巧用“幾何畫板” 感悟數(shù)學(xué)思想*
——以數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課“平面圖形的周長(zhǎng)與面積”為例

李玲玲 張正權(quán)

(1.合肥市廬陽(yáng)區(qū)教育體育局教研室 安徽合肥 230001)(2.合肥市躍進(jìn)小學(xué) 安徽合肥 230001)

相對(duì)于數(shù)學(xué)新知的教學(xué)而言，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課更能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的提煉和形成。在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，回顧已學(xué)過(guò)的知識(shí)是第一個(gè)層次的要求，而第二個(gè)層次的要求則是系統(tǒng)地梳理知識(shí)并形成知識(shí)脈絡(luò)，由此建構(gòu)知識(shí)體系。但是，這還不是最終目的，最高層次的要求則是提升思想，提煉方法，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在蘇教版六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)“平面圖形的周長(zhǎng)與面積”這一課的教學(xué)中，我們可以在整理各個(gè)平面圖形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程中注重建立圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，突出數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化的好處、具體方法、特點(diǎn)和靈活應(yīng)用等完整地加以感受和認(rèn)識(shí)。其中“幾何畫板”軟件的巧妙應(yīng)用，能夠取得化靜為動(dòng)，化抽象為直觀的效果，從而有效地凸顯了數(shù)學(xué)本質(zhì)。

一、復(fù)習(xí)舊知不重復(fù)

復(fù)習(xí)課區(qū)別于新授課的一個(gè)顯著特征就是量多體大，比如這一課，涉及小學(xué)階段研究的各種平面圖形周長(zhǎng)及面積的相關(guān)知識(shí)，每一個(gè)周長(zhǎng)及面積公式都有一個(gè)較為復(fù)雜的推導(dǎo)過(guò)程，都能獨(dú)立成一節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，現(xiàn)在卻要合而為一，其容量之大可想而知，如果停留于知識(shí)的重復(fù)與羅列，那么勢(shì)必會(huì)顯得繁雜，教學(xué)效率也會(huì)大打折扣。如何使復(fù)習(xí)課舉重若輕，有條不紊，既有深度，又有廣度呢？我們必須將重點(diǎn)放在引導(dǎo)學(xué)生梳理知識(shí)，使知識(shí)彼此間建立關(guān)聯(lián)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，引導(dǎo)學(xué)生自覺將所學(xué)納入整個(gè)知識(shí)體系。

數(shù)學(xué)知識(shí)間的關(guān)聯(lián)有些是顯而易見的，比如這一課，如果僅將各圖形面積公式羅列出來(lái)，并且知道每種圖形的面積公式是在哪個(gè)圖形的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)的，這種關(guān)聯(lián)顯然不夠深入，只是點(diǎn)到為止，浮于表面，因此，具體復(fù)習(xí)每種圖形面積的推導(dǎo)過(guò)程就是繞不開的“坎兒”，只有在這個(gè)過(guò)程中才能建立知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而深入體會(huì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。但是，這又不可避免地導(dǎo)致復(fù)習(xí)效率低下，節(jié)奏難以掌控等問(wèn)題，這時(shí)候，幾何畫板的使用就能夠很好地解決這些矛盾，既能提高復(fù)習(xí)效率，又能突出重點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。

比如平行四邊形，讓學(xué)生先回憶它的面積公式是怎樣推導(dǎo)的，借助于幾何畫板所提供的便利，將切割平移的過(guò)程用動(dòng)畫演示出來(lái)，學(xué)生很快就能說(shuō)出將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，然后重點(diǎn)關(guān)注是怎樣推導(dǎo)平行四邊形面積公式的，思考長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬在平行四邊形里是什么。教師直接在黑板上板書平行四邊形面積公式，并用箭頭表示它們之間的關(guān)聯(lián)，這樣大大提高了效率，突出了圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系。其他圖形的推導(dǎo)過(guò)程也都使用幾何畫板直觀而形象地展示，再通過(guò)教師的板書將它們之間的內(nèi)在聯(lián)系展現(xiàn)出來(lái)，形成一個(gè)完整的結(jié)構(gòu)性的認(rèn)知。

最后讓學(xué)生思考：通過(guò)整理，你有什么體會(huì)？將學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)引向?qū)D(zhuǎn)化思想的深入探討上來(lái)。在學(xué)生回答的過(guò)程中，追問(wèn)學(xué)生：“為什么要把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形呢？這樣做有什么好處？”幫助學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化的特點(diǎn)和好處。此時(shí)，數(shù)學(xué)思想不再含而不露，而是和盤托出，成為研究的直接對(duì)象。從這一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)思想或核心素養(yǎng)是可見可教的。

二、引導(dǎo)探究看本質(zhì)

感悟數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的最終目標(biāo)，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出：“數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括。”要完成這樣的抽象與概括，需要進(jìn)行多次反復(fù)的思考和長(zhǎng)時(shí)間的積累，到了六年級(jí)下冊(cè)進(jìn)行知識(shí)的系統(tǒng)整理時(shí)，就要把數(shù)學(xué)思想的感悟作為重點(diǎn)，通俗地說(shuō)就是要讓學(xué)生形成“透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)”的能力。

從這節(jié)課來(lái)看，感悟轉(zhuǎn)化思想則是重點(diǎn)，要使學(xué)生體會(huì)到轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)研究中最常用的一種思想，它能使復(fù)雜而未知的問(wèn)題變?yōu)楹?jiǎn)單而熟悉的內(nèi)容，可以說(shuō)轉(zhuǎn)化是探究未知領(lǐng)域的思想利器，透過(guò)它能感受到數(shù)學(xué)思想的無(wú)所不在和無(wú)往不利。學(xué)生在整理各平面圖形的面積和周長(zhǎng)計(jì)算公式的時(shí)候已經(jīng)體會(huì)到它的好處和特點(diǎn)，但是我們不能淺嘗輒止，而要讓學(xué)生帶著問(wèn)題去探究，借助于轉(zhuǎn)化去發(fā)現(xiàn)本質(zhì)規(guī)律，從而更深刻地體會(huì)到轉(zhuǎn)化對(duì)于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要意義。幾何畫板具備的各種即時(shí)互動(dòng)功能，恰恰能夠?yàn)閹熒_展探究活動(dòng)提供有力的平臺(tái)。

本節(jié)課中教學(xué)練習(xí)實(shí)踐的第5題時(shí)，在學(xué)生發(fā)現(xiàn)每組圖形“面積不變，周長(zhǎng)變了，反之，周長(zhǎng)不變，面積卻變了”的情況之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生深思：這樣的發(fā)現(xiàn)只能說(shuō)是外在的現(xiàn)象，而這一現(xiàn)象的內(nèi)在原因是什么呢？促使學(xué)生思考影響面積和周長(zhǎng)的關(guān)鍵因素，為接下來(lái)的研究埋下伏筆。教學(xué)練習(xí)實(shí)踐的第7題時(shí)，如果僅限于讓學(xué)生畫出面積相等的幾個(gè)平面圖形，并展示交流的話，最多提煉出畫出面積相等圖形的具體方法，但與這節(jié)課所強(qiáng)調(diào)的轉(zhuǎn)化思想并無(wú)多少聯(lián)系，因此，我們還可深入引導(dǎo)學(xué)生探究，借助于幾何畫板的強(qiáng)大交互功能，當(dāng)場(chǎng)在課件中作圖，當(dāng)畫出一個(gè)面積是12 cm2的長(zhǎng)方形之后，電腦自動(dòng)算出了它的面積和周長(zhǎng)，并顯示在圖形下面，這時(shí)候，讓學(xué)生思考：怎樣將它轉(zhuǎn)化成平行四邊形并保持面積不變呢？通過(guò)課件演示，拖動(dòng)頂點(diǎn)將長(zhǎng)方形拉斜，變成平行四邊形，在保持底和高不變的情況下，繼續(xù)拉斜，此時(shí)，圖形下顯示的面積仍然是12 cm2，而周長(zhǎng)卻在不斷變化。然后再把平行四邊形變成三角形，也不斷改變?nèi)切蔚男螤畈⒈３置娣e不變，梯形也同樣。這樣的動(dòng)態(tài)演示，師生間互動(dòng)交流，借助于幾何畫板進(jìn)行共同探究，使得問(wèn)題的本質(zhì)逐步明朗，也使學(xué)生清晰而深刻地體會(huì)到“等面積變形”這一轉(zhuǎn)化思想的具體應(yīng)用，從而抓住了影響面積大小的關(guān)鍵因素，而不被外在形狀變化所迷惑。

由此可見，要想促進(jìn)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問(wèn)題，除了要具備問(wèn)題意識(shí)之外，還必須營(yíng)造良好的環(huán)境，其中最重要的因素就是提供易于操作和探究的工具與平臺(tái)。幾何畫板正是研究幾何圖形的平臺(tái)，它能方便而有效地促進(jìn)師生的互動(dòng)操作和探究，實(shí)現(xiàn)與數(shù)學(xué)課程的深度融合。

三、化虛為實(shí)悟思想

正如前文所述，數(shù)學(xué)思想并非“只可意會(huì)不可言傳”的，它是可見可教的。當(dāng)然，這需要在長(zhǎng)期的積累應(yīng)用過(guò)程中逐步感悟，這也就意味著積累到一定程度就要水落石出、撥云見日，但是，也并不代表就一定能夠水到渠成。比如“極限思想”，往往停留于想象之中，甚至對(duì)于小學(xué)生而言是無(wú)法想象的。這時(shí)候?qū)τ谒母形蚓褪掷щy，特別是“幾何與圖形”領(lǐng)域，需要通過(guò)豐富的感知，在學(xué)生腦中形成清晰而準(zhǔn)確的表象，才能促進(jìn)學(xué)生的空間想象能力的培養(yǎng)和提高，從而發(fā)展空間觀念，所以僅憑想象而沒(méi)有直觀的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生對(duì)于“極限思想”的感悟難免模糊和粗糙。這時(shí)候，技術(shù)手段的使用恰恰能夠彌補(bǔ)這一不足，把“極限思想”轉(zhuǎn)化為眼前的形象，學(xué)生一目了然，心領(lǐng)神會(huì)。

在本節(jié)課中復(fù)習(xí)圓面積公式的推導(dǎo)，首先必須讓學(xué)生形成 “將圓轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形(化曲為直)”和“隨著平均分的份數(shù)不斷增加就越來(lái)越接近長(zhǎng)方形(無(wú)限接近)”的空間觀念，從而感悟極限思想，雖然可以讓學(xué)生去動(dòng)手操作，但是學(xué)生頂多將一個(gè)圓平均分成32份，如果平均分的份數(shù)再多點(diǎn)，那簡(jiǎn)直就是像繡花一樣的細(xì)活了，時(shí)間上根本不允許，所以只能靠學(xué)生去想象了。但是，這樣做給學(xué)生留下的直觀印象還是不夠深刻，而在這節(jié)課中，幾何畫板彌補(bǔ)了這一缺憾，通過(guò)演示課件，可以隨機(jī)輸入數(shù)字將圓平均分成若干份，然后拖動(dòng)圖形一步完成拼接操作，隨著平均分的份數(shù)不斷增加，拼接的圖形越來(lái)越接近長(zhǎng)方形，以往要很長(zhǎng)時(shí)間才能拼接出的圖形現(xiàn)在瞬間即可完成，而且可以不受限制，隨意掌控，當(dāng)平均分的份數(shù)多達(dá)128份且瞬間拼接出一個(gè)近似的長(zhǎng)方形的時(shí)候，學(xué)生發(fā)出一陣驚呼，可見眼前的景象已然超乎他們的想象，也正是這樣的視覺沖擊才能給他們留下深刻而清晰的印象。所以，信息技術(shù)的創(chuàng)新應(yīng)用能夠彌補(bǔ)實(shí)物操作的缺憾，突破難以想象的限制，現(xiàn)實(shí)中無(wú)法取得的效果，以充滿視覺沖擊力的動(dòng)態(tài)演示幫助學(xué)生進(jìn)行空間想象和推理，從而有效發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

綜上所述，為了使復(fù)習(xí)課不是簡(jiǎn)單地重復(fù)舊知，我們就必須超越具體的知識(shí)點(diǎn)的羅列與整理，在建構(gòu)知識(shí)體系和提煉數(shù)學(xué)思想上下功夫，而核心內(nèi)容則是對(duì)數(shù)學(xué)思想的整體感悟和認(rèn)識(shí)，這也是基于在以往的具體知識(shí)教學(xué)中對(duì)于數(shù)學(xué)思想的有效滲透，到了復(fù)習(xí)階段則要和盤托出，成為重點(diǎn)。在此過(guò)程中，信息技術(shù)的應(yīng)用對(duì)于感悟數(shù)學(xué)思想起到了十分顯著的促進(jìn)作用，是數(shù)學(xué)課堂上必不可少的手段。