對(duì)稱性在簡(jiǎn)化積分計(jì)算中的應(yīng)用

林樂義

【摘要】 本文總結(jié)、歸納了積分區(qū)域的對(duì)稱性（包括輪換對(duì)稱性）和被積函數(shù)的奇偶性在積分計(jì)算中的一些重要結(jié)論，并通過例題演示了這些對(duì)稱性的結(jié)論在計(jì)算積分時(shí)可以大大簡(jiǎn)化積分計(jì)算，提高解題效率.

【關(guān)鍵詞】 積分;對(duì)稱;應(yīng)用

一、引 言

在定積分的計(jì)算中，利用積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特點(diǎn)和被積函數(shù)的奇偶性可以大大簡(jiǎn)化積分的計(jì)算量，起到事半功倍的效果.此性質(zhì)經(jīng)過推廣，在二重積分、三重積分、第一型曲線積分、第一型曲面積分的計(jì)算中，利用積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面對(duì)稱的特點(diǎn)和被積函數(shù)的奇偶性，同樣可以大大簡(jiǎn)化積分的計(jì)算.此外，在積分的計(jì)算過程中，利用積分區(qū)域和被積函數(shù)的輪換對(duì)稱性也可有效地起到簡(jiǎn)化計(jì)算的作用，本文擬系統(tǒng)介紹這方面的結(jié)論，并舉出相關(guān)應(yīng)用實(shí)例給予說明.

二、有關(guān)對(duì)稱性的結(jié)論

（一）在定積分的計(jì)算中

若積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則

∫a-af（x）dx= 2∫a0f（x）dx，f（x）在[-a，a]上是偶函數(shù)，0，f（x）在[-a，a]上是奇函數(shù).

（二）在二重積分的計(jì)算中

1.若積分區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，則

D f（x，y）dσ=

2 D 1 f（x，y）dσ，f（x，y）在區(qū)域D上關(guān)于變量y是偶函數(shù)，0， f（x，y）在區(qū)域D上關(guān)于變量y是奇函數(shù)，

其中D1是區(qū)域D在x軸上方（或下方）的部分.

2.若積分區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱，則

D f（x，y）dσ=

2 D 2 f（x，y）dσ，f（x，y）在區(qū)域D上關(guān)于變量x是偶函數(shù)，0， f（x，y）在區(qū)域D上關(guān)于變量x是奇函數(shù)，

其中D2是區(qū)域D在y軸右側(cè)（或左側(cè)）的部分.

3.若積分區(qū)域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則

D f（x，y）dσ=

4 D 3 f（x，y）dσ，f（x，y）在區(qū)域D上關(guān)于變量x和y都是偶函數(shù)，0， f（x，y）在區(qū)域D上關(guān)于變量x或y是奇函數(shù)，

其中D3是區(qū)域D在第一象限的部分.

4.若積分區(qū)域D關(guān)于直線y=x對(duì)稱（輪換對(duì)稱性），則

D f（x，y）dσ= D f（y，x）dσ= 1 2? D [f（x，y）+f（y，x）]dσ.

（三）在三重積分的計(jì)算中

1.若積分區(qū)域Ω關(guān)于坐標(biāo)面x=0對(duì)稱，則

Ω f（x，y，z）dv=

2 Ω1 f（x，y，z）dv，f（x，y，z）關(guān)于變量x是偶函數(shù)，0，f（x，y，z）關(guān)于變量x是奇函數(shù)，

其中Ω1是Ω中x≥0的部分.

若把x換成y或z也有相同的結(jié)論.

2.若積分區(qū)域Ω關(guān)于x，y，z具有輪換對(duì)稱性，則

Ω f（x，y，z）dv= Ω f（y，z，x）dv= Ω f（z，x，y）dv

= 1 3? Ω [f（x，y，z）+f（y，z，x）+f（z，x，y）]dv.

（四）在第一型曲線積分的計(jì)算中

1.設(shè)平面分段光滑曲線L關(guān)于x軸對(duì)稱，則

∫Lf（x，y）ds= 2∫L1f（x，y）ds，f（x，y）關(guān)于變量y是偶函數(shù)，0，f（x，y）關(guān)于變量y是奇函數(shù)，

其中L1是L上y≥0的部分（前半段）.

若把x換成y也有相同的結(jié)論.

2.設(shè)空間分段光滑曲線L關(guān)于坐標(biāo)面x=0對(duì)稱，則

∫Lf（x，y，z）ds=

2∫L2f（x，y，z）ds，f（x，y，z）關(guān)于變量x是偶函數(shù)，0，f（x，y，z）關(guān)于變量x是奇函數(shù)，

其中L2是L上x≥0的部分.

若把x換成y或z也有相同的結(jié)論.

3.若積分曲線L關(guān)于x，y具有輪換對(duì)稱性（當(dāng)x=y時(shí)曲線方程不變），則

∫Lf（x，y）ds=∫Lf（y，x）ds= 1 2 ∫L[f（x，y）+f（y，x）]ds.

4.若積分曲線L關(guān)于x，y，z具有輪換對(duì)稱性（當(dāng)x=y，y=z，z=x時(shí)曲線方程不變），則

∫Lf（x，y，z）ds=∫Lf（y，z，x）ds=∫Lf（z，x，y）ds

= 1 3 ∫L[f（x，y，z）+f（y，z，x）+f（z，x，y）]ds.

（五）在第一型曲面積分的計(jì)算中

1.設(shè)分片光滑曲面Σ關(guān)于坐標(biāo)面x=0對(duì)稱，則

Σf（x，y，z）dS=

2Σ1f（x，y，z）dS，f（x，y，z）關(guān)于變量x為偶函數(shù)，0，f（x，y，z）關(guān)于變量x為奇函數(shù)，

其中Σ1是Σ上x≥0的部分（前半部分）.

若把x換成y或z也有相同的結(jié)論.

2.（輪換對(duì)稱性）若積分曲面Σ關(guān)于x，y，z具有輪換對(duì)稱性，則

Σf（x，y，z）dS=Σf（y，z，x）dS=Σf（z，x，y）dS

= 1 3 Σ[f（x，y，z）+f（y，z，x）+f（z，x，y）]dS.

三、應(yīng)用舉例

例1 ??計(jì)算∫ 1 2 - 1 2? 1-x? 1-x2? dx.

分析 ?∫ 1 2 - 1 2? 1-x? 1-x2? dx=∫ 1 2 - 1 2? 1? 1-x2? dx-∫ 1 2 - 1 2? x? 1-x2? dx， 注意到積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其中∫ 1 2 - 1 2? x? 1-x2? dx的被積函數(shù)關(guān)于x是奇函數(shù)，所以此積分為0.而∫ 1 2 - 1 2? 1? 1-x2? dx的被積函數(shù)關(guān)于x是偶函數(shù)，由前面總結(jié)的性質(zhì)可得：

原式=∫ 1 2 - 1 2? 1? 1-x2? dx-∫ 1 2 - 1 2? x? 1-x2? dx

=2∫ 1 2 0 1? 1-x2? dx=2arcsinx? 1 2 0=2× π 6 = π 3 .

例2 ??計(jì)算 D （x2-2x+3y+2）dxdy，

其中D：x2+y2≤a2.

分析 ?區(qū)域D既關(guān)于x軸對(duì)稱又關(guān)于y軸對(duì)稱，而x2關(guān)于x是偶函數(shù)，2x和3y分別關(guān)于x和y是奇函數(shù)，故：

原式= D x2dxdy- D 2xdxdy+ D 3ydxdy+ D 2dxdy

= D x2dxdy-0+0+2 D dxdy

=∫2π0dθ∫a0（rcosθ）2rdr+2πa2= 9 4 πa2.

例3 ??計(jì)算 Ω （xy+1）zdv，其中Ω為曲面

z= 1-x2-y2 和z= x2+y2 所圍區(qū)域.

分析 ??Ω （xy+1）zdv= Ω xyzdv+ Ω zdv，Ω關(guān)于坐標(biāo)面x=0對(duì)稱，而xyz關(guān)于x是奇函數(shù)，故 Ω xyzdv=0，所以

Ω （xy+1）zdv= Ω zdv

=∫2π0dθ∫ π 4 0dφ∫10rcosφ.r2sinφdr= π 8 .

例4 ??計(jì)算I=∮L[（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2]ds，其中L： x2+y2+z2=R2，z= R 2 .

分析 ?原式=∮L[（x2+y2+z2）+3]ds-∮L2xds-∮L2yds-∮L2zds，

考慮到曲線L關(guān)于yOz面對(duì)稱，2x是關(guān)于x的奇函數(shù)，所以∮L2xds=0，同理，曲線L關(guān)于zOx面對(duì)稱，2y是關(guān)于y的奇函數(shù)，所以∮L2yds=0，所以

原式=∮L[（x2+y2+z2）+3]ds-∮L2zds

=∮L（R2+3）ds-∮LRds

=（R2-R+3）∮Lds=（R2-R+3）·2π·? 3? 2 R

= 3 πR（R2-R+3）.

例5 ??計(jì)算曲面積分S（x+y+z）ds，其中S為上半球面z= a2-x2-y2 .

分析 ?曲面關(guān)于坐標(biāo)面x=0，y=0對(duì)稱，而x和y分別關(guān)于變量x和y為奇函數(shù)，故S（x+y）ds=0，又S在坐標(biāo)面z=0上的投影為x2+y2≤a2.且ds= 1+z2x+z2y = 1+ x2 a2-x2-y2 + y2 a2-x2-y2? =? a2 a2-x2-y2? = a z ，

原式=Szds=x2+y2≤a2z· a z dxdy=ax2+y2≤a2dxdy

=πa3.

例6 ??計(jì)算 Ω （x2+z2）dv，其中Ω：x2+y2+z2≤1.

分析 ?積分區(qū)域是個(gè)單位球，關(guān)于x，y，z具有輪換對(duì)稱性，所以

Ω （x2+z2）dv= Ω （y2+x2）dv= Ω （z2+y2）dv，

1 3? Ω （x2+z2+y2+x2+z2+y2）dv

= 2 3? Ω （x2+y2+z2）dv

= 2 3 ∫2π0dθ∫π0dφ∫10r4sinφdr= 8 15 π.

例7 ??計(jì)算∮L（z+y2）ds，其中L： x2+y2+z2=R2，x+y+z=0.

分析 ?由空間曲線L的方程知道，當(dāng)x=y，y=z，z=x時(shí)，曲線L的方程不變，具有輪換對(duì)稱性，所以

∮Lxds=∮Lyds=∮Lzds，∮Lx2ds=∮Ly2ds=∮Lz2ds，

于是∮Lzds= 1 3 ∮L（x+y+z）ds= 1 3 ∮L0ds=0，

∮Ly2ds= 1 3 ∮L[x2+y2+z2]ds= R2 3 ∮Lds= 2πR3 3 ，

所以∮L（z+y2）ds= 2 3 πR3.

例8 ??計(jì)算 Σ （x+z+1）2dS，其中Σ：x2+y2+z2=R2.

分析 ??Σ （x+z+1）2dS= Σ （x2+z2+1+2xz+2x+2z）dS.

由積分曲面Σ的對(duì)稱性及被積函數(shù)為奇函數(shù)的特點(diǎn)，知

Σ xdS=0， Σ zdS=0， Σ xzdS=0.

又由積分曲面Σ的輪換對(duì)稱性知，

Σ x2dS= Σ y2dS= Σ z2dS= 1 3? Σ （x2+y2+z2）dS，

所以 Σ （x+z+1）2dS= 2 3? Σ （x2+y2+z2）dS+ Σ 1·dS

= 2 3 R2 Σ dS+4πR2= 8 3 πR4+4πR2.

通過上面這些例子的計(jì)算演示可以看出，在計(jì)算積分的過程中，如果能及時(shí)利用積分區(qū)域（區(qū)間）的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性以及積分區(qū)域的輪換對(duì)稱性，在很多時(shí)候可以有效減少煩瑣的計(jì)算量，提高解題效率.

【參考文獻(xiàn)】

[1]丁蓮珍.高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）[M].南京：河海大學(xué)出版社，2011.

[2]徐小湛.對(duì)稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究，2001（1）：24-27.

[3]劉潔等.對(duì)稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用[J].邵陽(yáng)學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008（4）：23-27.