極限思想在中學函數(shù)解題中的應用

摘 要：極限思想是數(shù)學分析中的一種重要思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學思想。本文主要將運用極限思想的方法和常規(guī)的解題方法作對比，反映出極限思想在中學數(shù)學部分函數(shù)問題中的妙用。

關鍵詞：極限思想；中學數(shù)學；函數(shù)；應用

函數(shù)是中學數(shù)學中十分重要的一個版塊，幾乎所有的數(shù)學知識都能用幾何的形式以函數(shù)為中心觀念結合起來。函數(shù)的涵蓋面十分廣，從一般初等函數(shù)到三角函數(shù)，而解決有關函數(shù)的問題的方法也多種多樣，其中極限思想也是其中的一種，在較難的函數(shù)問題中運用極限思想能夠適當?shù)暮喕橄髲碗s的運算，突破難以想到的難題。

一、 利用極限思想求未知變量的取值范圍

【例1】 已知函f（x）=|lgx|，010，若a，b，c均不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是？

分析：若按一般解法：首先由分段函數(shù)可得函數(shù)的圖像，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質得出答案，用一般解法的難點在于許多同學不能自如的運用對數(shù)函數(shù)的性質，不易想到“-loga=logb”，從而不能求解該題。

利用極限思想求解該題思路如下：直接由該分段函數(shù)的圖像可得出直線y=1與該函數(shù)的圖像相交時即為最小值，此時a→0，b→10，c→10，故abc=10；當平行于x軸的直線趨近于x軸時取得最大值，此時abc=12，這個解法比較簡單，對于基礎薄弱成績中等的學生依然適用。

二、 利用極限思想確定函數(shù)圖像

【例2】 函數(shù)f（x）=2-2x2-2x+1的圖像是（ ）

分析：此函數(shù)并不是我們平時常見的函數(shù)，函數(shù)圖像不容易畫出。但是利用極限思想可知，當x→1時，y→-∞，故可以排除A，C選項，又因為通過觀察可知函數(shù)過原點，故選B；利用極限思想判斷函數(shù)圖像是中學中判斷函數(shù)圖像的既高效又快速的方法。

三、 利用極限思想確定函數(shù)值域

【例3】 函數(shù)f（x）=1+1x2的值域為（ ）

A. （1，+∞）B. （2，-∞）

C. [2，+∞）D. [1，-∞）

分析：若按一般解法，需要利用反函數(shù)，令y=f（x），因為y=1+1x2，故x2=1y-1，則由x2≥0可得1y-1≥0。計算可得y≥1，故值域為（1，+∞）。

利用極限思想求解該題思路如下：當x趨近于0時，f（x）趨近于正無窮，從而排除B，D兩個選項，再由觀察即可得當x=2時，函數(shù)值介于1到2之間，故選A。

四、 小結

極限思想是我們在大學的學習中所要著重培養(yǎng)的一種思維方式，它在整個數(shù)學史中占據(jù)了十分重要的作用，在中學的數(shù)學教學中我們也應該在潛移默化中培養(yǎng)學生的這種思維，要充分認識到極限思想在解題中的便捷性，以及在培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維時的有效性，在素質教育的今天，我們不應該只教給學生大量的機械的解題方法，還應該重視各種數(shù)學思想的滲透。極限思想作為一種基礎而重要的數(shù)學思想，應該在中學教育中重視起來。

參考文獻：

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作者簡介：

汪瑤，四川省南充市，南充市順慶區(qū)西華師范大學。