基于第三類Chebyshev節(jié)點(diǎn)組的Hermite插值

張 靜，黃 蓉，許貴橋，王彩華

（天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

在平均框架下研究函數(shù)類的逼近問題是函數(shù)逼近論研究的熱點(diǎn).過去研究的大部分函數(shù)類是具有有限光滑性的函數(shù)空間，近些年許多學(xué)者開始研究具有無限光滑性乃至解析函數(shù)類上的問題，如文獻(xiàn)[1-10].在討論這些問題時(shí)，最常見的方法是多項(xiàng)式插值方法，而在以上研究中，誤差分析都是針對光滑函數(shù)的，相應(yīng)于解析函數(shù)的討論大多僅針對Lagrange插值，如文獻(xiàn)[11-13].本文討論基于第三類Chebyshev節(jié)點(diǎn)組的Hermite插值對一種解析函數(shù)類的逼近問題，得到了相應(yīng)量的強(qiáng)漸近階或其值.

1 預(yù)備知識

設(shè)n為非負(fù)整數(shù)，將定義在[-1，1]上的n階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)的全體記為Cn[-1，1]，特別地，當(dāng)n=0時(shí)，將[-1，1]上的連續(xù)函數(shù)的全體記為C[-1，1].

為函數(shù) f在[-1，1]上的 Lp范數(shù).

函數(shù)類An是[-1，1]上的解析函數(shù)的一個(gè)子集，定義如下：

An={f∈Cn[-1，1]：‖f(n)‖≤1，n=1，2，…}

n次第三類Chebyshev多項(xiàng)式[14]為

其中Vn（x）的零點(diǎn)為

當(dāng)θ=π時(shí)，

對任意 f∈C[-1，1]，根據(jù)文獻(xiàn)[15]，計(jì)算可得基于上述節(jié)點(diǎn)組{xk}nk=1的Hermite插值多項(xiàng)式為

其中

基函數(shù)lk（x）是n-1次多項(xiàng)式，因而插值函數(shù)Hn（f，x）是2n-1次多項(xiàng)式.

引理[15]若f∈A2n，Hn（f，x）由式（2）給出，則對任意 x∈[-1，1]， 存在 ξ∈[-1，1]， 使得

2 Hn在最大范數(shù)下的逼近誤差

定理1設(shè)f∈A2n，Hn（f，x）由式（2）給出，則對任意 x∈[-1，1]， 有

且式（4）的估計(jì)是精確的.

證明由文獻(xiàn)[13]知

且Vn（x）=2nωn（x）.由引理有

于是有

利用數(shù)學(xué)歸納法可證得

而當(dāng)θ=π時(shí)，Vn（x）=（-1）n（2n+1），從而可知|Vn（x）|的最大值為2n+1，代入式（6）可得式（4）成立.

此時(shí)，式（4）中等號成立，從而此估計(jì)式是精確的，定理1得證.

在最大范數(shù)下，因?yàn)?/p>

再由定理1可得如下推論成立.

推論設(shè)Hn（f，x）由式（2）給出，則有

3 Hn在Lp范數(shù)下的逼近誤差

定理2設(shè)Hn（f，x）由式（2）給出，則有

證明由式（6），當(dāng) f∈A2n時(shí)，有‖f(2n)‖≤1，且有

于是得

從而可知

下面計(jì)算‖Vn2‖p.令

分2種情況討論.

（1）當(dāng) p=1時(shí).對于 k1有

其中

由等價(jià)無窮小知

又因?yàn)閨sin2m|≤|m|， 故有

并且

于是有

從而

所以

由上式和式（10）可得

所以當(dāng)p=1時(shí)，

（2）當(dāng)p＞1時(shí).對于k1有

其中

根據(jù) C2，p的定義， 因?yàn)?/p>

另一方面，

其中

因?yàn)?/p>

故存在常數(shù) C4，使得|v（t）|≤C4， 所以有

由范數(shù)性質(zhì)可知

則

所以

對于k2有

所以

因此

則p＞1時(shí)，

綜上，由式（9）、式（11）和式（16），定理2得證.

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

表1 例1的Hn在最大范數(shù)、L1范數(shù)和L2范數(shù)下的逼近誤差Tab.1 Approximate errors of Hnunder maximum norm，L1norm and L2norm of example 1

表2 例2的Hn在最大范數(shù)下的逼近誤差Tab.2 Approximate errors of Hnunder maximum norm of example 2