分類討論思想在數(shù)學解題中的有效應用

王鵬飛

(重慶市鳳鳴山中學 400036)

一直以來，分類討論都是一種非常關鍵的數(shù)學思想，而且，學生在高中數(shù)學的學習中，常常會遇到各種各樣的分類問題，比如：數(shù)的分類，平面圖形的分類，立體圖形的分類等等.并且，很多時候，學生都需要通過分類討論來解決數(shù)學問題.這就表明，分類討論的思想在高中數(shù)學的解題中占據(jù)著至關重要的地位，教師必須注重分類討論的思想的滲透和講解.而分類討論，實際上，指的就是，分別歸類，然后，再進行討論.分類的過程從本質上來說，就是對事物共性的抽象過程.因此，教師必須引導學生掌握分類、確定分類的標準、認識和區(qū)分不同事物的不同屬性的方法.而且，分類討論的思想，實現(xiàn)了歸類整理的思想，它能夠揭示數(shù)學知識之間的內(nèi)在規(guī)侓.所以，學生如果掌握了分類討論的能力，相應地，也就會掌握總結歸納數(shù)學知識的能力.這是對學生思維概括性的提升，也是對學生數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng).本文結合筆者的實踐經(jīng)驗，對于分類討論思想在數(shù)學解題中的有效應用進行了以下幾點探討：

一、設置分類的標準

要想使用分類討論的思想解決數(shù)學問題，首先，就要滿足兩個條件，一個是要能夠深刻地了解和掌握分類討論思想的概念，也就是說，教師要讓學生認識到：分類討論的思想僅僅能夠在一些分解的題目中應用，并不是所有的數(shù)學練習題目都可以應用分類的思路的.另一個是，要詳細且嚴密地研究數(shù)學題目的結構和應用條件.首先，教師要帶領學生研究數(shù)學題目的數(shù)據(jù)和運算條件.其次，要注意討論的方向不能超過分類的界限.最后，教師要為學生統(tǒng)一好分類討論的標準，從而避免出現(xiàn)討論層次亂套的問題出現(xiàn)，摒棄錯誤計算發(fā)生的概率.同時，很多的運算步驟和數(shù)學題目都是需要數(shù)學公式的正確運用才能夠得出正確的答案.所以，教師要引導學生將數(shù)學公式進行分類，從而提升掌握應用數(shù)學公式解決數(shù)學問題的能力和效率.

比如：在講解有關數(shù)列的知識時，筆者就為學生提供了這樣一道練習題：已知數(shù)列{an}的前n項和是Sn=21n-n2，那么，它的通項公式an是什么？在這道題目中，需要分類討論的就是n的情況和條件.并且，學生只有能夠分析出n=1和n≥2,n∈N*這兩者情況，學生才能夠完整地做出這道題目，也就是說，學生必須要掌握單獨解決特殊的個體屬性的能力.同時，這也設置分類的標準的重要過程.學生只有掌握了這種規(guī)律，才能夠分段表述an.可見，設置分類的標準，掌握分類的思想，在解答數(shù)學題目時，是非常關鍵的.只有學生具備了分類的思想，學生才能夠全面地解決一道數(shù)學題，而學生的解題效率才會不斷提高.

二、確認分類的形式

在解答數(shù)學題目的過程中，在確認好數(shù)學題目所需要的定理和公式之后，教師就要引導學生具體分析和研究數(shù)學題目的內(nèi)容，以此確立分類的形式.并且，分類討論思想在綜合性的數(shù)學大題中的應用概率非常高，而數(shù)學大題常常會被分解成不同的問題，這時候，就需要學生的自身的解題經(jīng)驗.同時，教師要帶領學生細讀題目，使學生能夠找出綜合性題目中隱藏的不同定理的應用的可能性.而且，教師要幫助學生樹立自信心，使學生能夠相信自己的邏輯能力和思考能力，并在此基礎上進行分類.此外，教師要為學生提供分類的經(jīng)驗，讓學生能夠不被數(shù)學題目中的未知量的數(shù)量干擾.

比如有這樣一道題目：若是不等式mx2+mx+2>0對一切實數(shù)x恒成立，那么，實數(shù)m的取值范圍是什么？這道題目，實際上就是對函數(shù)的相關知識的考查，在確定分類標準的過程中，要想解決這道題，就要對m進行分類討論.但是，很多學生只要看到“二次”出現(xiàn)，就會認為這是一個關于二次函數(shù)或者二次方程的問題，這是由學生的定式思維所引發(fā)的，因此，為了強化學生的解題能力，筆者就會引導學生確認問題的形式，讓學生深入分析問題，從而明確這是關于準二次不等式的問題.學生經(jīng)過這樣的分析之后，就能夠明確，必須要用分類的思想，才能夠解答這個的問題.可見，確認分類的形式，對于提高學生的解題能力來說，是非常重要的.

三、加深討論的深度

為了突出分類討論思想在解答數(shù)學問題中的優(yōu)勢，教師就要采取小組合作教學的模式，組織實踐和討論課堂，從而盡量減少學生在分類過程中會出現(xiàn)的誤區(qū).并且，團隊的力量是非常強大的.一個人不管怎么認真，如果碰到大量的數(shù)學問題，出現(xiàn)錯誤的概率也會不斷上升.因此，教師就要將學生分成不同的討論小組，從而使學生在團體活動中養(yǎng)成良好的分類討論的習慣.同時，教師要發(fā)揮自身的引導作用，為學生規(guī)定練習題目，讓學生以小組為單位分別進行解題練習.在小組合作討論的形式中，不僅能夠使每個人都表達出自己的想法，還能夠提高學生的應用經(jīng)驗.此外，教師要為學生規(guī)定討論的時間，讓學生在限定的時間內(nèi)，完成數(shù)學問題的解答.只有在這樣的形式下，學生的學習效率和效果才會不斷提高.

比如在講解有關二次函數(shù)的最值問題時，筆者為學生提供了這樣一個題目：設A點的坐標是(b,0)，b∈R，求曲線y2=2x上的點到點A距離的最小值c.并且，筆者將學生分成了不同的小組，從而讓學生深入討論這個問題.學生在討論的過程中，就能夠明白要想求出正確的答案，就必須將b進行分類.同時，大部分小組得出了正確的答案.可見，加深學生之間的討論，不僅能夠強化學生對于數(shù)學知識的理解，還能夠增強學生解答數(shù)學問題的能力.

總之，教師在數(shù)學教學過程中，一定要注重分類討論的思想的作用，并且，從學生的興趣和數(shù)學能力出發(fā)，為學生提供高效的數(shù)學題目，鍛煉學生利用分類討論的思想解答數(shù)學問題的能力.