數(shù)與形如何從建構(gòu)走向融合

辯課地點(diǎn)：唐山市萬(wàn)達(dá)小學(xué)

教學(xué)內(nèi)容：人教版六年級(jí)上冊(cè)第八單元《數(shù)與形》

辯課人員：河北省名師杜曉虎工作室 杜曉虎 王東青劉冬梅 馬向葵 孫雪靜

唐山市萬(wàn)達(dá)小學(xué) 魏曉晨 朱 妹

編者按：“辯課進(jìn)行時(shí)”是本刊在2019年重點(diǎn)推出的新欄目，同時(shí)也是《河北教育》專(zhuān)注新課程改革實(shí)施，專(zhuān)注一線(xiàn)課堂教學(xué)的新舉措。本欄目以“課堂展示”+現(xiàn)場(chǎng)“辯課”+“專(zhuān)家評(píng)價(jià)”的形式呈現(xiàn)辯課的具體內(nèi)容、研討成果和研究?jī)r(jià)值。我們將持續(xù)走進(jìn)不同地區(qū)的不同學(xué)校將“辯課”進(jìn)行到底。第四站，本刊編輯部走進(jìn)唐山市萬(wàn)達(dá)小學(xué)，實(shí)地參加由河北省名師杜曉虎工作室組織的以“數(shù)與形如何從建構(gòu)走向融合”為主題的教學(xué)展示及研討活動(dòng)，精心整理后，我們將相關(guān)內(nèi)容呈現(xiàn)出來(lái)，希望能給老師們一些啟發(fā)，同時(shí)也希望聽(tīng)到你們的聲音。本欄目互動(dòng)郵箱：hbjy?zh01@126.com

●課堂展示1

【實(shí)錄】

一、由形想數(shù)

1.出示圖形。

師：仔細(xì)觀察這組圖形，你能用“數(shù)”或“算式”來(lái)表示在“形”中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

2.交流。

（1）1，4，9，16。

師：結(jié)合圖形，1、4、9、16這四個(gè)數(shù)表示什么意義？誰(shuí)來(lái)給大家講解一下。

生：這四個(gè)數(shù)分別表示每幅圖形中包含的小正方形的數(shù)量。

（2）1×1=1，2×2=4，3×3=9，4×4=16。

生：每幅圖形橫豎都是由相同數(shù)量的小正方形組成，所以用乘法算式來(lái)表示每幅圖形中包含的小正方形的數(shù)量。

（3）1，1+3，1+3+5，1+3+5+7。

生：1表示第一幅圖形里面有一個(gè)正方形；后面圖形是在前一幅圖形的基礎(chǔ)上，逐漸增加3、5、7個(gè)小正方形。

師：為了更清晰地表示出這種規(guī)律，我們把這些加數(shù)所對(duì)應(yīng)的的小正方形用不同的顏色標(biāo)識(shí)一下。

二、由數(shù)想形

師：如果我們按照剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律繼續(xù)思考，看這個(gè)式子“1+3+5+7+9”，你會(huì)想到什么？

生：我想到“1+3+5+7+9”等于5的平方。

生：我會(huì)想到邊長(zhǎng)為5的正方形。

師：我們思考一下，這五個(gè)加數(shù)的和等于52，同時(shí)又想到它對(duì)應(yīng)著邊長(zhǎng)是5的正方形，你有新的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：加數(shù)有幾個(gè)，就等于幾的平方。

師：看見(jiàn)72，100，你又會(huì)想到什么？

（學(xué)生想到正方形和從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)數(shù)列。）

師：看看剛才我們剛才研究的過(guò)程。

生：都是從1開(kāi)始的，而且還是連續(xù)的奇數(shù)。

師：像這樣從1開(kāi)始，n個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加的和等于——

生：n的平方。

三、鞏固練習(xí)

1.請(qǐng)你根據(jù)剛才發(fā)現(xiàn)的結(jié)論算一算：1+3+5+7+9+7+5+3+1=（ ）。

生：把這個(gè)算式分成兩部分，前面“1+3+5+7+9”等于52，后面“7+5+3+1”等于42，它們加起來(lái)就等于41。

師：再看這個(gè)，5+7+9=（ ）。

生：我可以在“5+7+9”的前面加上“1+3”，然后用52減去22就是“5+7+9”的和，等于21。

2.每幅圖最外圈各有多少個(gè)小正方形？

生：第一幅圖有8個(gè)。可以用“32-1”求出最外圈有8個(gè)小正方形。

生：第2幅圖可以用“52-32”來(lái)求，第3幅圖用“72-52”求。

師：那么不畫(huà)圖，第5幅圖最外圈有多少個(gè)小正方形？

生：有40個(gè)小正方形。按照剛才的規(guī)律，112-92=40。

生：我發(fā)現(xiàn)了第幾幅圖最外圈就有幾個(gè)“8”，所以第10幅圖最外圈有十個(gè)“8”，共80個(gè)小正方形。

3.出示：（a+b）×c=ac+bc。

師：乘法分配律的確可以利用長(zhǎng)方形的面積來(lái)理解它的算理。這樣一來(lái)理解它的算理就變得直觀了。

4.出示沙漏動(dòng)畫(huà)。

師：仔細(xì)觀察，你能通過(guò)三個(gè)正方形的面積關(guān)系，聯(lián)系到直角三角形三條邊的關(guān)系嗎？

生：老師，我知道——a2+b2=c2。

師：上面兩個(gè)較小的正方形的面積加起來(lái)正好等于大的正方形的面積，也就是兩條直角邊的平方之和等于斜邊的平方。這就是著名的勾股定理。

四、總結(jié)

師：今天我們一起對(duì)“數(shù)與形”進(jìn)行了研究，通過(guò)研究我們可以感受到數(shù)與形之間的關(guān)系密切，數(shù)中有形，形中有數(shù)，彼此不可分割。像1、4、9、16、25這樣的數(shù)既是我們熟悉的“平方數(shù)”，又被古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派稱(chēng)為“正方形數(shù)”。除此之外，他們還研究過(guò)“三角形數(shù)”“五邊形數(shù)”。大家課下可以繼續(xù)研究，相信同學(xué)們能夠找到更多的規(guī)律。

●課堂展示2

【說(shuō)課】

一、教學(xué)分析

把數(shù)與形結(jié)合起來(lái)可使復(fù)雜的問(wèn)題變得更簡(jiǎn)單，使抽象的問(wèn)題變得更直觀。

本課通過(guò)數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生探索從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)之和與平方數(shù)（即正方形數(shù)）之間的關(guān)系。在學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，讓學(xué)生應(yīng)用規(guī)律解決問(wèn)題。在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)數(shù)與形之間的密切聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的奧妙，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

二、教學(xué)過(guò)程

（一）知識(shí)鏈接，感悟思想。

1.直面課題，回憶舊知。

師生通過(guò)對(duì)話(huà)對(duì)以往數(shù)與形的知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單回顧。

2.揭示課題，體會(huì)魅力。

師：數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的例子還有很多，它能使問(wèn)題更形象、更直觀。再次走進(jìn)數(shù)與形，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的魅力。

設(shè)計(jì)意圖：課前通過(guò)談話(huà)喚起學(xué)生對(duì)數(shù)與形的感知，明確學(xué)習(xí)內(nèi)容，感受數(shù)形結(jié)合的魅力。

（二）探索規(guī)律，深化思想。

1.快速計(jì)算，尋找規(guī)律。

出示算式1+3、1+3+5、1+3+5+7，學(xué)生計(jì)算并觀察算式中加數(shù)及結(jié)果的特點(diǎn)。

引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律列出算式并計(jì)算。

2.引“形”解題，體會(huì)結(jié)合。

從數(shù)的角度分析了數(shù)與式之間的關(guān)系，不妨換個(gè)角度，借助圖形再來(lái)研究它們的關(guān)系：看到“4、9、16…”或“22、32、42…”能想到什么圖形，為什么？在此從學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生由平方數(shù)想到正方形，初步體會(huì)以形解數(shù)，感悟數(shù)形結(jié)合。

看到“4、9、16…”或“22、32、42…”能想到正方形，1+3、1+3+5、1+3+5+7……這樣的算式是否也有與之相對(duì)應(yīng)的正方形呢？

學(xué)生組內(nèi)交流想法，獨(dú)立完成畫(huà)圖。交流中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)1個(gè)小正方形、3個(gè)小正方形、5個(gè)小正方形……可以共同拼出一些大小不一的大正方形，通過(guò)圖形的規(guī)律理解“平方數(shù)”和“正方形數(shù)”的含義。

3.思維碰撞，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

通過(guò)對(duì)數(shù)的分析和形的理解，能否很快計(jì)算這樣連續(xù)奇數(shù)相加的結(jié)果？再次計(jì)算“1+3+5+7+9+11”；如果是“1+3+5+7+9+11+13+15+17+19”呢？只是72，你又能想到哪個(gè)算式？什么圖形？

“你們的計(jì)算越來(lái)越快，是發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律嗎？”引導(dǎo)學(xué)生逐步總結(jié)出“從1開(kāi)始，幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加，和就是幾的平方”。

設(shè)計(jì)意圖：在題型的模仿、類(lèi)型的強(qiáng)化中，學(xué)生漸漸明晰數(shù)的規(guī)律并嘗試用自己的語(yǔ)言總結(jié)規(guī)律。在思考與解決問(wèn)題中體會(huì)數(shù)與形這種完美的結(jié)合，體驗(yàn)成功的喜悅。

4.運(yùn)用規(guī)律，思維強(qiáng)化。

出示“1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1”，學(xué)生計(jì)算引發(fā)爭(zhēng)議，在計(jì)算與圖形的直觀演示中，再次深化對(duì)“從1開(kāi)始，幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加，和就是幾的平方”這一規(guī)律的理解。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)解決問(wèn)題讓學(xué)生體會(huì)數(shù)的問(wèn)題也可以用形來(lái)幫助解決，形的問(wèn)題中包含數(shù)的規(guī)律，通過(guò)數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，互相印證。

（三）解決問(wèn)題，提升思想。

出示課件，觀察圓點(diǎn)的排列規(guī)律并計(jì)算圖中圓點(diǎn)的數(shù)量。

思考：如果按照這樣的規(guī)律，排到第10行共有多少個(gè)圓點(diǎn)呢？學(xué)生討論計(jì)算方法。

師：我們能不能再利用圖形，找到簡(jiǎn)便的算法呢？

師生交流，借助平行四邊形和梯形的面積計(jì)算公式，探索求連續(xù)自然數(shù)和的計(jì)算方法，從而體會(huì)圖形問(wèn)題蘊(yùn)藏著有趣的數(shù)的規(guī)律。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)幾個(gè)層次的練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。

（四）回顧整理，探究拓展。

帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)三角形數(shù)和正方形數(shù)，領(lǐng)略五邊形數(shù)、六邊形數(shù)及多面體數(shù)的神奇，為學(xué)生擴(kuò)大探究的領(lǐng)域，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

●辯課進(jìn)行時(shí)

【現(xiàn)場(chǎng)】

杜曉虎（河北省名師工作室主持人）：數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生思維的深度發(fā)展，數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)生思維發(fā)展的重要載體。數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老、最基本的學(xué)習(xí)元素，它們?cè)谝欢l件下，可以相互轉(zhuǎn)化。由數(shù)思形、見(jiàn)形想數(shù)，數(shù)形結(jié)合考慮問(wèn)題是一種常用的思想方法。今天我們就結(jié)合兩節(jié)《數(shù)與形》談?wù)勅绾巫寯?shù)與形從建構(gòu)走向融合。

話(huà)題一：數(shù)形結(jié)合既能培養(yǎng)學(xué)生的形象思維能力，又能促進(jìn)邏輯思維能力的發(fā)展。數(shù)與形的教學(xué)我們應(yīng)該從幾方面去建立數(shù)與形之間的連接，讓學(xué)生的思維動(dòng)起來(lái)？

王東青：讓學(xué)生思維動(dòng)起來(lái)要促使學(xué)生產(chǎn)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)需要，即激趣。

內(nèi)在學(xué)習(xí)需要的建立，要讓學(xué)習(xí)內(nèi)容立足于整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教材體系，學(xué)生感覺(jué)熟悉親切。孫老師有意識(shí)在引入環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了退位減法、韋恩圖、分?jǐn)?shù)、植樹(shù)問(wèn)題等數(shù)形結(jié)合的展示，幫助學(xué)生回憶相關(guān)內(nèi)容；馬老師則是在課后用面積模型幫助學(xué)生理解乘法分配律，并延伸到勾股定理。這種梳理，立足教材整體建構(gòu)知識(shí)體系，對(duì)激發(fā)學(xué)生的興趣大有裨益。

內(nèi)在學(xué)習(xí)需要的建立，還要有意識(shí)地創(chuàng)設(shè)能夠激發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突的學(xué)習(xí)活動(dòng)。教學(xué)要讓學(xué)生在研究、爭(zhēng)論、質(zhì)疑中展開(kāi)。這兩節(jié)課都注意到了這一點(diǎn)，學(xué)生在研究、討論的過(guò)程中逐漸逼近數(shù)形結(jié)合問(wèn)題的本質(zhì)。教師引導(dǎo)學(xué)生交流時(shí)，又引導(dǎo)學(xué)生想象數(shù)和算式表示的形是什么，學(xué)生不僅發(fā)現(xiàn)形的面積表達(dá)方式有多種，而且感受到形的面積與數(shù)、算式的緊密聯(lián)系?；诖?，教師接下來(lái)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)算式，通過(guò)算式和數(shù)想象圖形，從“形中藏?cái)?shù)”到“數(shù)中找形”，巧妙地建構(gòu)起數(shù)形之間的聯(lián)系。

劉冬梅：我同意東青的觀點(diǎn)。馬老師的課堂上，激發(fā)學(xué)生的興趣這一點(diǎn)做得很好。尊重學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知規(guī)律，直接以“數(shù)”示眾，強(qiáng)化認(rèn)知對(duì)比，放手讓學(xué)生自主探究規(guī)律。形與數(shù)的思維切換，極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這有利于發(fā)展學(xué)生的想象力、思維力、合作力與創(chuàng)造力。學(xué)生興致盎然，完全融入“數(shù)形結(jié)合”的思維挑戰(zhàn)中。

馬向葵：促進(jìn)學(xué)生思維動(dòng)起來(lái)，我覺(jué)得還要尊重學(xué)生的主體地位。孫雪靜老師在整個(gè)課堂教學(xué)中，逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“數(shù)”中的規(guī)律、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、懂得思考問(wèn)題的方法，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的參與熱情，并體會(huì)到了數(shù)與形的密切聯(lián)系，真正促進(jìn)了學(xué)生思維的發(fā)展。

孫雪靜：我也能從馬老師的課上發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)。他借助正方形圖，以形助數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，讓學(xué)生親歷了從“形”到“數(shù)”的過(guò)程，并直觀地發(fā)現(xiàn)“形”與“數(shù)”的關(guān)系。學(xué)生在交流中不斷進(jìn)行思維的碰撞，理解規(guī)律，總結(jié)規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問(wèn)題。正是因?yàn)檫@樣的思維碰撞，學(xué)生學(xué)會(huì)了數(shù)形結(jié)合的解題方法，體會(huì)和掌握了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

朱妹：讓學(xué)生思維動(dòng)起來(lái)，也離不開(kāi)教師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕虒W(xué)。在教學(xué)時(shí)，馬老師引導(dǎo)學(xué)生思考：“1+3+5+7”下一個(gè)應(yīng)該加幾？學(xué)生很快答出“1+3+5+7+9”。馬老師又引導(dǎo)學(xué)生“你會(huì)想到什么”，學(xué)生聯(lián)系第四幅圖，推斷出“1+3+5+7+9”就是第五幅圖，即邊長(zhǎng)為5的正方形。以此類(lèi)推，學(xué)生在形中發(fā)現(xiàn)了數(shù)的規(guī)律，又用數(shù)的規(guī)律印證了形的奧秘，構(gòu)建與融合相互交織，最終學(xué)生發(fā)現(xiàn)了“從1開(kāi)始，幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加，和就是幾的平方”的規(guī)律。

話(huà)題二：核心素養(yǎng)背景下，倡導(dǎo)深度備課，能夠以系統(tǒng)化的思維把握知識(shí)本質(zhì)。數(shù)與形部分如何深度備課才能激活學(xué)生的思維，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想價(jià)值？

王東青：深度備課要研讀課標(biāo)。數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想方法，這離不開(kāi)觀察、數(shù)學(xué)思考和推理歸納，因此需要聚焦在數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生通過(guò)以形想數(shù)、由數(shù)到形的過(guò)程來(lái)明晰這一思想方法。馬老師先是通過(guò)觀察讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“形中藏?cái)?shù)”，接下來(lái)通過(guò)想象和驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)“數(shù)中有形”，二者巧妙融合，促使學(xué)生不斷地思考、探究、推理、歸納；孫老師則是引導(dǎo)學(xué)生由數(shù)構(gòu)造形，體驗(yàn)形的助力作用，接著又從形回歸到數(shù)，感受數(shù)形融合的價(jià)值，數(shù)形在相攜相行的過(guò)程中，學(xué)生知其然也知其所以然，親歷知識(shí)形成過(guò)程，促使學(xué)生的思維動(dòng)起來(lái)。

馬向葵：我覺(jué)得深度備課要清晰小學(xué)階段的數(shù)形結(jié)合思想內(nèi)容。我在備課時(shí)，發(fā)現(xiàn)小學(xué)階段的數(shù)與形思想細(xì)分為三方面：一是體會(huì)形是抽象數(shù)量關(guān)系的可視化，幫助理解數(shù)和算式，進(jìn)而為直觀地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供思路和方向，甚至可以直接看出結(jié)論；二是體會(huì)形也離不開(kāi)數(shù)和算式，借助具體的運(yùn)算進(jìn)行判斷并得出結(jié)論；三是在解決問(wèn)題的過(guò)程中自覺(jué)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，體會(huì)作為問(wèn)題解決策略的數(shù)形結(jié)合的益處。簡(jiǎn)言之，既凸顯“形幫數(shù)”，也能感受“數(shù)助形”。

孫雪靜：深度備課還要理清小學(xué)階段“數(shù)與形”在各個(gè)年級(jí)及不同版本教材中滲透的點(diǎn)，能幫助教師找準(zhǔn)生長(zhǎng)點(diǎn)，抓住發(fā)展點(diǎn)，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。小學(xué)中滲透的數(shù)形結(jié)合思想方法，首先體現(xiàn)在根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題中數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，并利用幾何圖形的特征、規(guī)律來(lái)分析解決問(wèn)題，化抽象為直觀，易于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系。

劉冬梅：另外，還要注重橫向教材的對(duì)比，豐富備課的認(rèn)知。兩節(jié)課對(duì)三角形數(shù)、平行四邊形數(shù)的拓展都借鑒了其他版本的教材內(nèi)容。

朱妹：我認(rèn)為馬老師善于引導(dǎo)學(xué)生從不同角度發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的規(guī)律，這也是深度備課才能實(shí)現(xiàn)的。

話(huà)題三：數(shù)形結(jié)合思想對(duì)小學(xué)生而言，在之前的學(xué)習(xí)中都有應(yīng)用，但這種應(yīng)用只是滲透在某個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中。那么，在教學(xué)中如何讓數(shù)與形從逐步建構(gòu)走向深度融合？

劉冬梅：孫老師的課堂上，當(dāng)學(xué)生對(duì)于加數(shù)的結(jié)構(gòu)規(guī)律初建模型之后，再次將思維拔節(jié)——換個(gè)角度由數(shù)思形。“看到22，32......你想到了什么圖形？畫(huà)在方格圖上?！痹趯W(xué)生的動(dòng)手操作中對(duì)數(shù)的思考再上新高——平方即面積。而學(xué)生繪制的圖形也是精彩紛呈：有用數(shù)方格形式呈現(xiàn)的，有用面積“2×2”“3×3”表示大正方形的，有用依次疊加分層描繪“1+3+5+7”的……就在幾分鐘的操作中，學(xué)生卻創(chuàng)造出了不同思維角度的作品，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言變?yōu)榱酥庇^圖形，將“數(shù)”形象化，使抽象思維演繹成了形象思維，規(guī)律顯而易見(jiàn)。

可見(jiàn)，在知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程中，數(shù)與形的不斷積累，并不是知識(shí)的簡(jiǎn)單疊加或量變，而應(yīng)是對(duì)知識(shí)的突破、深化、超越或質(zhì)變。

王東青：見(jiàn)形思數(shù)，使“數(shù)”直觀化。馬老師用“三次思考”給我們進(jìn)行了示范。課伊始，出示一組圖形：“你能用“數(shù)”或“算式”來(lái)表示在“形”中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？”學(xué)生興致盎然，完全融入“數(shù)形結(jié)合”的思維挑戰(zhàn)中。此為學(xué)生“一思”。練習(xí)中，馬老師追問(wèn)：“在‘1+3+5+7’后再加，你會(huì)加幾？你會(huì)想到什么圖形？那7的平方表示哪些數(shù)相加呢？又想到什么圖形？那100呢？”學(xué)生由問(wèn)題見(jiàn)數(shù)想形，引發(fā)逆向思維的深入思考。抽象思維與數(shù)形結(jié)合融合運(yùn)用，相互轉(zhuǎn)化，此為學(xué)生“二思”。最后的鞏固練和拓展練，由數(shù)的運(yùn)算到最外圍正方形個(gè)數(shù)的問(wèn)題解決，再到勾股定理的簡(jiǎn)單滲透，無(wú)不彰顯著數(shù)與形分析的密不可分。借助幾何直觀，讓抽象邏輯更具模型，此為學(xué)生“三思”。

在新知的生成與發(fā)展過(guò)程中，馬老師準(zhǔn)確把握滲透數(shù)形結(jié)合思想的時(shí)機(jī)，以問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、驗(yàn)證，讓學(xué)生深刻經(jīng)歷著數(shù)與形從建構(gòu)走向融合的過(guò)程。

馬向葵：六年級(jí)的《數(shù)與形》這堂課就是讓數(shù)形結(jié)合思想從幕后走到臺(tái)前。但數(shù)與形的融合并不是一節(jié)課就能實(shí)現(xiàn)的，前面的建構(gòu)是基礎(chǔ)，這節(jié)課幫學(xué)生建立一種意識(shí)，積累了數(shù)形相融的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，期待學(xué)生看到“數(shù)”會(huì)想到“形”，看到“形”能夠去思考對(duì)應(yīng)的“數(shù)”，發(fā)展運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法去解決問(wèn)題的能力。

孫雪靜：對(duì)，之前數(shù)形結(jié)合思想在很多內(nèi)容中都有滲透。比如說(shuō)分?jǐn)?shù)算理的分析中的應(yīng)用、在應(yīng)用題分析中畫(huà)圖方法的應(yīng)用、在立體幾何中的應(yīng)用、在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用等等，都是我們幫助學(xué)生從建構(gòu)走向融合的素材，我們要重視起來(lái)，并指導(dǎo)學(xué)生加以應(yīng)用。

●專(zhuān)家點(diǎn)評(píng)

抓本質(zhì) 促融合

杜曉虎

本次辯課活動(dòng)，工作室選取了《數(shù)與形》作為研究?jī)?nèi)容，我們想與更多的教師探討：數(shù)與形如何從建構(gòu)走向融合。數(shù)形結(jié)合思想在集合問(wèn)題、方程、不等式、數(shù)列等很多問(wèn)題中都有著廣泛而有實(shí)效的運(yùn)用。見(jiàn)形思數(shù)，見(jiàn)數(shù)想形，以形助數(shù)，實(shí)質(zhì)就是以數(shù)化形、以形變數(shù)的結(jié)合。本次辯課活動(dòng)，馬向葵老師和孫雪靜老師執(zhí)教的是人教版六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)廣角《數(shù)與形》的例題1，本例題旨在揭示數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的意識(shí)和能力。

1.數(shù)形結(jié)合，起點(diǎn)在哪里？

兩位教師在深刻理解教材的基礎(chǔ)上，采用了兩種策略：馬老師由圖形入手，讓學(xué)生觀察圖形，用數(shù)或算式表達(dá)形中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；孫老師從算式入手，在學(xué)生充分觀察算式及運(yùn)算結(jié)果的基礎(chǔ)上，思考如何與圖形建立聯(lián)系。

馬老師的設(shè)計(jì)相對(duì)貼近教材，整個(gè)教學(xué)主要包括三個(gè)環(huán)節(jié)。孫老師從算式和運(yùn)算結(jié)果的規(guī)律入手，引導(dǎo)學(xué)生用圖形表達(dá)所發(fā)現(xiàn)的數(shù)的規(guī)律，滲透了構(gòu)造思想。

2.數(shù)形結(jié)合，過(guò)程如何做？

馬老師的課堂——

引入環(huán)節(jié)：上課伊始，讓學(xué)生讀課題，思考課題中的數(shù)和形分別指什么。開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，以談話(huà)式引入，直奔主題，尊重學(xué)生的已有認(rèn)知，用自己的思考來(lái)解讀題目中的字義，簡(jiǎn)明扼要。

新授環(huán)節(jié)組織了兩項(xiàng)數(shù)學(xué)活動(dòng)：“由形想數(shù)”和“由數(shù)想形”。

a.由形想數(shù)。

出示一組圖形，提出問(wèn)題：“仔細(xì)觀察這組圖形，你能用數(shù)或算式來(lái)表示在形中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？”讓學(xué)生從形入手，展開(kāi)聯(lián)想，理解同一事物可以有多種刻畫(huà)方式。研究過(guò)程凸顯以生為本，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，體現(xiàn)了學(xué)生在課堂上的主體地位。教學(xué)過(guò)程層層遞進(jìn)，逐步展開(kāi)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注形與數(shù)兩者之間的聯(lián)系。馬老師在此環(huán)節(jié)充分利用多媒體輔助教學(xué)，利用課件將不同顏色的小正方形拼組，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)形的變化規(guī)律，借助形來(lái)直觀感受與數(shù)之間的關(guān)系，體會(huì)形與數(shù)能夠相互解釋?zhuān)⒛芙柚谓鉀Q一些與數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，突破本課數(shù)形結(jié)合的難點(diǎn)。

b.由數(shù)想形。

通過(guò)第一個(gè)環(huán)節(jié)的研究，學(xué)生已初步感受到正方形與“從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)的和”有關(guān)，而這樣的數(shù)列和恰好是一個(gè)完全平方數(shù)，初步建立了平方數(shù)、“從1開(kāi)始的奇數(shù)數(shù)列的和”及正方形的聯(lián)系。這一環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思考角度，提升思維深度：如果給出算式，能否聯(lián)想到數(shù)和形？如果給出數(shù)，能否聯(lián)想到算式和形？從而建立三者之間的聯(lián)系。由淺入深，引發(fā)學(xué)生不斷地思考，學(xué)生樂(lè)此不疲。教師語(yǔ)言樸實(shí)精煉，清晰、直觀地引導(dǎo)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)規(guī)律，感受歸納推理的探尋過(guò)程，從多個(gè)角度體會(huì)數(shù)與形的關(guān)系。

孫老師的課堂——

新授部分分為兩個(gè)環(huán)節(jié)：

a.快速計(jì)算、尋找規(guī)律。

教師出示教材上的“1+3，1+3+5，1+3+5+7，…”，讓學(xué)生計(jì)算，并發(fā)現(xiàn)計(jì)算的規(guī)律。

b.引“形”解題、數(shù)形結(jié)合：在發(fā)現(xiàn)運(yùn)算規(guī)律的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生換角度看問(wèn)題，提出“看到‘4、9、16…’或‘22、32、42…’能想到什么圖形”的要求，充分尊重學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生思維能力，滲透構(gòu)造思想。

3.數(shù)形結(jié)合，如何真正融合？

學(xué)習(xí)的過(guò)程就是融合的過(guò)程，鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)呈現(xiàn)了學(xué)習(xí)效果。當(dāng)然，數(shù)形融合不是一節(jié)課就可以實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)，但兩位教師均精心設(shè)計(jì)了多層次練習(xí)題，幫助學(xué)生向這個(gè)方向努力。

習(xí)題層層遞進(jìn)，學(xué)生不斷地接受挑戰(zhàn)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，主動(dòng)地深入思考與學(xué)習(xí)，將所學(xué)知識(shí)進(jìn)行拓展。其中證明乘法分配律那個(gè)練習(xí)題，隱含的思考是：平方數(shù)與正方形通過(guò)面積公式建立了聯(lián)系，由此可以聯(lián)想，“二次”與面積有關(guān)。這個(gè)練習(xí)不僅拓展了學(xué)生的知識(shí)，同時(shí)給出了乘法分配律的一個(gè)證明方法。馬老師的最后一個(gè)練習(xí)，需要利用平方數(shù)與正方形的關(guān)系進(jìn)行思考，通過(guò)圖形的直觀演示，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)勾股定理，不僅拓寬了學(xué)生的視野，也為初中學(xué)習(xí)勾股定理及證明做了良好的鋪墊。

4.數(shù)形結(jié)合，其實(shí)是殊途同歸。

細(xì)品兩位教師的課堂，都給人以樸實(shí)、深刻的感覺(jué)。教學(xué)思路流暢、嚴(yán)謹(jǐn)，教學(xué)環(huán)節(jié)清晰、合理，學(xué)生思維獲得深度發(fā)展。整節(jié)課沒(méi)有華麗的辭藻，但總能以恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題引發(fā)學(xué)生思考；教學(xué)課件精美實(shí)用，交互性強(qiáng)，對(duì)教學(xué)的輔助作用顯而易見(jiàn)。兩位教師充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，不僅完美呈現(xiàn)了教材內(nèi)容，而且對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了拓展延伸，把教學(xué)內(nèi)容放在整個(gè)數(shù)學(xué)的知識(shí)體系中去研究，用發(fā)展的眼光培養(yǎng)學(xué)生，關(guān)注與后續(xù)學(xué)習(xí)的銜接，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)，切實(shí)提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。