剖析三角知識中的學(xué)習(xí)誤區(qū)

■山東省東明縣第一中學(xué) 王素京

三角函數(shù)、三角變換和解三角形,注重數(shù)學(xué)知識間的交叉、滲透,解法靈活多變,突出對思維的靈活性和嚴密性的考查,解題時稍有不慎,便會出現(xiàn)增解、漏解,甚至錯解的情況。本文歸納剖析常見的典型易錯題,并對思維誤區(qū)進行警示,防止類似錯誤再次發(fā)生。

誤區(qū)1——圖像變換或求解析式時忽略整體變量

例1 (2018屆遼寧大連期末)已知函數(shù)現(xiàn)將y=f(x)的圖像向左平移個單位,再將所得圖像上各點的橫坐標縮短為原來的倍,縱坐標不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖像,則g(x)在上的值域為( )。

A.[-1,2] B.[0,1]

C.[0,2] D.[-1,0]

錯解：B或C或D。

剖析：整體變量下進行圖像變換時求錯y=g(x),利用正弦的有界性求值域時忽略角的范圍。通過變換,所以所以,所以2。故選A。

警示：三角函數(shù)的平移、伸縮變換及有界性求值域,凸顯整體變量觀念的具體應(yīng)用,特別注意平移的量為

誤區(qū)2——忽視三角形中最大角或最小角的范圍

例2 在不等邊△ABC中,a為最大邊,如果a2＜b2+c2,求A的取值范圍。

錯解：因為a2＜b2+c2,所以b2+c2-a2＞0,則。又cosA在(0,π)上為減函數(shù)且,所以又因為A為△ABC的內(nèi)角,所以

剖析：已知條件弱用,題設(shè)中a為最大邊,而錯解中只把a看作是三角形中的普通一條邊,造成解題錯誤。由上面的解法,可得又因為a為最大邊,所以因此得A的取值范圍是

警示：在三角形中,利用反證法可得其最大角范圍為,最小角范圍為

誤區(qū)3——三角形中忽視“大邊對大角、大角對大邊”的制約

例3 (2018屆河北張家口期末)已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若,則a=_______。

錯解：因為由正弦定理知,即代入有,結(jié)合題設(shè)有

剖析：本題忽視了c＞b,漏掉一解。因為c＞b,由以上解法可得所以或。若則A=若,則A=為等腰三角形,可得a=1。綜上可得a=1或a=2。

警示：在△ABC中,抓住a＞b?A＞B?sin

A＞sinB的理解和應(yīng)用,可以幫助我們縮小角的范圍,正確地進行取舍。

誤區(qū)4——△ABC中忽略A+B+C=π的隱含條件

例4 在△ABC中,已知,求cosC的值。

錯解：在△ABC中,因為,所以

剖析：錯解中忽視了“A+B+C=π”這一隱含條件。在△ABC中,因為所以且B為銳角。因為所以

又因為A+B+C=π,所以所以

警示：對于三角形中求角的問題,應(yīng)把握其隱含條件(如內(nèi)角和,大邊對大角等)和函數(shù)值對角的限制,盡量縮小角的范圍(越小越好),只有這樣才可以避免多解和漏解。

誤區(qū)5——忽視題設(shè)條件對角的制約關(guān)系

例5 在△ABC中,3 sinA+4 cosB=6,3 cos

A+4 sinB=1,則∠C的大小為( )。

錯解：由平方相加得,所以,所以

剖析：錯解忽略等式對的限制,即隱含條件

警示：三角形中的題設(shè)條件中常常隱含角與角之間的制約關(guān)系,這就需要我們充分挖掘和應(yīng)用,如本題條件比較隱蔽,不易發(fā)現(xiàn),忽略后常常會有多解。