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    判別常數(shù)項級數(shù)斂散性易犯錯誤分析研究

    2019-03-26 09:21:58景慧麗
    關(guān)鍵詞:散性萊布尼茨級數(shù)

    景慧麗

    (火箭軍工程大學(xué) 基礎(chǔ)部,陜西 西安 710025)

    引言

    無窮級數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個重要組成部分,它是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計算的一種工具[1]251.總體來說,無窮級數(shù)包括兩部分內(nèi)容:常數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù),而函數(shù)項級數(shù)的很多性質(zhì)和結(jié)論都是借助于常數(shù)項級數(shù)得到的,所以,常數(shù)項級數(shù)斂散性的判別尤其重要.在高等數(shù)學(xué)課程中判斷常數(shù)項級數(shù)斂散性的方法有很多,如利用級數(shù)收斂與發(fā)散的概念、利用收斂級數(shù)的性質(zhì)、利用比值審斂法、利用萊布尼茨定理[1]265等等.每種方法也都有自己的使用條件和使用范圍,例如,比值審斂法只適用于正項級數(shù),而萊布尼茨定理只適用于交錯級數(shù).但是,筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn),學(xué)員在判斷常數(shù)項級數(shù)的斂散性時經(jīng)常出錯,他們不考慮判別法則成立的條件,誤用、亂用情況經(jīng)常發(fā)生.為了幫助學(xué)員掌握并能熟練應(yīng)用常數(shù)項級數(shù)斂散性判別方法,筆者把學(xué)員在解題時經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤進(jìn)行了分析總結(jié),歸納了常見的錯誤類型,并且就每種錯誤給出了例題、錯解分析及正確解法.

    1 利用級數(shù)收斂的必要條件來判斷級數(shù)收斂

    2 顛倒級數(shù)收斂與級數(shù)的和的邏輯順序

    [正確解法] 本題有兩種解法.

    解法一:利用等比級數(shù)的結(jié)論,即由于該級數(shù)是公比q=2的等比級數(shù),由于|q|=2>1,因此該級數(shù)發(fā)散.

    3 用錯誤的性質(zhì)來判斷級數(shù)的斂散性

    4 亂用比較審斂法(或比較審斂法的極限形式)

    5 誤把比值審斂法理解為充要條件

    [錯解] 令un=2-n+(-1)n,則

    [正確解法] 本題應(yīng)用正項級數(shù)的根值審斂法進(jìn)行判定

    令un=2-n+(-1)n,則

    [正確解法] 本題應(yīng)用正項級數(shù)的比較審斂法進(jìn)行判定.

    又u3即u3

    下面用歸納法證明對任意的n,有un+1成立.

    假設(shè)un則un+1即un+1成立.

    注5 比較審斂法、比較審斂法的極限形式、比值審斂法及根植審斂法都只適應(yīng)于正項級數(shù),而且這些判別法都是充分不必要的.萊布尼茨定理只適應(yīng)于交錯級數(shù),而且也是充分不必要的,當(dāng)定理的條件成立時,只能得到級數(shù)收斂的結(jié)論,當(dāng)不滿足定理的條件時,是不能得到級數(shù)發(fā)散的結(jié)論的.

    6 結(jié)語

    以上就是學(xué)員在判別常數(shù)項級數(shù)斂散性時易犯的錯誤,其實只要學(xué)員理解了級數(shù)的概念、性質(zhì),掌握了判別級數(shù)斂散性方法成立的條件及使用范圍,上述錯誤都是可以避免的.另外,教員要正確看待這些“錯題”資源,這些都是非常寶貴的教學(xué)資源,正如心理學(xué)家蓋耶所說:“誰不考慮嘗試錯誤,不允許學(xué)生犯錯誤,就將錯過最富成效的學(xué)習(xí)時刻.”[3]在教學(xué)中,教員要主動挖掘?qū)W員“錯題”中的“閃光點”,及時進(jìn)行探究、分析和講評,既可以為學(xué)員創(chuàng)造新的學(xué)習(xí)機會,提高教學(xué)質(zhì)量,還可以培養(yǎng)學(xué)員的問題意識,培養(yǎng)學(xué)員發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力[4].

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