新中考背景下初中數學“好題”例析

潘振南

摘要：本文及本課題所說的“新中考背景”，指從2017年開始以來的福建省中考統(tǒng)一命題、統(tǒng)一考試等中考改革的新背景，本次新中考改革強調落實“立德樹人”的根本任務，強調中考命題要符合義務教育特點，要有利于發(fā)展學生的核心素養(yǎng)，要重視考查學科知識的綜合應用能力，考查學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。本課題所說的“初中數學考試”，指初中學段數學科的各種考試，包含課時小測、章節(jié)考試、期中考試、期末考試、畢業(yè)考試、升學考試。本課題所說的“命題導向研究”，指從命題的指導思想、基本原則、考試內容、試題結構、試卷難易度等方面隨著新背景、新時代的變化而進行指導性、方向性的研究。本課題組經過一年多的探索研究，收集積累了一些“好題”。

關鍵詞：初中數學;好題例析;立德樹人

中圖分類號：G633.6 ? 文獻標識碼：A ? 文章編號：1992-7711（2019）09-0123

對初中數學教師來說，深入研究命題導向，是教師反思自身教學行為、改進教學方法的重要環(huán)節(jié)之一。因為大家都知道，初中數學學習是以“題”為載體的，處在教育一線的數學教師要善于圍繞教學的主線和每節(jié)課的核心內容，精選“好題”、改編“好題”;要善于從數學知識的相互聯(lián)系及學生的認知規(guī)律出發(fā)，用好題、巧解題、多變式，要充分發(fā)揮教師的主導作用，突出以問題設計為數學教學設計的重點，讓學生少做題、輕松學、有興趣，最終培養(yǎng)學生學會數學思考。教師要研究“數學好題”，可從不同的課型、課后作業(yè)及各級各類考試等設計中不斷積累和總結經驗。

一、初中數學“好題”的理論標準

《義務教育數學課程標準》（2011年版）明確指出：數學課程評價的根本目的是為了促進學生學習，改善教師教學。命題應發(fā)揮數學課程評價的多種功能。數學考試命題的出發(fā)點和歸宿應該是促進學生的發(fā)展，試題要給學生的生命舒展、個性發(fā)展留下空間，從內容到形式都要朝著有利于學生發(fā)展的方向變革，這樣的試題才具有效度、信度。就新中考背景下評價一道初中數學題是否為“好題”的理論標準，筆者認為可以歸納以下幾個要點。

1. 科學性原則：試題內容符合科學性，沒有出現科學性的錯誤，沒有涉及到學術上的爭議;

2. 規(guī)范性原則：試題編制符合規(guī)范性，題型使用得當，敘述表達規(guī)范，版面格式規(guī)范;

3. 公平性原則：試題素材、背景材料等的使用公平（比如城市與農村學生均能接受的情景、素材）;

4. 導向性原則：試題導向明確，能體現近幾年中考數學命題改革的變化趨勢;

5. 思想性原則：試題能體現數學思想方法的考查，體現數學的教育價值觀和數學的文化性的考查;

6. 創(chuàng)新性原則：試題在背景、形式、內容或解答方法等方面具有一定的新穎性與獨特性，能診斷考生的數學創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力。

二、初中數學“好題”的特征例析

初中數學教學本身就有不同情境，在不同情境中用不同的題，其教育教學的價值、效益就不同。同一道題，在不同情境中的教育教學價值、效益也不一樣。因此，筆者認為所謂的“數學好題”，撇開具體的題型，就是試圖找到一種大家都能接受的相對合理的“數學好題”的一些基本要素。現例析數學“好題”所具備的一些特征。

1. 關注課標教材，重視基礎考查

一道好試題不一定就是一道難度很高、很完美的題目。例如，每年的各地市質檢卷及中考卷等綜合卷都會突出對基礎知識、基本技能、基本思想及基本活動經驗的考查，選擇題、填空題、解答題這三種題型的前半部分一般情況下都是基礎題中的容易題，絕大多數學生都能得分，這些試題注重通性、通法，淡化特殊技巧，較好地體現了基礎性、公平性及普及性，這里就不一一舉例了。

2. 關注核心素養(yǎng)，滲透思想方法

高中數學的核心素養(yǎng)與初中《新課程標準》的核心素養(yǎng)對比，如下表所示：

《初中數學課程標準（2011年版）》中提出的10個核心概念指向學習主體（學生）的特征，是學生在義務教育階段的數學課程中最應得到培養(yǎng)的數學素養(yǎng)。從初中數學學習內容的特點與要求出發(fā)，結合近幾年中考數學命題的變化趨勢，我們應當將數感融入運算能力，將符號意識融入模型思想，進而將空間概念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、模型思想、應用意識、創(chuàng)新意識作為初中階段“好題”編制的關注點。

（1）空間觀念

例1：下面的幾何圖形是由四個相同的小正方體搭成的，其中主視圖和左視圖相同的是（ ?）。

評析：本題考查簡單幾何體三視圖，屬于基礎性知識的考查，由課本習題改編而來，但不是單純地讓學生識別一個幾何體的某一種視圖，而是綜合考查學生的空間觀念。

（2）幾何直觀

例2：若數a使關于x的不等式組<5x-2≥x+a有且只有四個整數解，則a的取值范圍是________。

評析：本題沒有給出數軸，其目的是希望學生能夠自覺地畫出數軸，考查學生對“見數思形”的敏感性。利用數軸求不等式組的解集，有利于學生通過直觀性探索解決問題。

（3）運算能力

例3：先化簡÷（-x+1），然后從-

評析：本題屬于分式的混合運算，同時考查了分式的意義。運算能力要求為第二級水平，這是一種常見的題型，也是本省這兩年中考都考到的題型。本題考查學生運算能力的水平，主要表現在兩個方面：一是在根據定義、公式、法則等進行數學運算過程中呈現出來的正確、合理、靈活和熟練程度;二是對運算的理解和尋求合理簡潔的運算途經解決問題的水平。

（4）推理能力

例4：在不透明的袋子中裝有一個幾何體模型，兩位學生摸該模型并描述它的特征。

甲同學：它有4個面是三角形;乙同學：它有8條棱。

該模型的形狀對應的立體圖形可能是（）。

A. 三棱柱 ? ? ?B. 四棱柱 ? ? ? ?C. 三棱錐 ? ? ? D. 四棱錐

評析：數學的每個分支都充滿了推理，所以考查學生推理能力的載體是全方位的。而考查空間觀念，也可以用排除法，比如本題：三棱柱只有兩個三角形的面，所以排除A;四棱柱沒有三角形的面，所以排除B;三棱錐有四個三角形的面，但是只有6條棱，所以排除C;剩下D選項，且四棱錐符合條件，故選D。

例5：已知二次函數y=ax2+bx+c中，其函數y與自變量x之間的部分對應值如下表所示：

點A（x1，y1）、B（x2，y2）在函數的圖像上，則當1

A. y1>y2 B. y1

評析：本題的背景材料是初中數學中的重要內容——二次函數。先由表格中的數據可以推出該二次函數開口向上，且對稱軸為直線x=2，再由函數的單調性可以得到答案。本題選擇值的設置很嚴謹，等號取不取的問題必須重視。

（5）模型意識

例6：如下右圖，在△ABC中，AC=BC=25，AB=30，D是AB上的一點（不與A、B重合），DE⊥BC，垂足是點E，設BD=x，四邊形ACED的周長為y，則下列圖像能大致反映y與x之間的函數關系的是（ ? ? ）。

評析：本題綜合考查函數的圖像、等腰三角形的性質、相似三角形的判定和性質等知識點，解題的關鍵是利用相似構造方程表示出DE和BE，再利用周長公式構建函數關系式。本題如果改為一道解答題（如：求出y與x之間的函數關系并畫出圖像）效果可能會更好，因為選擇值的設置，由自變量的取值范圍可以直接舍去A、B、C三個答案。

（6）應用意識

例7：建筑工人砌墻時，經常在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一條直的參照線，其運用到的數學原理是（）。

A. 兩點之間，線段最短

B. 兩點確定一條直線

C. 經過一點有無數條直線

D. 以上均不正確

例8：如下圖，小明到小穎家有四條路，小明想盡快到小穎家，他應該走第______條路，其中的數學道理是____________。

評析：例7、例8這兩題從生活現象入手，揭示看似簡單且習以為常的行為背后有著深刻的數學原理，考查學生利用已學的數學知識解決實際問題。類似的，在初等數學中，大量的數學知識都具有現實背景，如三角形的穩(wěn)定性等，都提供了從數學的角度解釋生活現象的鮮活的命題素材。

（7）創(chuàng)新意識

例9：定義：如果一個數的平方等于-1，記為i2=-1，這個數i叫做虛數單位，把形如a+bi（a，b為實數）的數叫做復數，其中a叫這個復數的實部，b叫做這個復數的虛部。它的加、減、乘法運算與整式的加、減、乘法運算類似。

例如計算：（2-i）+（5+3i）=（2+5）+（-1+3）i=7+2i;

（1+i）×（2-i）=1×2-i+2×i-i2=2+（-1+2）i+1=3+i;

根據以上信息，完成下列問題：

①填空：i3=________，i4=________;

②計算：（1+i）×（3-4i）;

③計算：i+i2+i3+…+i2017。

評析：本題向初中學生提出了一個新的概念——復數，約定了一種新的運算，通過創(chuàng)設全新的問題情景，要求學生通過觀察分析、閱讀理解，并與已知認知結構中的知識進行同化，從而創(chuàng)造性地解決問題，對學生獨立思考、加工提取信息及知識遷移和創(chuàng)新的能力要求較高。

3. 關注數學文化，體現德育導向

例10：《九章算術》是我國古代數學的經典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問金、銀各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚黃金重量相同），稱重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計），問黃金、白銀每枚各重多少兩？設每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據題意得（ ? ? ）。

A.

B.

C.

D.

評析：本題選自我國古代數學的經典著作《九章算術》，以此弘揚中華數學文化，增強民族自豪感，體現了數學課程育人功能的德育導向。

4. 關注數學理解，考查運用能力

例11：如下圖，反比例函數y=（k≠ 0）的圖像經過A、B兩點，過點A作AC⊥x 軸，垂足為D，過點B作BD⊥x軸，垂足為D，連接AO，連接BO交AC于點E，若OC=CD，四邊形BDCE的面積為2，則k的值為_______。

評析：本題背景來源于教材中反比例函數及相似三角形的性質，深入挖掘“反比例函數”的定義，考查學生對參數的準確理解，還要結合相似的相關知識來解題，突出引導學生經歷概念形成過程和理解概念本質的重要性。

5. 關注操作實踐，助推思維發(fā)展

例12：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，以點B為圓心，BC的長為半徑畫弧，交線段AB于點D，以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交線段AC于點E，連結CD。

（1）若∠A=28°，求∠ACD的度數;

（2）設BC=a，AC=b;

①線段AD的長是方程x2+2ax-b2=0的一個根嗎？說明理由。

②若AD=EC，求的值。

評析：本題在設計上以學生熟悉的作圖入手，通過實踐活動，發(fā)現所需要的條件，從而進一步解題。當然本題設計的亮點還在于與勾股定理、一元二次方程等知識點的綜合考查。

三、初中數學“好題”的一題多變

數學教育家波利亞認為：“一個有責任心的教師與其窮于應付繁瑣的數學內容和過量的題目，不如適當選擇某些有意義但又不太復雜的題目去幫助學生發(fā)掘題目的各個方面，在指導學生解題過程中，提高他們的才智與推理能力。”基于上述理念，我們認為可以從一道“好題”出發(fā)，借題發(fā)揮，探索一題多解、一題多變、一題多用的價值，以期培養(yǎng)學生學會從多層次、廣視角、全方位地認識、研究問題，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。

例如：華東師大版初中數學教材九年級上冊第2頁，問題1：

如圖1，用總長為20m的圍欄材料，一面靠墻，圍成一個矩形花圃，怎樣圍才能使花圃的面積最大？

改編一：如圖2是一個矩形花圃，除墻一面外，原來的三邊改成中間再增加兩條與AB平行且相等的邊;當然還可增加四條邊等。

改編二：（2015年·泉州中考24題）：某校在基地參加社會實踐活動中，帶隊教師考問學生：基地計劃新建一個矩形的生物園地，一邊靠舊墻（墻足夠長），另外三邊用總長69米的不銹鋼柵欄圍成，與墻平行的一邊留一個寬為3米的出入口，如圖所示，如何設計才能使園地的面積最大？下面是兩位學生爭議的情境：

請根據上面的信息，解決問題：

（1）設AB=x米（x>0），試用含x的代數式表示BC的長;

（2）請你判斷誰的說法正確，為什么？

改編三：（2018年·福建中考23題）：如圖，在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄。

（1）若a=20，所圍成的矩形菜園的面積為450平方米，求所利用舊墻AD的長;

（2）求矩形菜園ABCD面積的最大值。

總之，正如波利亞所說：“好的題目和蘑菇一樣，它們都成串生長?！痹诔踔袛祵W教學中，不僅要求教師要具有一雙善于發(fā)現好題的眼睛，并且面對好題，還要有絕不放過的精神。在平面幾何中，三角形的題目可以改編成四邊形，平行四邊形可以改編成菱形或矩形或正方形等，再結合圖形的變換，可讓“好題”好上加好。

（作者單位：福建省南安市教師進修學校 ? 362300）