解壓軸題：抽絲剝繭 逐步到位

許銀伙 楊蒼洲

(1.福建省泉州外國語中學(xué) 362000；2.福建省泉州第五中學(xué) 362000)

壓軸題形式多樣，沒有固定模式，條件與結(jié)論的關(guān)系通常不容易理清，解題思路經(jīng)常模糊乃至茫然．本篇介紹一種應(yīng)對方法：認(rèn)真分析，對條件逐層展現(xiàn)與轉(zhuǎn)化，對小問題逐個解決，抽絲剝繭，正難則反，分析反推，逐步到位．

分析與證明【數(shù)學(xué)歸納法】

因?yàn)?

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

分析與解(1)an=n．

方法一(數(shù)學(xué)歸納法)

∴n=1時(shí)，不等式成立．

問題得證．

反思與評注問題(2)不容易連貫證明，就分為兩個不等式，逐個解決．依據(jù)各式特點(diǎn)，采用數(shù)學(xué)歸納法和分析法，正面推導(dǎo)與反向探索綜合運(yùn)用，逐步達(dá)到目的．

例題3 已知函數(shù)f(x)=lnx．

分析與解(1)a=-2．

(3)由已知得：g(x)=ex，則A(a,ea)，B(b,eb)，

可得一個關(guān)于a和b的不等式：

反思與評注作為壓軸題，問題(2)不等式關(guān)于a∈[-1,0)和x∈(0,1]恒成立，先求出含參數(shù)a的一邊關(guān)于a∈[-1,0)的最值，消除a后再考慮關(guān)于x∈(0,1]恒成立如何解決，這是關(guān)于變量抽絲剝繭，逐步到位．問題(3)貌似抽象，實(shí)則簡單，只需理解題意，把相關(guān)面積求出，就可見問題解決的曙光．理解題意，逐個展現(xiàn)，逐步深入，摸索前進(jìn)，是解決問題的通法．

例題4 已知函數(shù)f(x)=ekx-2x(k為非零常數(shù)).

(1)當(dāng)k=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；

(2)若f(x)≥1恒成立，求k的值；

(3)對于函數(shù)f(x)增區(qū)間內(nèi)的三個實(shí)數(shù)x1,x2,x3(其中x1

分析與解(1)f(x)最小值為f(ln2)=2-2ln2．

(2)所求k=2．

方法一令t1=k(x2-x1)，t2=k(x3-x2)，則t1>0，t2>0.

令φ(x)=x+e-x-1 (x>0)，則φ′(x)=1-e-x>0對x>0恒成立，所以φ(x)對x>0遞增，因?yàn)棣?0)=0，所以φ(x)>0對x>0恒成立，則h′(x)>0，h(x)關(guān)于x>0遞增.由t2>0得：h(t2)>h(0)=0，問題得證．

令φ(x)=ex-(x+1)， 因?yàn)閗>0且x10,φ[k(x1-x2)]>0，φ[k(x3-x2)]>0.

反思與評注問題(3)較為抽象，難度大，解決時(shí)運(yùn)用分析法，抽絲剝繭，去粗取精，得到簡潔待證式．方法一運(yùn)用換元法，簡化問題，然后把兩個未知數(shù)中的其中一個當(dāng)成自變量，構(gòu)造函數(shù)，這是遇到無法分離參數(shù)時(shí)的常用解法．方法二是由式子的幾何意義和圖象特征，引入中間量，然后變形，構(gòu)造函數(shù)解決，它需要扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底、圖形意識和開拓創(chuàng)新能力．