相容拉格朗日-歐拉法求解黏性流體中彈性圓柱殼的振動(dòng)

郝亞娟， 郭茜茜， 陳佳慧

(燕山大學(xué) 理學(xué)院， 河北 秦皇島 066004)

近年來(lái)，在海洋資源開(kāi)發(fā)利用等方面的需求驅(qū)動(dòng)下，許多科研人員著眼于研究水下生物的運(yùn)動(dòng)機(jī)理，指導(dǎo)水下機(jī)器人[1]的研究，所以仿生學(xué)[2]的研究具有了廣闊的應(yīng)用前景和巨大潛在價(jià)值，涉及到流體力學(xué)、機(jī)械、材料、控制、生物等學(xué)科。

根據(jù)Lighthill[3]對(duì)水中生物運(yùn)動(dòng)方式的分類(lèi)，波狀擺動(dòng)推進(jìn)是其中的一種，該推進(jìn)方式生物身體做橫向扭曲、往復(fù)擺動(dòng)，以橫波的方式由前向后或逆向傳播。早在20世紀(jì)50年代，Taylor[4]采用“靜態(tài)流體理論”分析計(jì)算微生物運(yùn)動(dòng)的流體力，該方法忽略慣性力影響，適用于雷諾數(shù)比較低的情況。Lighthill[5]提出一種應(yīng)用于變形體的“細(xì)長(zhǎng)體理論”，該理論指出細(xì)長(zhǎng)魚(yú)類(lèi)獲得較高推進(jìn)效率的條件。隨后Wu[6]首先提出了“二維波動(dòng)板理論”，該理論將魚(yú)體看作一塊彈性薄板，分析了二維柔性波動(dòng)板的游動(dòng)過(guò)程。Chopra等[7]又將“二維波動(dòng)板理論”進(jìn)行了擴(kuò)展，提出了可用于大擺幅推進(jìn)系統(tǒng)的理論。Triantafyllou[8]通過(guò)觀測(cè)證實(shí)了二維和三維波動(dòng)板理論的真實(shí)性。Tian等[9]用不可壓縮的納維-斯托克斯方程數(shù)值解來(lái)了解行波表面推進(jìn)機(jī)制，用靈活的箔來(lái)模擬行波運(yùn)動(dòng)游泳體模型，分析向前推進(jìn)速度和流場(chǎng)。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)相關(guān)理論開(kāi)展廣泛的研究，取得了一些成果，但仍存在不足之處，對(duì)水中生物的推進(jìn)機(jī)理還需進(jìn)一步深入研究。本文嘗試將水中生物看作彈性圓柱殼體，假設(shè)圓柱殼長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于半徑，將其近似為無(wú)限長(zhǎng)。另外假設(shè)速度很小，雷諾數(shù)Re<0.1，屬于低雷諾數(shù)流動(dòng)，采用斯托克斯方程近似，這樣運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題和動(dòng)力學(xué)問(wèn)題相互獨(dú)立，因此速度與流體的黏性無(wú)關(guān)[10]。采用相容拉格朗日-歐拉法[11]求解無(wú)限長(zhǎng)圓柱殼位于黏性流體中，當(dāng)殼體表面發(fā)生行波振動(dòng)，黏性流體的運(yùn)動(dòng)速度以及殼體的推進(jìn)速度。相容拉格朗日-歐拉法的優(yōu)勢(shì)在于，殼體采用拉格朗日法描述，流體采用歐拉法描述，在接觸面結(jié)合這兩種方法，這樣可直接利用流體力學(xué)和固體力學(xué)中的基本方程。相容拉格朗日-歐拉法求解彈性體理想流體繞流問(wèn)題顯示了方法的有效性[12-13]，本文嘗試采用該方法研究黏性流體問(wèn)題。

1 基本方程

對(duì)于不可滲透表面，應(yīng)用黏性流體分子對(duì)表面的黏附條件和壓力矢量平衡條件，可以將表面接觸條件簡(jiǎn)化。“相容”黏附條件簡(jiǎn)化為

(1)

式中：u是彈性體固定點(diǎn)的位移矢量;V為與變形后彈性體重合的流體空間點(diǎn)處的速度矢量;t為時(shí)間。

在圓柱坐標(biāo)系(r,θ,z)中，變形后空間點(diǎn)處沿單位矢量kl(l=r,θ,z)方向的速度矢量分量近似值Vl(l=r,θ,z)用變形前空間點(diǎn)處速度矢量和位移矢量沿坐標(biāo)軸方向的分量vl和ul(l=r,θ,z)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式近似表示

(2)

由于殼的位移分量太小，故泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式的第三項(xiàng)不予考慮。

由式(1)得接觸面的運(yùn)動(dòng)條件為

(3)

Vz、Vθ和Vr的值可由式(2)計(jì)算得到。

對(duì)于不可壓縮黏性流體的納維-斯托克斯方程，在圓柱坐標(biāo)系中形式如下[14]

(4)

其中

式中：μ表示流體動(dòng)力黏性系數(shù)；ρ表示黏性流體質(zhì)量密度，p為單位質(zhì)量流體壓力；Fr、Fθ和Fz表示單位質(zhì)量的質(zhì)量力在三個(gè)坐標(biāo)軸的投影。

假設(shè)流體速度很小，雷諾數(shù)Re< 0.1，式(4)左邊的慣性力同式(4)右邊的第三項(xiàng)黏性力相比可以忽略，而且運(yùn)動(dòng)是定常的，質(zhì)量力可以略去，則與θ無(wú)關(guān)的二維流體運(yùn)動(dòng)的納維-斯托克方程簡(jiǎn)化為斯托克斯方程[15]

(5)

其中

相應(yīng)的連續(xù)方程為

(6)

2 問(wèn)題的解

圓柱殼體表面行波振動(dòng)形式如下

(7)

式中：α=2π/λ，ω=cα，λ和c為波的長(zhǎng)度及速度，Zn和Rn為振幅。

引入流函數(shù)ψ滿足

rvz=?ψ/?r，rvr=-?ψ/?z

(8)

式(8)滿足連續(xù)方程式(6)。

由式(2)、式(3)和式(8)，接觸面運(yùn)動(dòng)方程式(3)可以寫(xiě)成如下形式

(9)

(10)

式(5)中消去壓力p得到如下方程

(11)

方程式(11)具有如下形式的解

BnrK1(nαr)]sinn(αz-ωt)

(12)

該解滿足條件

vz=V0(r→∞)

式中：V0是與時(shí)間無(wú)關(guān)、相對(duì)于不動(dòng)坐標(biāo)系無(wú)窮遠(yuǎn)處流體的運(yùn)動(dòng)速度，由給定問(wèn)題及系數(shù)An和Bn同時(shí)確定，K0(x)，K1(x)是麥克唐納函數(shù)[16]。也就是說(shuō)，相對(duì)于無(wú)窮遠(yuǎn)處不動(dòng)的流體而言，殼的推進(jìn)速度等于-V0。

將式(7)和式(12)代入式(9)和式(10)，并利用如下關(guān)系式[16]

(13)

可得

(14)

(15)

(16)

由式(14)和式(15)得

(17)

(18)

由式(16) 、式(17)和式(18)可得

(19)

(20)

其中

(21)

由式(16)、式(19)和式(20)得速度V0

(22)

流體的速度vz和vr分別為

(23)

(24)

當(dāng)nαR為大值時(shí)，利用函數(shù)漸進(jìn)值

由式(22)，令圓柱殼的半徑R→∞，可以得到薄板振動(dòng)時(shí)的無(wú)窮遠(yuǎn)處流體速度V0為

(25)

3 結(jié)果分析

經(jīng)編程分析可知，N取值不同，速度的具體數(shù)值不同，但變化規(guī)律一致，振幅和頻率對(duì)于速度的影響是顯著的，隨著振幅和頻率的增加，速度增加，而波長(zhǎng)的變化對(duì)速度的增加幾乎沒(méi)有影響，該結(jié)果與文獻(xiàn)[11]一致。以下取N=1計(jì)算。

圖1 隨R增大圓柱殼與薄板值比較

對(duì)于彈性薄板，取N=1，表1給出了Z1和R1不同取值時(shí)V0/c的數(shù)值。從表1可以知道，純橫向振動(dòng)(Z1=0，R1≠0)時(shí)無(wú)窮遠(yuǎn)處流體的運(yùn)動(dòng)速度與波的方向相同，而純縱向振動(dòng)(Z1≠0，R1=0)時(shí)二者方向相反，即純橫向振動(dòng)時(shí)薄板的位移和波的方向相反，純縱向振動(dòng)時(shí)二者方向相同。若兩種振動(dòng)均有，由式(25)可知，當(dāng)R1的數(shù)值位于-2.4Z1與0.4Z1之間時(shí)，無(wú)窮遠(yuǎn)處流體的運(yùn)動(dòng)速度與波的方向相反，否則方向相同。

表1 對(duì)于薄板Z1和R1不同取值時(shí)的V0/c數(shù)值

表2 r=1.5R處和的最大值

4 結(jié) 論

(1) 接觸面條件中變形后的速度分量用變形前分量的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式近似表示，簡(jiǎn)單明了，適用性強(qiáng)；

表3 不同位置處的最大值

(2) 橫向振動(dòng)對(duì)于黏性流體速度的影響是主要因素，縱向振動(dòng)對(duì)結(jié)果影響很??；

(3) 圓柱殼表面做純縱向振動(dòng)時(shí)，與時(shí)間無(wú)關(guān)的無(wú)窮遠(yuǎn)處流體的運(yùn)動(dòng)速度與圓柱殼半徑無(wú)關(guān)；

(4) 彈性圓柱殼半徑較大(薄板)做純橫向振動(dòng)時(shí)殼的位移方向與波的方向相反，純縱向振動(dòng)時(shí)二者方向相同，兩種形式的振動(dòng)均有，則方向可能相同，也可能相反。