變截面薄壁箱梁剪力滯計算的板元梁段法

李林安，耿文賓，劉習軍，張慶，周聰

?

變截面薄壁箱梁剪力滯計算的板元梁段法

李林安1, 2，耿文賓1，劉習軍1, 2，張慶1，周聰1

(1. 天津大學 機械工程學院，天津 300350；2. 天津市現(xiàn)代工程力學重點實驗室，天津 300350)

為了計算分析變截面薄壁箱梁剪力滯效應及其參數(shù)的敏感性，提出一種考慮剪力滯效應的三節(jié)點板元梁段法?；谙淞航孛鎯?nèi)應變-位移-基本變形之間的關系，以形函數(shù)作為單元內(nèi)高度變化的插值函數(shù)，利用最小勢能原理推導出梁段法對應的等參有限元行列式。使用編寫的有限元程序?qū)λ憷M行計算，梁段單元法計算結(jié)果與模型的實測值及有限元數(shù)值結(jié)果均吻合良好，驗證了理論方法與公式推導的正確性和可靠性；在集中和均布荷載2種工況下，分別考察變截面薄壁箱梁剪力滯效應分析中常見影響參數(shù)的敏感性，研究結(jié)果表明：翼寬比、寬跨比和腹板傾角是影響變截面箱梁剪力滯效應的主要因素。文中方法計算精度好、效率高，對分析變截面箱梁的剪力滯效應具有一定的參考價值。

變截面；薄壁箱梁；剪力滯效應；參數(shù)敏感性；等參有限元

為滿足路線設計和跨越地形地物的需要，具有良好結(jié)構(gòu)性能和受力特性的變截面連續(xù)箱梁在橋梁上部結(jié)構(gòu)設計中被廣泛采用[1]。工程中因剪力滯效應引起的一系列安全隱患備受工程師的關 注[2?3]，但分析變截面連續(xù)箱梁橋的剪力滯效應，不能直接采用等截面箱梁剪力滯效應的計算公式。因此，研究適用于變截面連續(xù)箱梁剪力滯效應分析的方法是必要的。目前，關于變截面箱梁剪力滯問題的研究已有一定的進展。CHANG等[4?5]較早利用有限差分法研究了變截面懸臂箱梁和變截面組合箱梁的剪力滯效應；劉世忠等[6]以能量變分法為基礎，建立了考慮變截面箱梁剪力滯和剪切變形雙重效應的有限元列式；羅旗幟等[7?9]將基于能量變分法推導的剪力滯控制微分方程的齊次解作為梁段的位移模式，建立了變截面箱梁剪力滯分析的有限段法；何志剛等[10]采用能量變分法推導了考慮截面配筋后的剪力滯控制微分方程，研究了變截面懸臂箱梁截面配筋對剪力滯效應的影響；韋成龍等[11]提出一種分析變截面連續(xù)箱梁橋剪力滯及剪切變形雙重效應的傳遞矩陣法；丁南宏等[12?13]基于等效剛度法提出了一種變截面懸臂箱梁剪力滯效應的近似計算方法。變截面箱梁因存在高度變化的現(xiàn)象，所以考慮剪力滯效應的控制微分方程很難得出解析解[7]，其往往需要借助有限元法進行分析，但有限元法分析變截面箱梁剪力滯效應存在操作繁雜和自由度較多的問題。因此為計算分析變截面薄壁箱梁剪力滯效應和提高計算效率，本文提出一種考慮剪力滯效應的三節(jié)點板元梁段[14?15]，通過建立箱梁各翼板關于基本變形的空間位移表達式，確定箱梁截面內(nèi)應變?位移?變形模式之間的關系，基于最小勢能原理建立梁段法對應的等參有限元行列式。算例的理論計算結(jié)果與已有實測值及數(shù)值結(jié)果均吻合良好，從而驗證了理論方法與公式推導的正確性和適用性。

1 坐標系及基本假定

如圖1所示，在豎直對稱的變截面梯形箱梁段上，建立笛卡爾坐標系(,,)，坐標系中箭頭所指方向為坐標軸正方向，為箱梁閉合截面壁厚中心線的方向。箱梁橫截面頂板、底板和懸臂板的寬度分別表示為b，b和b，相應的厚度分別表示為1，2和3，y和y依次為箱梁截面形心和扭轉(zhuǎn)中心的豎向坐標，(z)為截面處箱梁的高度，以及h和h分別為形心軸距頂板、底板中心線的距離。

圖1 坐標系及幾何參數(shù)

在線彈性理論基礎上引入以下假設：計入撓曲剪應變對彈性應變能的影響；翼板因扭轉(zhuǎn)翹曲引起的正應力和剪應力沿壁厚方向均勻分布；橫截面上翹曲縱向位移沿箱梁截面的分布規(guī)律與自由扭轉(zhuǎn)時的縱向位移相同，引入獨立的扭轉(zhuǎn)翹曲位移變量；在豎向彎曲中計入剪力滯后效應，但不考慮畸變的影響。

2 箱梁內(nèi)任意點的位移和應變

2.1 基本變形和空間位移

圖2為截面變形所考慮的8種基本變形模式，結(jié)合截面形心和扭心的位移參數(shù)可構(gòu)造變截面箱梁截面內(nèi)任意點(,,)處的空間位移表達式：

(a) 截面內(nèi)；(b) 截面外

2.2 應變和位移關系

箱梁截面上任意點的正應變和剪應變與空間位移場函數(shù)的關系為

其中：u是閉合截面內(nèi)任意點沿方向的位移，各翼板u的具體表達式參考文獻[14]。

因變截面箱梁中高度為變量，所以位移表達式中y，y，和均為關于的變量。箱梁內(nèi)任意點正向應變與基本變形模式之間的關系為

各翼板的剪應變?yōu)?/p>

頂板：

右腹板：

底板：

左腹板：

3 有限單元列式

3.1 幾何單元及形函數(shù)

位移場函數(shù)中包含8種基本變形模式，即單元上每個節(jié)點具有8個自由度，因梁段采用三節(jié)點的一維等參單元，所以單元的基本變形列陣為

式中：=1時，0=1；=3時，0=?1。

0形函數(shù)作為單元坐標和截面高度變量(z)的插值形函數(shù)，即

為建立廣義局部坐標和整體坐標內(nèi)導數(shù)之間的變換關系，引入雅克比系數(shù)：

3.2 單元應變矩陣

單元內(nèi)任意截面上的基本位移變量由構(gòu)造的形函數(shù)與節(jié)點基本位移表示為

圖3 形函數(shù)

Fig. 3 Shape Functions

單元內(nèi)截面上任意點正應變和剪應變?yōu)?/p>

式中：為材料彈性模量；為泊松比。

3.3 單元平衡方程組

單元彈性應變能的一般表達式為

假設箱梁單元上作用均布荷載q，q和q，則外部荷載作用下的外荷載勢能為

其中：為單元的外荷載矩陣，其具體形式參考文獻[14]進一步得出。

基于最小勢能原理得到三節(jié)點變截面箱梁段等參有限元的平衡方程組：

采用高斯積分計算得出變截面梁單元的單元剛度矩陣和節(jié)點等效荷載列陣，并基于MATLAB編寫了相關理論的有限元計算程序。程序編寫的一般流程如下。

1) 結(jié)構(gòu)參數(shù)輸入：節(jié)點坐標、截面幾何尺寸、材料特性、荷載類型和約束條件等；

圖4 單元剛度矩陣子程序的流程圖

2) 計算單元剛度矩陣并組合形成整體剛度 矩陣；

3) 計算單元等效荷載列陣并組合形成整體荷載列陣；

4) 給定邊界條件；

5) 分析求解。

單元剛度矩陣是有限元分析的重要部分，單元剛度矩陣計算子程序的編程框圖如下：

4 實驗模型驗證

如圖5(a)所示，一座有機玻璃制成的三跨變截面連續(xù)梁橋模型，其計算跨徑為460 mm+860 mm+ 460 mm，變截面部分的高度按照=0.0252+40的二次拋物線變化。橫截面的設計尺寸如圖5(b)所示，除了箱梁高度變化外，其他的幾何參數(shù)均保持不變。所用有機玻璃的彈性模量為=2 600 MPa，泊松比=0.4。羅旗幟[8]已測出作用集中力(= 173.33 N)和整橋作用均布荷載(=500 N/m)2種工況下截面I上各測點的正應力大小。

單位：mm

采用本文提出的三節(jié)點梁段法，將上述模型劃分為19個梁段單元，共39個節(jié)點。利用編寫的計算程序分別求出集中荷載和均布荷載作用下I-I截面上各測點的應力值，并與實測結(jié)果、有限段法和ANSYS數(shù)值結(jié)果進行對比分析。

由表1和2可知，無論在集中荷載或均布荷載作用下，截面上各測點的梁段法計算值與實測結(jié)果、有限段法和ANSYS數(shù)值結(jié)果均吻合較好；梁段法計算值相對于實測結(jié)果的最小絕對誤差分別為1.62%和0.36%，最大絕對誤差分別為10.19%和14.36%。綜上所述，該算例驗證了理論公式推導及其編寫程序的正確性和有效性，能滿足工程精度要求并適用于變截面箱梁的剪力滯效應的計算與 分析。

表1 集中荷載作用下截面I處應力分布

表2 均布荷載作用下截面I處應力分布

5 參數(shù)敏感性分析

計算鋼?混組合箱梁剪力滯效應時，混凝土板與鋼板之間的滑移對剪力滯效應影響較小，往往可以忽略剪力連接度的影響[16]?，F(xiàn)選取某市軌道交通線上一座三跨變截面鋼-混組合連續(xù)梁橋，分析梁高變化形式、混凝土強度、腹板斜率、翼寬比和寬跨比等因素對組合箱梁典型截面I-I和II-II處剪力滯效應的敏感性。

如圖6(a)所示，連續(xù)梁橋的跨徑組合為48 m+80 m+48 m，箱梁高度按照2次拋物線變化外，其他的幾何參數(shù)均保持不變，截面尺寸見圖6(b)；該橋主梁頂板為C50混凝土，腹板和底板為Q345鋼；考慮2種工況：1)集中荷載=10 kN作用于中跨跨中；2) 整橋作用均布荷載=1 kN/m。

5.1 梁高變化形式的敏感性分析

工程中變截面箱梁高度的變化常通過指數(shù)函數(shù)的冪次方變化來實現(xiàn)，常采用次方數(shù)為1.3，1.5， 1.8，2.0和2.2次。

單位：m

圖7給出了梁高變化形式對截面I-I和II-II頂板剪力滯效應敏感性的影響。隨著次方數(shù)的逐漸增大，集中荷載作用下，截面I-I腹板處剪力滯系數(shù)從1.035增大到1.039，翼緣板自由端處剪力滯系數(shù)從0.994減小到0.988；均布荷載下，截面I-I腹板處剪力滯系數(shù)從1.024增大到1.026，翼緣板自由端處剪力滯系數(shù)從0.989減小到0.983。2種荷載下，截面II-II剪力滯系數(shù)的變化規(guī)律和截面I-I相同，腹板處剪力滯效應與冪次方數(shù)呈正相關的關系，翼緣板處剪力滯效應與冪次方數(shù)呈負相關的關系。敏感性分析結(jié)果表明，2種加載方式下，梁高變化形式對剪力滯效應的影響不明顯。

5.2 混凝土強度的敏感性分析

選取C40~C80的混凝土強度，分析集中荷載和均布荷載作用下混凝土強度對剪力滯效應的敏 感性。

(a) 集中荷載；(b) 均布荷載

如圖8所示，隨著混凝土強度逐漸增大，集中荷載作用下，截面I-I腹板處剪力滯系數(shù)從1.036增加到1.039，翼緣板自由端處剪力滯系數(shù)從0.991減小到0.988；均布荷載作用下，腹板處剪力滯系數(shù)由1.023增大到1.026，而翼緣板自由端處剪力滯系數(shù)則由0.986減小到0.983。2種荷載下，截面II-II具有和截面I-I相同的剪力滯系數(shù)變化規(guī)律。敏感性分析結(jié)果表明，2種加載方式下，混凝土強度變化對剪力滯效應的影響不明顯。

5.3 腹板斜率的敏感性分析

為研究不同腹板傾斜度下箱梁的剪力滯效應，傾斜角分別取70°，75°，80°，85°和90°，為便于剪力滯系數(shù)比較，通過改變混凝土底板寬度來實現(xiàn)α的不同。

圖9是傾斜角的敏感性分析，隨著傾斜角從70°增加到90°，集中荷載作用下，截面I-I腹板處剪力滯系數(shù)從1.064減小到1.038，翼緣板自由端處剪力滯系數(shù)從0.965增加到0.989；均布荷載作用下，截面I-I腹板處剪力滯系數(shù)從1.038減小到1.026，翼緣板自由端處剪力滯系數(shù)從0.953增加到0.984。2種荷載下，截面II-II具有和截面I-I相同的剪力滯系數(shù)變化規(guī)律。敏分析結(jié)果表明，腹板傾斜度是變截面連續(xù)箱梁剪力滯效應分析時值得考慮的影響因素，傾斜角為90°時，剪力滯效應最小。

(a) 集中荷載；(b) 均布荷載

(a) 集中荷載；(b) 均布荷載

5.4 翼寬比的敏感性分析

翼寬比被定義為混凝土懸臂板b與頂板寬度b之比，通過改變懸臂板寬度，取翼寬比分別為0.2， 0.4，0.6，0.8和1.0。

圖10和圖11分別是不同翼寬比的敏感性分析結(jié)果。當翼寬比從0.2增加到1.0時，集中荷載作用下，截面I-I頂板的腹板處剪力滯系數(shù)從1.020增加至1.047，翼緣板自由端處剪力滯系數(shù)從0.993減小至0.985；截面I-I底板的腹板處剪力滯系數(shù)從1.019增加至1.042，底板中點處剪力滯系數(shù)從0.991減小至0.980。均布荷載作用下，截面I-I頂板腹板處剪力滯系數(shù)從1.014增加至1.031，翼緣板自由端處剪力滯系數(shù)從0.996減小至0.994；截面I-I底板腹板處剪力滯系數(shù)從1.013增加至1.027，底板中點處剪力滯系數(shù)從0.995減小至0.987。2種荷載下，截面II-II頂板和底板上剪力滯系數(shù)的變化規(guī)律與截面I-I相同，前者剪力滯效應較后者明顯。分析結(jié)果表明，翼寬比小于0.6時，剪力滯效應隨翼寬比的增大而增大，但翼寬比大于0.6時，翼寬比變化對剪力滯系數(shù)變化的影響較小。

5.5 寬跨比的敏感性分析

寬跨比定義為頂板寬度b與中跨跨長之比，保持箱梁頂部寬度不變及邊跨長恒等于0.6倍的中跨長，中跨長度分別取60，80，100，120和150 m，相應的寬跨比分別為0.100，0.075，0.060，0.050和0.040。

(a) 集中荷載；(b) 均布荷載

(a) 集中荷載；(b) 均布荷載

如圖12和圖13所示，隨中跨長度從60 m增加到150 m，集中荷載作用下，截面I-I頂板的腹板處剪力滯系數(shù)明顯減小，其值從1.098減小到1.022，懸臂板自由處剪力滯系數(shù)從0.972增加到0.994；截面I-I底板的腹板處剪力滯系數(shù)從1.089減小到1.020，底板中點處剪力滯系數(shù)從0.958增加到0.990。均布荷載作用下，截面I-I頂板的腹板處剪力滯系數(shù)從1.061減小到1.015，翼緣板自由端處剪力滯系數(shù)從0.962增加到0.990；截面I-I底板的腹板處剪力滯系數(shù)從1.056減小到1.014，底板中點處剪力滯系數(shù)從0.978增加到0.994。2種荷載作用下，截面II-II頂板和底板上剪力滯系數(shù)的變化規(guī)律與截面I-I相同，前者剪力滯效應較后者明顯。分析結(jié)果表明，寬跨比是箱梁模型中剪力滯效應分析的主要影響因素，寬跨比越大，剪力滯效應越明顯。

將上述三跨變截面連續(xù)箱梁剪力滯效應的參數(shù)敏感性分析結(jié)果與文獻[17]中等截面鋼?混簡支箱梁剪力滯效應的參數(shù)敏感性分析結(jié)果進行對比。對比結(jié)果表明，影響箱梁剪力滯效應的主要因素為寬跨比和翼寬比，且荷載類型對箱梁剪力滯效應有一定的影響；同時，變截面連續(xù)箱梁中腹板傾角的變化對剪力滯效應變化程度的影響較等截面簡支箱梁明顯。

(a) 集中荷載；(b) 均布荷載

(a) 集中荷載；(b) 均布荷載

6 結(jié)論

1) 基于選定的二次拋物線剪力滯翹曲位移函數(shù)，提出了分析變截面連續(xù)箱梁剪力滯效應的三節(jié)點板元梁段法，并利用最小勢能原理推導出相應的等參有限元行列式。算例模型的數(shù)值結(jié)果與實測值吻合良好，且利用較少單元就可以獲得滿意的剪力滯效應分析結(jié)果。

2) 集中荷載和均布荷載2種工況下，變截面連續(xù)箱梁剪力滯效應的敏感性分析結(jié)果表明：影響變截面箱梁剪力滯效應的主要因素依次為寬跨比、翼寬比及腹板傾角，而荷載類型對箱梁剪力滯效應也有一定的影響。

3) 隨著寬跨比的增大，剪力滯效應逐漸增大且變化趨勢逐漸明顯；隨著翼寬比的增加，剪力滯效應雖然逐漸增大但變化趨勢逐漸減弱；相反，隨著腹板傾角的增大，剪力滯效應逐漸減小，且腹板傾角變化對變截面箱梁剪力滯效應變化程度的影響較等截面箱梁明顯。

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Board beam segment method for calculating shear lag of thin-walled box girder with variable section

LI Linan1, 2, GENG Wenbin1, LIU Xijun1, 2, ZHANG Qing1, ZHOU Cong1

(1. Mechanical Engineering of Tianjin University, Tianjin 300350, China; 2. Tianjin Key Laboratory of Modern Engineering Mechanics, Tianjin 300350, China)

In order to calculate shear lag effect of Thin-walled box girder with variable section and analyse parametric sensitivity, this paper presents a three nodes board beam segment method considering shear lag effect. Based on the relation among strain, displacement and deformation in box girder section, and regarding shape functions as interpolation functions of variable height within element, the determinant of isoparametric finite element corresponding to beam segment method had been established by using the minimum potential energy principle. Computing a model by using the complied finite element program, whose theoretical results agree well with experimental value and the finite element results, it verified the correctness and reliability of the theoretical method and deduced formulas; Finally, the parametric sensitivity analysis about some common influence factors was also launched under concentrated and uniform load, when analyzing shear lag of thin-walled box girder with variable cross section. The results show that the flange width ratio, width span ratio and inclination of webs are the main factors that influence the shear lag of box girder with variable section. The accuracy and efficiency of the method given in the paper can provide certain reference value for the shear lag effect of box girder with variable section.

variable section; thin-walled box girder; shear lag effect; parametric sensitivity; isoparametric finite element

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.02.017

U448.21

A

1672 ? 7029(2019)02 ? 0408 ? 11

2018?03?08

國家自然科學基金資助項目(11572218)

李林安(1966?)，男，山西呂梁人，教授，博士，從事橋梁與結(jié)構(gòu)工程研究；E?mail：lali@tju.edu.cn

(編輯 蔣學東)