，由于兩類修復(fù)性維修具有較高的優(yōu)先等級，因此轉(zhuǎn)移速率矩陣B(k-1)(k-1)內(nèi)包含了預(yù)防性維修臺向其他維修臺的轉(zhuǎn)移。

B(k-1)(k-1)=

① 3個(gè)維修臺均處于工作狀態(tài)，工作部件未進(jìn)入故障狀態(tài)。

② 3個(gè)維修臺均處于工作狀態(tài)，工作部件退化失效，正在進(jìn)行預(yù)防性維修的部件停止維修進(jìn)入工作狀態(tài)，待修部件進(jìn)入預(yù)防性維修臺。

③ 3個(gè)維修臺均處于工作狀態(tài)，工作部件突發(fā)失效，正在進(jìn)行預(yù)防性維修的部件停止維修進(jìn)入工作狀態(tài)，待修部件進(jìn)入預(yù)防性維修臺。

式中：

j=1,2,…,k-3

j=2,3,…,k-3

j=3,4,…,k-3

同理可知：

[[eoαm1?L0γ?Iε?ez1β1?β30]0]

[0[eoαm1?L0γ?Iε?ez1β1?Iz2?β30]]

[0[T0αm1?Itε?ez1β1?β2?Iz30]]

式中：

j=1,2,…,k-2

j=2,3,…,k-2

其中：

j=1,2,…,k-2

j=2,3,…,k-2。

7) 狀態(tài)空間M=k-1與M=k之間的轉(zhuǎn)移

B(k-1)k表示系統(tǒng)從狀態(tài)空間M=k-1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間M=k，Ⅰ類修復(fù)性維修臺與Ⅱ類修復(fù)性維修臺對k-1個(gè)故障部件進(jìn)行修復(fù)性維修，此時(shí)工作部件退化失效或突發(fā)失效，系統(tǒng)完全故障。

式中：

Bk(k-1)表示系統(tǒng)從狀態(tài)空間M=k轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間M=k-1，修復(fù)性維修臺對其中一個(gè)故障部件修理完成，該部件進(jìn)入工作狀態(tài)，系統(tǒng)正常運(yùn)行。

式中：

j=1,2,…,k-2

j=2,3,…,k-1

8) 狀態(tài)空間M=k的內(nèi)部轉(zhuǎn)移

Bkk表示系統(tǒng)在狀態(tài)空間M=k的內(nèi)部轉(zhuǎn)移，此時(shí)系統(tǒng)內(nèi)部有k個(gè)故障部件，Ⅰ類修復(fù)性維修臺與Ⅱ類修復(fù)性維修臺對故障部件進(jìn)行修理。

2.3 穩(wěn)態(tài)概率向量

當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時(shí)，無窮小生成元中各個(gè)狀態(tài)對應(yīng)的概率組成了穩(wěn)態(tài)概率向量π=(π0,π1,…,πM,…,πk-1,πk)，且滿足以下方程：

(1)

式中:Q為連續(xù)時(shí)間馬爾科夫鏈無窮小生成元。

將式(1)展開可得

π0B00+π1B10=0

(2)

π0B01+π1C(1)+π2E(2)=0

(3)

πj-1C(j-1)+πjD(j)+πj+1E(j+1)=0

j=2,3,…,k-2

(4)

πk-1B(k-1)k+πkBkk=0

(5)

解上述方程組式(1)，可得到各狀態(tài)空間對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)概率向量。

3 系統(tǒng)可靠性指標(biāo)

3.1 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度

系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度表示系統(tǒng)經(jīng)過長期運(yùn)行，處于運(yùn)行狀態(tài)的概率。即系統(tǒng)處于狀態(tài)空間Ω*={M,M=0,1,…,k-1}的概率，可得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度A。

(6)

3.2 系統(tǒng)可靠度函數(shù)

系統(tǒng)可靠度函數(shù)表示系統(tǒng)在時(shí)刻t之前不發(fā)生故障的概率。對于本文模型，系統(tǒng)可靠度是指系統(tǒng)在時(shí)刻t之前處于狀態(tài)空間Ω*={M,M=0,1,…,k-1}的概率，將系統(tǒng)故障狀態(tài)M=k合并為吸收狀態(tài)，對應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Q*為

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Q*表示系統(tǒng)不處于故障狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)在其余狀態(tài)空間之間的轉(zhuǎn)移情況。令Wi(t)表示系統(tǒng)處于狀態(tài)空間Ω*={M,M=0,1,…,k-1}的概率向量；且Wi(t)、Q*滿足下列微分方程：

(7)

解微分方程組，可得系統(tǒng)可靠度函數(shù)R(t)。

R(t)=φexp(Q*t)e

(8)

3.3 系統(tǒng)平均故障間隔時(shí)間

系統(tǒng)平均故障間隔時(shí)間是指系統(tǒng)從故障狀態(tài)離開又重新回到故障狀態(tài)的間隔時(shí)間。當(dāng)系統(tǒng)離開故障狀態(tài)M=k時(shí)，系統(tǒng)正常運(yùn)行，當(dāng)系統(tǒng)重新進(jìn)入狀態(tài)M=k時(shí)，系統(tǒng)故障。由PH分布定義可知，系統(tǒng)平均故障間隔時(shí)間服從PH分布，有otε[(1+(k-1)(z1+z2+z3)+(k-2)(z1z2+z1z3+z2z3)+(k-3)z1z2z3)]階不可約表示(φ,Q*)。

MTBF=-φQ*-1e

(9)

3.4 系統(tǒng)故障率

系統(tǒng)故障率是指系統(tǒng)在單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)入故障狀態(tài)的次數(shù)，記為r，根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Q有

r=πk-1B(k-1)ke

(10)

4 算 例

4.1 模型適用性驗(yàn)證與預(yù)防性維修閾值變化對系統(tǒng)可靠性指標(biāo)影響

1)模型適用性驗(yàn)證

已知某冷貯備系統(tǒng)由5個(gè)相同部件組成，工作部件共存在7個(gè)性能水平，假設(shè)m1=1，即將性能水平{1}劃分為完好狀態(tài)，{2,3,4,5,6}歸為一般狀態(tài)，{7}為系統(tǒng)退化失效狀態(tài)。

對該系統(tǒng)長期的運(yùn)行與維修記錄數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，利用文獻(xiàn)[25]中方法將可靠性數(shù)據(jù)以及其他分布擬合為PH分布形式，可得工作部件在各性能水平的停留時(shí)間分布，如表1所示。

表1工作部件在各性能水平停留時(shí)間分布

Table1Residencetimesindifferentperformancelevelsoftheoperationalunit

i停留時(shí)間分布1α1=[0.1990.2270.574]T1=-0.1470.0160.0174.976-10.3281.8720.1360.048-0.946é?êêù?úú2α2=[010]T2=-5.753000-5.7535.7535.7530-5.753é?êêù?úú3α3=[0.6560.30.044]T3=-1.2341.0110.1790-1.2341.23400-1.234é?êêù?úú4α4=[010]T4=-5.999000-5.9995.9995.9990-5.999é?êêù?úú5α5=[0.0230.9590.018]T5=-4.37400.0152.574-4.3881.7580.0920-4.392é?êêù?úú6α6=[100]T6=-6.430.4300.65-5.7400.0920-4.392é?êêù?úú

該馬爾科夫鏈的無窮小生成元Q為

將數(shù)據(jù)代入模型，計(jì)算可得穩(wěn)態(tài)可用度A=0.944 0，故障率r=0.019 8次/單位時(shí)間，平均故障間隔時(shí)間MTBF=52.708 7單位時(shí)間，系統(tǒng)可靠度函數(shù)如圖3所示。

該算例說明當(dāng)部件在各性能水平的停留時(shí)間、檢測時(shí)間、維修時(shí)間等服從不同類型的分布時(shí)，將其擬合為PH分布形式進(jìn)行可靠性解析建模，能夠有效降低模型的解析難度，模型的適用性顯著提升。

2) 預(yù)防性維修閾值對系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的影響

當(dāng)改變預(yù)防性維修閾值時(shí)，系統(tǒng)可靠性指標(biāo)變化如表2所示。

圖3 時(shí)間與可靠度關(guān)系Fig.3 Variation of system reliability with time

表2預(yù)防性維修閾值對系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的影響

Table2Variationofpreventivemaintenancethresholdwithsystemreliabilityindex

m1AMTBF/單位時(shí)間r/(次·單位時(shí)間-1)10.944052.70870.019820.943952.89090.019830.943453.28470.020040.943353.31950.020150.943153.33190.0201

由表2可知，提高預(yù)防性維修閾值雖然能夠提升系統(tǒng)平均故障間隔時(shí)間，延長部件的工作時(shí)間，但是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度會(huì)隨之降低，系統(tǒng)故障率也隨之增加。

4.2 預(yù)防性維修臺工作速率對系統(tǒng)可靠性影響

為直觀展示預(yù)防性維修速率對系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的影響，在m1=1時(shí)，令β1=1,S1=(-λ)，改變指數(shù)分布參數(shù)。計(jì)算結(jié)果如圖4～圖6所示。

由圖4～圖6可知，在本算例中，隨著預(yù)防性維修速率的增加，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度呈現(xiàn)出先增后減的趨勢，系統(tǒng)故障率呈現(xiàn)出先減后增的趨勢，而系統(tǒng)平均故障間隔時(shí)間則隨著預(yù)防性維修速率的增加而增加并趨于平穩(wěn)。這是因?yàn)轭A(yù)防性維修速率的改變不僅影響著系統(tǒng)工作時(shí)間與預(yù)防性維修時(shí)間，還會(huì)在一定程度上影響修復(fù)性維修時(shí)間以及系統(tǒng)故障頻度，在修復(fù)性維修速率一定的情況下，隨著預(yù)防性維修速率的增加，系統(tǒng)在工作狀態(tài)的時(shí)間較修復(fù)性維修時(shí)間變化較快，而后較慢，這就導(dǎo)致了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度與系統(tǒng)故障頻率呈現(xiàn)出由圖4～圖5的趨勢，與此同時(shí)，預(yù)防性維修改變了工作部件處于完好狀態(tài)與一般狀態(tài)的停留時(shí)間，故系統(tǒng)平均故障間隔時(shí)間呈現(xiàn)出圖6的趨勢。

圖4 預(yù)防性維修速率對穩(wěn)態(tài)可用度的影響Fig.4 Effect of preventive maintenance rate on system stationary availability

圖5 預(yù)防性維修速率對系統(tǒng)故障率的影響Fig.5 Effect of preventive maintenance rate on system failure rate

圖6 預(yù)防性維修速率對系統(tǒng)平均故障間隔時(shí)間的影響Fig.6 Effect of preventive maintenance rate on mean time between system failure

4.3 兩類修復(fù)性維修速率對系統(tǒng)可靠性影響

同樣，令S2=(-μ),S3=(-ρ)，研究2類修復(fù)性維修速率同時(shí)變化對系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的影響。計(jì)算所得結(jié)果如圖7～圖9所示。

圖7～圖9可知，在一定的Ⅰ類修復(fù)性維修速率下，Ⅱ類修復(fù)性維修速率改變的同時(shí)，系統(tǒng)處于工作狀態(tài)的時(shí)間與Ⅰ類修復(fù)性維修的時(shí)間也在改變，因此系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度會(huì)呈現(xiàn)出先增后減或一直增加趨于平穩(wěn)的態(tài)勢；當(dāng)兩類修復(fù)性維修速率改變，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率向量πk-1與轉(zhuǎn)移速率矩陣B(k-1)k的變化程度不一，因此系統(tǒng)故障率會(huì)呈現(xiàn)出先增后減的趨勢；而修復(fù)性維修能夠直接影響系統(tǒng)的工作時(shí)間，因此系統(tǒng)平均故障間隔時(shí)間與修復(fù)性維修幾乎呈現(xiàn)出線性關(guān)系。

圖7 兩類修復(fù)性維修速率對穩(wěn)態(tài)可用度的影響Fig.7 Effect of corrective maintenance rate on system stationary availability

圖8 兩類修復(fù)性維修速率對系統(tǒng)故障率的影響Fig.8 Effect of corrective maintenance rate on system failure rate

圖9 兩類修復(fù)性維修速率對系統(tǒng)平均故障間隔時(shí)間的影響Fig.9 Effect of corrective maintenance rate on mean time between system failure

由上述結(jié)果分析可知，隨著維修速率的增加，系統(tǒng)可靠性指標(biāo)能夠得到一定程度的提升，而當(dāng)維修速率增加到一定程度時(shí)，其對系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的影響程度會(huì)減少。因此，可以通過合理選擇預(yù)防性維修閾值、預(yù)防性維修與修復(fù)性維修的維修速率，在有效保證可靠性的基礎(chǔ)上，節(jié)約維修資源。

5 結(jié) 論

本文采用PH分布與PH更新過程研究了退化失效與突發(fā)失效競爭的多狀態(tài)冷貯備系統(tǒng)可靠性規(guī)律。通過數(shù)值算例分析了預(yù)防性維修閾值以及3類維修速率對系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的影響，結(jié)論如下：

1) 預(yù)防性維修閾值增加會(huì)使得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度降低，而故障率與平均故障間隔時(shí)間會(huì)隨之增加。

2) 通過分析3類維修速率變化對系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的影響，便于在保證系統(tǒng)可靠性的基礎(chǔ)上，節(jié)約維修資源。

3) 采用PH分布等工具研究多狀態(tài)復(fù)雜系統(tǒng)，能夠在保證良好解析特性的同時(shí)大幅提升模型的適用性。