最值誠可貴，探究價更高
——對一道數(shù)量積最值問題的探究

☉江蘇省口岸中學 孫 娟

平面向量的數(shù)量積問題一直是高考題及各類模擬題中的常見題型與熱門考點之一，其往往涉及平面向量的數(shù)量積的求解、最值的確定、參數(shù)的求值等問題，且難度中等偏大.從哪些常見的角度切入及如何正確地破解，是處理此類問題的重點所在.

一、問題呈現(xiàn)

例題 已知矩形ABCD的邊長AB=2，AD=4，點P，Q分別在邊BC，CD上，且∠PAQ=的最小值為________.

本題以矩形為問題背景，結(jié)合矩形相關(guān)邊上已知兩點及相應的角度問題，進而來求解對應的平面向量的數(shù)量積的最小值.其中巧妙結(jié)合了平面幾何圖形、三角函數(shù)、平面向量及函數(shù)的最值等，融合了動與靜、變與不變、常數(shù)與最值等對立統(tǒng)一體，能夠很好地培養(yǎng)素養(yǎng)，并考查能力.

二、多解探究

解決平面向量的數(shù)量積的相關(guān)問題時，經(jīng)常采用坐標法思維，通過建立平面直角坐標系，把問題轉(zhuǎn)化為坐標運算的問題來處理，再結(jié)合相關(guān)參數(shù)所對應的基本不等式的轉(zhuǎn)化，一般來說可以簡化推理步驟，優(yōu)化運算過程，提高解題效益.

解法1：以A為坐標原點，AD，AB所在的直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系.

設P（m，2），Q（4，n），其中0≤m≤4，0≤n≤2，則0≤mn≤8.

解決涉及平面幾何中平面向量的數(shù)量積問題時，可以引入對應的角度，利用三角函數(shù)的相關(guān)知識加以轉(zhuǎn)化，結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式，再結(jié)合三角恒等變換，以及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定相應的最值問題.

三、變式拓展

其實，通過對平面向量的數(shù)量積最值問題的求解并深入觀察，根據(jù)條件加以拓展，可以進行深化與變式，從中發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題，并得以解決問題，真正達到“解一題拓一類，拓一類通一片”，避免“題海戰(zhàn)術(shù)”，從而真正培養(yǎng)思維品質(zhì)，提升解題思維與解題能力，以不變應萬變.

探究1：通過改變題目中相應角的度數(shù)來達到變式的目的，可得以下變式.

變式1：已知矩形ABCD的邊長AB=2，AD=4，點P，Q分別在邊BC，CD上，且∠PAQ=的最小值為________.

故填答案：16 2 -16.

探究2：通過改變題目中相應角的條件，將其變?yōu)閷€段的長度來達到變式的目的，可得以下變式.

變式2：已知矩形ABCD的邊長AB=2，AD=4，點P，Q分別在邊BC，CD上，且PQ=2，則的最大值為________.

解析：以A為坐標原點，AD，AB所在的直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系.

故填答案：16.

變式3：已知矩形ABCD的邊長AB=2，AD=4，點P，Q分別在邊BC，CD上，且PQ=2，則的取值范圍為________.

解析：以A為坐標原點，AD，AB所在的直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系.

通過從多個不同角度來探究處理，巧妙地把該題的底蘊充分挖掘出來.從多角度出發(fā)，多方面求解，進而深層次拓展，真正體現(xiàn)對數(shù)學知識的融會貫通，充分展現(xiàn)知識的交匯與綜合，達到提升能力，拓展應用的目的.進而真正達到在學中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國著名數(shù)學家蘇步青先生所說：“學習數(shù)學要多做習題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”F