用“圖形變式”有效破解“圖形誤導(dǎo)”

葉端權(quán)

【摘要】幾何學(xué)是一門研究幾何圖形的學(xué)科，能正確“讀圖”既是學(xué)生的一項(xiàng)基本功，也是學(xué)生解決幾何問題的重要一環(huán)，但在做練習(xí)時(shí)，一些學(xué)生讀圖往往過于直觀，沒有洞察到圖形的本質(zhì)，從而容易被圖形所誤導(dǎo)。本文主要以一道證明題為例，談?wù)勗诮虒W(xué)中，教師應(yīng)如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)破解圖形誤導(dǎo)的方法。

【關(guān)鍵詞】證明題;圖形誤導(dǎo);圖形變式

題目是一份試卷的第18題，原題是這樣的：18.已知，如圖，AB是⊙O的直徑，CB⊥BA，連結(jié)AC交⊙O于D，DE切⊙O于D，交BC于E，求證：BE=EC。

題目很短，也很清晰，理解起來應(yīng)該不難，拿到題目，筆者的想法是這樣的：

想法一：DE是⊙O的切線，很自然想到作輔助線：連結(jié)OD（如圖1），此時(shí)四邊形BODE很像正方形，如果能證明這一點(diǎn)，那么，由正方形對(duì)角線平分一組對(duì)角容易得出∠EBD=∠EDB=450，而AB是⊙O的直徑，那么∠BDC也是直角，則△BDC是一個(gè)等腰直角三角形，且∠CDE=∠EDB=450，由等腰三角形“三線合一”之性質(zhì)，馬上可以得出要證的結(jié)論?，F(xiàn)在剩下的問題是如何證明四邊形BODE是正方形，由題不難得出這個(gè)四邊形有一組鄰邊相等：OB=OD，有兩個(gè)角是直角∠CBA=∠ODE=900，但要證明四邊形BODE是正方形還缺一個(gè)條件，如果能再找多一個(gè)角是直角，那問題就全部解決，可是如何找呢？

想法二：D點(diǎn)會(huì)是線段AC的中點(diǎn)嗎？如果是，BD就成了Rt△ABC斜邊上的中線，那么BD=CD=AD，進(jìn)而容易得出△CDE，△EDB.△OBD，△OAD等都是等腰直角三角形，這樣BE=ED=CE，問題也好解決，可是如何能證明D是AC中點(diǎn)呢？

兩種想法都走進(jìn)了死胡同，反思兩種想法，有一個(gè)共同點(diǎn)：“看圖形四邊形BODE很像正方形”或“D像AC的中點(diǎn)”，下面的論證都是由這兩個(gè)結(jié)論成立出發(fā)來做的，可是就偏偏是這兩個(gè)出發(fā)點(diǎn)本身就已經(jīng)有了問題，所以當(dāng)然不可能證明出來?？梢哉f，這兩種想法都是被圖形“誤導(dǎo)—了。

四邊形BODE很像正方形，可它真是正方形嗎？D像AC的中點(diǎn)，可它真是AC中點(diǎn)嗎？我們不妨通過“圖形變式”來看看：事實(shí)上，題中只要求CB⊥BA.卻沒有要求CB有多長，既然題中沒有這個(gè)要求，那么，如果CB長一點(diǎn)，對(duì)結(jié)論“BE=EC”應(yīng)該沒有影響。我們想像一下，如果把CB變長一點(diǎn)（如圖2），這時(shí)，顯然四邊形BODE就不再像正方形，D也不再像AC中點(diǎn)，兩種想法出發(fā)點(diǎn)已經(jīng)錯(cuò)了，當(dāng)然不可能證明出來。

那應(yīng)該如何證明呢，通過圖形變式，要證明BE=EC，因?yàn)镃B⊥⊙O的直徑AB，所以其實(shí)CB也是⊙O的切線，由切線長定理容易得出BE=DE，如果能證明CE也等于DE，那問題就解決了，因?yàn)镃E、DE在同一個(gè)三角形△CDE內(nèi)，自然優(yōu)先想能否通過“等角對(duì)等邊”來證明，即要證明∠C=∠1，因?yàn)椤?+∠2=900，由DE是⊙O的切線知∠2+∠3=900，也就是說∠1=∠3，如果能證∠3=∠C，那問題就解決了，顯然這兩個(gè)角不在同一個(gè)三角形內(nèi)，也不在兩個(gè)看上去全等的三角形內(nèi)，所以一下了還不能直接得出。再觀察圖形，由OB=OD，容易得出∠3=∠4，那是否有∠4=∠C呢？由△ABD和△ABC這兩個(gè)直角三角形可以得出，∠4和∠C同是∠A的余角，應(yīng)相等，于是思路就全線貫通了。

其分析圖如下：

反思這個(gè)題目的解題過程，讀圖時(shí)被圖形所誤導(dǎo)成了學(xué)生思路進(jìn)入死胡同的主要原因，而利用“圖形變式”來破解“圖形誤導(dǎo)”成了解題的關(guān)鍵。作為教師，我們應(yīng)如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)破解“圖形誤導(dǎo)”的方法呢？

1.讀圖討于盲觀，沒有洞察到圖形的本質(zhì)屬性，這是“圖形誤導(dǎo)”的主因

我們這里所說的“圖形誤導(dǎo)”，通俗來說，是指在沒有理據(jù)支撐的情況下，憑感覺看圖形像什么就得出的錯(cuò)誤的結(jié)論。比如上題，“四邊形BODE很像正方形”“D點(diǎn)是線段AC的中點(diǎn)”這兩個(gè)結(jié)論都是因“圖形誤導(dǎo)”而得出的錯(cuò)誤結(jié)論，這也是兩種想法最終都走進(jìn)死胡同的原因。一旦出發(fā)點(diǎn)錯(cuò)了，再往下想也是徒勞。由此可見，“圖形誤導(dǎo)”對(duì)解題來說往往是致命的。

那么為什么會(huì)出現(xiàn)“圖形誤導(dǎo)”的情況呢？這與學(xué)生讀圖時(shí)過于直觀，沒有洞察到圖形的本質(zhì)是分不開的。例如上題中，因?yàn)樗倪呅蜝ODE很像正方形，并且已經(jīng)有一組鄰邊相等：OB=OD，有兩個(gè)角是直角：∠CBA=∠ODE=900，這就更堅(jiān)定了四邊形BODE是正方形的觀點(diǎn)。但從本質(zhì)上來講，題目只要求CB⊥BA.卻沒有要求CB有多長，既然這樣，那么，如果CB長一點(diǎn)或者短一點(diǎn)，對(duì)結(jié)論“BE=EC”應(yīng)該沒有影響。那么把CB變長，整個(gè)圖形的形狀就發(fā)生了變化，原來看上去理所當(dāng)然的“四邊形BODE很像正方形”“D點(diǎn)是線段AC的中點(diǎn)”就顯然不成立了。

在讀圖時(shí)，先憑著直觀印象去思考，這本身并沒有什么問題，這也是常用的方法，但當(dāng)想法不通時(shí)，就要懂得退回來，并對(duì)圖形進(jìn)行變式思考，這一點(diǎn)顯得很有必要。

2.“圖形變式”是破解“圖形誤導(dǎo)”的有效方法，其要點(diǎn)在于“形”變“神”不變

所謂的“形”變是指圖形的形狀發(fā)生改變，而“神”不變是指其本質(zhì)（條件）不能變。還是以上題為例，題目只要求CB上BA，卻沒有要求CB有多長，所以CB長度是可以改變的，但CB⊥BA這個(gè)條件是不能改變的，所以，在進(jìn)行圖形變式時(shí)，我們可以把CB變長（或變短），這時(shí)整個(gè)圖形的形狀就發(fā)生了變化，但是它的本質(zhì)條件CB⊥BA并沒有改變，而正是因?yàn)橥ㄟ^這樣一個(gè)變形，我們?cè)僖膊粫?huì)認(rèn)為“四邊形BODE是正方形”或“D點(diǎn)是線段AC的中點(diǎn)”了，這對(duì)于我們重新思考問題，直到找到正確的解題方法來說顯得尤為重要。