高斯態(tài)的量子相干度量

王洋洋,齊霄霏

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

0 引言

(C1)C(ρ)≥0;C(ρ)=0當(dāng)且僅當(dāng)ρ∈I;

文獻(xiàn)[4]也給出了一些相干度量,例如由l1-范數(shù)、相對熵、跡范數(shù)、保真度等誘導(dǎo)的相干度量。隨后許多學(xué)者開始進(jìn)行量子相干各個(gè)方面的研究,詳見文獻(xiàn)[5-10]。近來,文獻(xiàn)[11]把相干度量理論推廣到了無限維上。

高斯態(tài)是無限維系統(tǒng)中連續(xù)變量系統(tǒng)上一類重要的量子態(tài)。對任意n-模量子態(tài)ρ,其特性函數(shù)χ(z)定義為:

χ(z)=Τr(ρW(z)),z∈R2n

進(jìn)一步,如果ρ的特性函數(shù)χ(z)可以寫成如下形式:

文獻(xiàn)[14]利用Uhlmann保真度刻畫了高斯態(tài)的量子相干性。對任意單模高斯態(tài)ρ,其量子相干性CBu(ρ)定義為:

(1)

本文的目的是試圖給出CBu的一個(gè)上、下界,從而獲得量CBu的一些性質(zhì)特征。

1 主要結(jié)果

設(shè)H是任意維Hilbert空間。對任意量子態(tài)ρ,σ∈S(H),其sub-保真度E與super-保真度G分別定義為:

(2)

(3)

易證E與G有很好的性質(zhì),譬如:

(i) 對稱性:E(ρ,σ)=E(σ,ρ),G(ρ,σ)=G(σ,ρ);

(ii) 有界性:0≤E(ρ,σ)≤1,0≤G(ρ,σ)≤1 并且G(ρ,σ)=1當(dāng)且僅當(dāng)ρ=σ;

(iii) 酉不變性:E(ρ,σ)=E(UρU+,UσU+),G(ρ,σ)=G(UρU+,UσU+)對任意酉算子U成立；

(iv)E(ρ,σ)≤F(ρ,σ)≤G(ρ,σ).

關(guān)于二者更多性質(zhì),參見文獻(xiàn)[15-17]及里面的參考文獻(xiàn)。

現(xiàn)在,利用E與G我們可以定義兩個(gè)新的相干度量。

定義1 令H是任意維復(fù)Hilbert空間.對任意量子態(tài)ρ∈S(H),定義如下兩個(gè)量:

其中I表示非相干態(tài)全體。

利用定義1、等式(1)與性質(zhì)(i)-(iv),顯然有CE(ρ)≥CBu(ρ)≥CG(ρ); 0≤CE(ρ)≤1,0≤CG(ρ)≤1;CG(ρ)=0蘊(yùn)含ρ為非相干態(tài)。

下面我們將限制在高斯態(tài)上討論CE與CG的性質(zhì),進(jìn)而獲得CBu的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。

首先給出CE與CG的計(jì)算公式。

其中Γρ,Γσ與dρ,dσ分別為ρ與σ的相關(guān)矩陣與均值向量,Δd=dρ-dσ.則由上式可得

(4)

與

(5)

此外,由文獻(xiàn)[16]有

(6)

綜合等式 (2)-(6),即得

CE(ρ)=1-

(7)

和

(8)

對于高斯純態(tài),我們有下面的命題成立。

命題1 對任意n模高斯純態(tài)|Ψ〉〈Ψ|,我們有

CE(|Ψ〉〈Ψ|)=CBu(|Ψ〉〈Ψ|)=CG(|Ψ〉〈Ψ|).

證明對任意n模高斯純態(tài)|Ψ〉〈Ψ|,由定義得

CE(|Ψ〉〈Ψ|)≥CBu(|Ψ〉〈Ψ|)≥CG(|Ψ〉〈Ψ|),故

CE(|Ψ〉〈Ψ|)=CBu(|Ψ〉〈Ψ|)=CG(|Ψ〉〈Ψ|).

對于任意單模高斯態(tài),我們有:

(9)

由于Γρ是實(shí)正定矩陣,因此存在正交矩陣U與正數(shù)x1,x2使得Γρ=Udiag(x1,x2)UT其中diag(x1,x2)表示對角線元素為x1,x2,其他元素為零的2階矩陣。再記Udρ=(d1,d2)T. 因此等式(9)可化為

證畢。

最后,給出相關(guān)矩陣是標(biāo)準(zhǔn)形式的雙模高斯態(tài)的CBu的上下界。

假設(shè)ρ是任意雙模高斯態(tài),若其相關(guān)矩陣具有如下形式:

(10)

命題3 假設(shè)ρ是雙模高斯態(tài),其均值向量為0且相關(guān)矩陣Γρ具有形如等式(10)的標(biāo)準(zhǔn)形式。下列表述成立:

(ii) 若ρ是非純態(tài),則下列不等式成立:

容易驗(yàn)證

若ρ是非純態(tài),因dρ=0,再次利用等式(7),得到

另一方面,由等式(2)即有

證畢。