無窮網(wǎng)絡和立體空間網(wǎng)絡的求解

鐘健

摘 要：電路是整個中學階段的一個重點內容，其中的復雜電路中的無窮網(wǎng)絡和立體空間網(wǎng)絡是高考、物理競賽的常考題型，占據(jù)著重要地位。而這部分內容對很多學生來說是難點，為此文章作者總結了幾種無窮網(wǎng)絡和立體空間網(wǎng)絡求解的方法。

關鍵詞：復雜電路；無窮網(wǎng)絡電路；立體空間網(wǎng)絡電路

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 收稿日期：2018-11-10 文章編號：1674-120X（2019）01-0076-02

物理考試和物理競賽中常出現(xiàn)的無窮網(wǎng)絡及空間網(wǎng)絡類型的典型題目進行例題解說，這類題乍一眼看上去非常復雜，讓人一頭霧水，更不用說是解答了。其實往往越是復雜的題目，越是有規(guī)律可循。這些類型的題目也不例外，下面主要通過例題來揭示它們的規(guī)律。

一、梯形無窮網(wǎng)絡

（一）半無窮梯形網(wǎng)絡電阻

半無窮網(wǎng)絡就是一端封閉，另一端無限延伸的電路。對于這種網(wǎng)絡，可以利用其具有無窮和電阻排列規(guī)律性的特點，當整個電路中少一級網(wǎng)絡或多一級網(wǎng)絡，對整個網(wǎng)絡的總電阻沒有影響。也就是說，當無窮梯形網(wǎng)絡是由無限多級具有相同連接規(guī)律的電阻構成的時，整個網(wǎng)絡的等效電阻為一個固定的值。這種方法也叫做極限法。

例1：如圖1所示電路稱為半無窮梯形網(wǎng)絡，求等效電阻Rab。

解析：由于該電路為無窮網(wǎng)絡，因此a、b間的等效總電阻與去掉一級網(wǎng)絡格子后的電阻應相等，即Rab=Rab……①

又a、b間的電阻等于R2與Ra'b'并聯(lián)后再與R1、R3串聯(lián)，即 …… ②

聯(lián)立①②兩式，化簡得：

R2ab-（R1+R3）Rab-（R1R2+R2R3）=0，這是一個關于Rab的一元二次方程，故：

由于Rab必須大于零，所以上式根號必須取正號，因此

半無窮梯形電路按結構形式可以稱此類電路為開端形半無窮梯形網(wǎng)絡，即ab端沒有閉合。既然有開端形，就應該閉端形，如圖2所示的電路就是閉端形半無窮梯形網(wǎng)絡。求其等效電阻的方法與解開端性網(wǎng)絡的思路一樣，同樣也是采用極限法。

（二）缺口形無窮梯形網(wǎng)絡

例2：如圖3所示兩端無窮電路，求中間e、f兩點間的等效電阻。

解析：對于這種中間缺口型的無窮梯形網(wǎng)絡，可以將其看成是左右兩邊各一個半無窮梯形網(wǎng)絡并聯(lián)而成，設兩個半無窮網(wǎng)絡的電阻為R，則有Ref= R，而R就是例題1中計算出來的Rab，故：

……①

若開口處不在中間，而是在底邊，如圖4所示，同樣可以將其看成是兩個半無窮網(wǎng)絡與另一個電阻R1串聯(lián)而成的，這個半無窮網(wǎng)絡的等效電阻可采用例題1的解法——極限法求出，具體的計算過程交給讀者。計算的結果為：

3.完整型無窮梯形網(wǎng)絡

例3：如圖5所示，這種電路稱為完整形無窮梯形網(wǎng)絡，試求i、j之間的等效電阻Rij。

解析：求i、j之間的電阻Rij有多種不同的方法。

方法一：對電路進行分割，將電阻R2與整個網(wǎng)絡電阻電路分開，就可以把這種完整型無窮梯形網(wǎng)絡看成是R2與中間缺口形的無窮梯形網(wǎng)絡（如例題2）并聯(lián)而成，則有：

，將例題2的結果①式代入此式可得：

。

方法二：將該電路圖從i、j點處分割，就分割成了一個開端形半無窮梯形網(wǎng)絡與一個閉端形半無窮梯形網(wǎng)絡，這兩個網(wǎng)絡的聯(lián)接方式是并聯(lián)的，通過這種方法也能求出結果。

另外，如果題目改為求此完整型無窮梯形網(wǎng)絡j、k之間的等效的電阻，又應該如何做呢？同樣，我們將電阻R3與原電路分割開，很顯然，原電路就變成了底邊缺口形無窮梯形網(wǎng)絡，故可以將原電路看成是它與R3并聯(lián)而成，則：

，

將例題2中的②代入上式得結果：

二、面型無窮網(wǎng)絡

（一）無窮正方形格子網(wǎng)絡

例4：一個無窮正方形格子網(wǎng)絡，求相鄰兩結點AB之間的等效電阻，其中每一小段電阻均為R。

解析：設電流I從A點流入后流向無窮遠處，則會有I/4的電流從A→B；其他三條支路的電流最終又從無窮遠處流回B處再流出，根據(jù)對稱性，又有I/4的電流從A→B，故AB段電流為兩個I/4的疊加，從而UAB=（I/2）R，RAB=UAB/I=R/2。

這個例題的分析中隱含了這樣一種思想：從A點（或B點）流入的電流的對稱性不會因為B點（或A點）有電流流出而遭到破壞，由基爾霍夫方程組也可以得出這種思想，在這里不做證明。

（二）無窮正六邊形網(wǎng)絡

例5：如圖6所示為一個無窮正六邊形網(wǎng)絡，其中每個正六邊形的邊的電阻都為R。求①結點AB間的電阻。②若有電流I從A流入G點流出，那么DE段的電流多大？

解析：① 假設有一電流I由A點流進，從B點流出，那么流過AC段的電流是I/3，電流從C點又分流，有I/6的電流流經(jīng)CB段；其他電流又從無窮遠處流回B點，根據(jù)對稱性，則AC段有電流I/3，CB段有電流I/6，電流疊加后，即AC段流過的總電流為2I/3，CB段流過的總電流是I/3，則有。

解得RAB=R …… ②

同理可知，從A點直接流到DE段的電流為I/12，根據(jù)對稱性，從無窮遠處流經(jīng)DE段的電流也是I/12，故DE段的電流為此兩個電流的疊加，即I/6。

三、立體空間網(wǎng)絡

對于立體空間網(wǎng)絡，它的著眼點也跟面型無窮網(wǎng)絡一樣，根據(jù)其對稱性解答。

例6：如圖7，由12段阻值均為1歐的導體棒焊接成的正方體框，試求該正方體兩對角頂點月AA'間阻值。

解析： 設想AA'間加電壓，電流從A點分別到B、D、C'，再分別到的路徑完全相同，因為各邊阻值相等，所以B、D、C'三點是等電勢點，同理得B'、D'、C三點也是等電勢點，可分別等效為同一點B和點B'作等效電路圖，如圖8所示，用R表示各段電阻，這樣就能很容易地求出。

這個題是根據(jù)電勢的對稱性，將電勢相等的點連在一起，從而簡化電路，得出結果。

例7：有三個相同的金屬圈兩兩相交地連成如圖9所示的形狀，若每一個金屬圈的原長電阻為R，試求圖中A、B兩點之間的等效電阻。

解析：從金屬圈的正上方往下看，電路圖可簡化成如圖10所示電路，由于上下半球及圖10都具有對稱性，故電路可進一步簡化如圖11所示電路，設R=4r，則電阻阻值如圖所示。

將電路化成常見電路形式，如圖12，該圖中每個電阻的阻值均為r，故得，即。

電阻網(wǎng)絡的等效電阻，是電路理論的基本研究課題，本文通過典例例證，將電阻網(wǎng)絡電阻求法總結為三種類型。

參考文獻：

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