關(guān)于圖乘法的一種特殊情況

趙盛琳

摘 要：本文討論了用圖乘法計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的一種特殊情況，有一個(gè)彎矩圖是反對(duì)稱，另一個(gè)彎矩圖是線性圖線的時(shí)候，計(jì)算中容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，從公式推導(dǎo)指出正確的處理方法。

關(guān)鍵詞：圖乘法; 形心坐標(biāo); 計(jì)算公式

中圖分類號(hào)：？U442? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ?文章編號(hào)：1006-3315（2019）12-141-001

在材料力學(xué)或者結(jié)構(gòu)力學(xué)一般用能量法來計(jì)算結(jié)構(gòu)位移，使用比較多的是單位載荷法，在滿足一些特殊條件下（軸線為直線，等截面梁或者剛架而且抗彎剛度為常量，兩個(gè)彎矩圖中至少有一個(gè)為線性函數(shù)），計(jì)算莫爾積分可以用圖乘法，在大部分有圖乘法介紹的教材里，圖乘法公式的推導(dǎo)所用的示意圖都是所考慮的區(qū)間里有一個(gè)彎矩圖是全部在軸線一側(cè)的一條曲線，另一個(gè)彎矩圖是線性圖線，推導(dǎo)過程中用到了平面圖形的形心坐標(biāo)計(jì)算公式，而且計(jì)算結(jié)果有正負(fù)號(hào)的問題，兩個(gè)彎矩圖在軸線同側(cè)的時(shí)候，結(jié)果取正值，兩個(gè)彎矩圖在軸線異側(cè)的時(shí)候，結(jié)果取負(fù)值。因此圖乘法給人的感覺就是計(jì)算中彎矩圖面積是帶正負(fù)號(hào)的。然而在遇到以下情況的時(shí)候很容易犯錯(cuò)。

有的時(shí)候我們會(huì)遇到有一個(gè)彎矩圖在考慮的區(qū)間內(nèi)是反對(duì)稱的，而另一個(gè)彎矩圖是線性圖線，教材里沒有硬性規(guī)定彎矩圖必須在軸線同側(cè)才能用圖乘法，只要滿足使用圖乘法的三個(gè)條件（軸線為直線，等截面梁或者剛架而且抗彎剛度為常量，M（x）及[M]（x）中至少有一個(gè)為關(guān)于x的線性函數(shù)），就算M（x）有正有負(fù)（即彎矩圖分布在軸線兩側(cè)），圖乘法的公式依然能用。

圖乘法計(jì)算積分的公式[l]M（x）[M]（x）dx=[ω][M]c，其中[ω]代表M（x）圖的面積，[Mc]是[M]（x）圖中與M（x）圖的形心對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)。

當(dāng)M（x）圖反對(duì)稱，則其圖形的形心顯然在軸線中點(diǎn)處，但彎矩圖面積[ω]因?yàn)榭紤]反對(duì)稱圖形的正負(fù)號(hào)，加起來為零，所以不管[M]c是多少，最后結(jié)果就是零，但這顯然是錯(cuò)誤的。

由平面圖形形心坐標(biāo)計(jì)算公式Xc=[AxdAA]，可得[AxdA]=A·xc，也就是材料力學(xué)平面圖形的性質(zhì)里的靜矩，在這公式里，坐標(biāo)x和xc都是代數(shù)量，可正可負(fù)可零，而面積A或者面積微元dA都取大小，即取絕對(duì)值。因此圖乘法計(jì)算公式用到平面圖形形心坐標(biāo)計(jì)算公式，公式里所寫的平面圖形面積應(yīng)采用絕對(duì)值來計(jì)算，而不是自帶正負(fù)號(hào)。

當(dāng)然，圖乘法最后結(jié)果是帶正負(fù)號(hào)的，實(shí)際上計(jì)算結(jié)果的大小可以用整個(gè)區(qū)間的彎矩圖M（x）（非線性的兩塊反對(duì)稱的圖形總面積）乘上線性彎矩圖[M]（x）橫坐標(biāo)中點(diǎn)的縱坐標(biāo)[M]（[12]），結(jié)果的正負(fù)號(hào)分兩段來看比較清楚，由于M（x）反對(duì)稱，關(guān)于軸線兩側(cè)的圖形形心坐標(biāo)位置對(duì)稱，[M]（x）以軸線中點(diǎn)分成兩部分，絕對(duì)值大的一側(cè)決定最后結(jié)果，若[M]（x）此圖線與M（x）同側(cè)結(jié)果取正值，異側(cè)則結(jié)果取負(fù)值。

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