探究代數(shù)表示幾何量的有效策略
——以幾道圓錐曲線題為例

浙江省金華市第六中學(xué) (321000) 虞 懿

解析幾何的核心方法是用代數(shù)的方法研究圖形的幾何量(長度、角度、面積等)，核心思想是“數(shù)形結(jié)合”．本文采擷幾道典型試題，從解決解析幾何問題的核心思想方法出發(fā)，著重探究代數(shù)表示幾何量的有效策略．

一、策略舉隅

策略1以點坐標(biāo)為參數(shù)實現(xiàn)幾何量的代數(shù)表示

分析：“幾何量的代數(shù)表示”是解決解析幾何問題的關(guān)鍵，在本題中的幾何量是線段AB的長度，用什么樣的代數(shù)式來表示這個幾何量？解析幾何中描述弦長的代數(shù)量通常就是點坐標(biāo)或直線斜率或直線截距等．

評析：涉及“中點弦問題”時通常采用點差法．所謂點差法，就是在求解與圓錐曲線有關(guān)的弦的“中點問題”時用到的一種“代點作差”的解題方法，其特點是代點作差后可巧代直線斜率和中點坐標(biāo)，進而通過“設(shè)而不求”以達到減少計算量的目的．

策略2以直線斜率為參數(shù)實現(xiàn)幾何量的代數(shù)表示

評析：根據(jù)條件得出四邊形OANB為平行四邊形，然后設(shè)出直線l的方程，并代入橢圓方程中，從而利用韋達定理得到S四邊形OANB的代數(shù)表達式，通過換元再利用基本不等式求得其最值．求多邊形的面積問題，常轉(zhuǎn)化為三角形的面積后進行求解，這點應(yīng)格外重視．

策略3以直線截距為參數(shù)實現(xiàn)幾何量的代數(shù)表示

分析：設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，由判別式、韋達定理和條件OA⊥OB得出k與m的關(guān)系，再利用弦長公式及三角形面積公式就可以建立S關(guān)于m的目標(biāo)函數(shù)．

策略4借助參數(shù)方程實現(xiàn)幾何量的代數(shù)表示

圖1

(1)求直線AP斜率的取值范圍；

(2)求|PA|·|PQ|的最大值．

評析：利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，避免了繁瑣的計算，使得方程的聯(lián)立簡便易得.

策略5回歸向量知識本質(zhì)實現(xiàn)幾何量的代數(shù)表示

向量具有代數(shù)、幾何雙重身份，融數(shù)形于一體，是溝通代數(shù)和幾何的橋梁．它可以將幾何問題坐標(biāo)化、數(shù)量化，因此它是解決解析幾何問題的重要工具．

若cos∠OPM=cos∠OPN,有

綜上，點P(0,-a)符合題意．

評析：本解法另辟蹊徑，構(gòu)建平面向量，利用數(shù)量積的定義求夾角，簡潔明了．在探究解題思路時，要善于從不同的角度分析、挖掘它與其他知識的聯(lián)系，在平面解析幾何中有關(guān)長度、角度的計算及有關(guān)平行、三點共線、垂直等位置關(guān)系問題都可以用向量知識解決．

二、探究啟示

解析幾何的核心方法是用代數(shù)的方法研究幾何問題，在解題過程中，首先要將文字信息、圖形條件進行轉(zhuǎn)換，通過代數(shù)語言描述幾何要素及其關(guān)系，將已知的幾何量(條件)表示成代數(shù)式，然后進行適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)運算得出代數(shù)結(jié)果，最后通過分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義解決幾何問題，在這個過程中要經(jīng)歷文字信息、圖形特征和符號語言之間的多重轉(zhuǎn)換．因此，我們必須重視對幾何量(關(guān)系)的深入研究，探究用何種代數(shù)形式能恰當(dāng)表示題目中的幾何量(關(guān)系)，同時有利于代數(shù)運算，從而形成正確的求解策略．