編制高中數(shù)學(xué)變式題的思考

☉江蘇省無(wú)錫市青山高級(jí)中學(xué) 李 赟

學(xué)生在從特殊到一般的推廣、一題多解的變式、多題一解的變式中往往能夠獲得思維的拓展、視野的開(kāi)拓及創(chuàng)新能力的提升，教師在變式教學(xué)這種“類(lèi)”訓(xùn)練中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的往復(fù)循環(huán)進(jìn)行多角度的理解與認(rèn)知并獲得良好的預(yù)期.

一、“特殊”變式為“一般”

將數(shù)學(xué)原題中的特殊條件變?yōu)橐话銞l件能令題目具備一般性或普遍性.

解析：設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n.

在△PF1F2中，由勾股定理可得（2c）2=m2+n2=（m+n）2-2mn.

因?yàn)閙+n=2a，所以4c2=4a2-2mn，即mn=2（a2-c2）=2b2.

又因?yàn)閎2=9，所以S△PF1F2=1 2mn=b2=9.

觀察原題，∠F1PF2=90°是一個(gè)特殊角，若∠F1PF2不是特殊角90°，而是60°或其他角度，此時(shí)勾股定理很難在其中運(yùn)用，這又該如何計(jì)算？

變式1：若∠F1PF2=60°，則S△F1PF2=______.

解析：設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n.

由此可見(jiàn)，雖然改變了原題的角度，但是根據(jù)橢圓的定義與余弦定理也是可以得出結(jié)果的，那么改成其他一般性條件，是否可以得到一般性結(jié)論？具備推廣的意義嗎？

如此變式對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的鍛煉是極有意義的，學(xué)生在從特殊到一般的推廣中往往能夠獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的愉悅和成就感.不僅如此，一題擴(kuò)充至多題的訓(xùn)練也令學(xué)生對(duì)題型的歸納總結(jié)有了新的感悟，這是盲目的題海訓(xùn)練所無(wú)法比擬的，這樣的課堂教學(xué)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)也更具新鮮感與樂(lè)趣.

二、一題多解的變式

利用不同的數(shù)學(xué)原理、方法與思路對(duì)同一數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行思考和解題即為我們通常所說(shuō)的一題多解.

例2 在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且DC=2BD，AB∶AD ∶AC=3∶k∶1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)_____.

解法1：（向量法）設(shè)AB=3t，AD=kt，AC=t（t＞0），則：

從向量的角度出發(fā)并將題中條件用向量表示出來(lái)，將所求向量用基向量表示并運(yùn)用數(shù)量積最終令問(wèn)題得解，這種解題方法是解決這類(lèi)問(wèn)題的一種常用方法，數(shù)學(xué)化歸思想在這一解法中得到了很好的體現(xiàn).

這是根據(jù)阿波羅尼斯圓滿(mǎn)足的條件進(jìn)行聯(lián)想所得到的一種解法，學(xué)生在教師的點(diǎn)撥下很快聯(lián)想到動(dòng)點(diǎn)A的軌跡為圓并運(yùn)用坐標(biāo)法來(lái)解題.

解法3：（解三角形） 設(shè)AB=3t，AC=t，AD=kt，BD=m，DC=2m（t＞0，m＞0）.

這是觀察三角形并發(fā)現(xiàn)邊角之間關(guān)系所得的一種解法，事實(shí)上，也可以根據(jù)AB+AC＞BC，AB-AC＜BC得出，由此可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生，令其觀察三角形三邊關(guān)系并最終獲得解法4.

解法4：（幾何法）設(shè)AB=3t，AC=t，AD=kt，BD=m，DC=2m，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，延長(zhǎng)AD交CE于點(diǎn)E，則△ABD∽△ECD，所以有

由此可見(jiàn)，很多問(wèn)題往往存在能夠體現(xiàn)不同思維角度的多樣化解法.

由此不難看出，重視例題的變式或引申能使數(shù)學(xué)問(wèn)題的內(nèi)涵與外延得到積極的探索，課堂教學(xué)內(nèi)容由此得以豐富，學(xué)生知識(shí)體系的形成與建立也在更加高效的課堂教學(xué)中得以順利實(shí)現(xiàn).

遵循一定的原則與要求將原題中的條件、結(jié)論、形式、內(nèi)容、圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)母淖儾⑻岢鲂聠?wèn)題就是變式.教師在變式教學(xué)這種“類(lèi)”訓(xùn)練中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的往復(fù)循環(huán)進(jìn)行多角度的理解與認(rèn)知，使學(xué)生在感受數(shù)學(xué)無(wú)窮變化的奧妙中不斷提升學(xué)習(xí)效率，在開(kāi)拓視野與提升創(chuàng)新能力的同時(shí)順利獲得良好的學(xué)習(xí)預(yù)期.F