從2018天津卷理科數(shù)學(xué)的數(shù)列題看裂項(xiàng)相消法的常見題型

廣東省珠海市斗門區(qū)第一中學(xué) (519100) 陳水松

1.試題解析

題目(2018年天津卷理科第18題)設(shè){an}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，{bn}是等差數(shù)列.已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6.

(Ⅰ)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn(n∈N*).

本題的第(Ⅰ)、(Ⅱ)(ⅰ)主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和的求法，求得an=2n-1，bn=n.Sn=2n-1,Tn=2n+1-n-2.

本題的(ⅱ)用到了裂項(xiàng)相消法.

與本題類似的試題有：

(1)求證：數(shù)列{an-bn}為等比數(shù)列；

2．(2018河南南陽一中考試題)已知{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，2Sn=an+n.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

解析：(1)略,求得an=n.

3．(2018衡水金卷)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有2Sn=3an+n-2成立．

評(píng)注：上述三例均是對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行裂項(xiàng)，使得中間項(xiàng)相互抵消，達(dá)到求和目的的.

2.方法總結(jié)

3.應(yīng)用舉例

例1 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n·(n+1),求(1)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Tn;(2)12+22+…+n2.

評(píng)注：在(1)中將二項(xiàng)乘積等價(jià)轉(zhuǎn)化為三項(xiàng)乘積之差，為后續(xù)的求和前后項(xiàng)相消奠定了基礎(chǔ).

解析：(1)略,求得an=2n-1.

例4 (2018天津?yàn)I海新區(qū)七校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足Sn=2an-1(n∈N*),數(shù)列{bn}滿足nbn+1-(n+1)bn=n(n+1)(n∈N*),且b1=1.

解析：(1)略,求得an=2n-1.