數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的運(yùn)用研究

摘 要：數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)重要地位，其主要功能在于將抽象的數(shù)學(xué)問題用幾何圖形表示出來，以達(dá)到簡(jiǎn)化問題的目的，同時(shí)也可用數(shù)學(xué)問題解決復(fù)雜的幾何問題。著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微?？梢姡瑢烧叻绞浇Y(jié)合才能更有效地解決問題。本文將闡述數(shù)形結(jié)合的含義，并對(duì)數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行探討。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；幾何問題；高中數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)形結(jié)合思想可謂在數(shù)學(xué)界應(yīng)用廣泛，尤其是在高中的數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想在解方程、函數(shù)、幾何以及不等式關(guān)系問題中具有重要作用，而數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)在于“以形助數(shù)”，其目的是使問題簡(jiǎn)單化、具體化，從而能夠優(yōu)化解題步驟和途徑。而如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中合理應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，還需教師及相關(guān)人員對(duì)其進(jìn)行深度分析和探討。

一、 數(shù)形結(jié)合的概述及研究意義

數(shù)學(xué)重點(diǎn)在于數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的知識(shí)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合是指在解決有關(guān)“數(shù)”的問題時(shí)，利用“形”來輔助?；蛘咴诮鉀Q“形”的相關(guān)問題時(shí)，結(jié)合“數(shù)”的關(guān)系來解決。為推行新課改，注重學(xué)生素質(zhì)培養(yǎng)，使學(xué)生具備創(chuàng)新意識(shí)，并且能夠?qū)W會(huì)利用創(chuàng)造力來解決問題，教育者應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生好的學(xué)習(xí)方法，在新時(shí)代的教育理念中，教育者不僅要重視學(xué)生的基本知識(shí)培養(yǎng)，還要對(duì)知識(shí)的總體框架有足夠的了解，對(duì)知識(shí)概念、公式、公理、推理都應(yīng)該理解到位。因此，研究數(shù)學(xué)思想是很有必要的。而在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想尤為重要，例如在高一集合知識(shí)點(diǎn)中，教師一般會(huì)利用韋恩圖來向?qū)W生進(jìn)一步解釋集合的概念。還有很多內(nèi)容都會(huì)利用數(shù)形結(jié)合思想來對(duì)其進(jìn)行深度的理解和分析。

二、 數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

（一） 數(shù)形結(jié)合與方程有關(guān)的應(yīng)用

當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有關(guān)方程方面的知識(shí)點(diǎn)是重點(diǎn)，教師在講解這方面的知識(shí)時(shí)必定會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的方式，特別是在解方程或求兩個(gè)方程根的個(gè)數(shù)中應(yīng)用廣泛，一般是將方程的函數(shù)圖象在平面直角坐標(biāo)系中表示出來，然后通過圖象的形狀來判斷方程的幾何性質(zhì)及交點(diǎn)個(gè)數(shù)，下面將舉例說明。

例：已知，a∈（0，1），則方程a|x|=|logax|的實(shí)根個(gè)數(shù)為（ ）

A. 3個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. A或B或C

解析：根據(jù)方程y=a|x|和方程y=|logax|在坐標(biāo)軸上畫出兩方程的函數(shù)圖象，然后看兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程a|x|=|logax|的實(shí)根個(gè)數(shù)。

上述例子可以很明顯地發(fā)現(xiàn)利用數(shù)形結(jié)合思想來解決判斷方程的根的問題有著簡(jiǎn)化解題步驟的作用，也不難發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用該方式是解決此類問題最有效直觀的方法。

（二） 數(shù)形結(jié)合與不等式有關(guān)的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中包含不等式相關(guān)內(nèi)容，且題型多變，較為復(fù)雜，但大多的不等式相關(guān)問題都可利用數(shù)形結(jié)合的方式來幫助解決，尤其是在解決不等式關(guān)系中參數(shù)的取值范圍時(shí)，利用數(shù)形結(jié)合的解題方法能有效簡(jiǎn)化解題步驟和解題方式，下面將舉例說明。

例：已知不等式2x-x2≥kx+k的解不為空集，其中k是常數(shù)，求k的取值范圍。

解析：根據(jù)不等式2x-x2≥kx+k可以分別在平面直角坐標(biāo)系上畫出方程y=2x-x2和y=kx+k的函數(shù)圖象，然后找到兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)y=kx+k圖象的臨界位置，最后根據(jù)y=kx+k的兩條極限位置圖象找到特殊點(diǎn)，求出k值。k的取值范圍也可確定。

由上述例子可以看出，數(shù)形結(jié)合與不等式結(jié)合的題目是現(xiàn)階段命題的趨勢(shì)，很多高考真題中都有類似的考題，因此，學(xué)生應(yīng)該重視數(shù)形結(jié)合的解題方式，有時(shí)候運(yùn)用復(fù)雜的思維方式來計(jì)算題目中的數(shù)量關(guān)系，不如利用圖形來的簡(jiǎn)明直觀。

（三） 數(shù)形結(jié)合與幾何問題相關(guān)的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)不可忽視，高考中解析幾何的分值也占比較多，高考出題者一般是將幾何問題和函數(shù)、數(shù)列、向量等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來，這樣綜合性的考題難度更大，更具挑戰(zhàn)性。例如求橢圓、雙曲線和拋物線相關(guān)的問題時(shí)，一般都采用數(shù)形結(jié)合的方式，只有少數(shù)概念性問題不用畫圖解決。數(shù)形結(jié)合思想在幾何解析問題上有著重要的參與性，且不說較難的高考題目，就是平時(shí)的基礎(chǔ)練習(xí)中也會(huì)常常運(yùn)用到。

例：已知拋物線D：y2=4x，過點(diǎn)A（-1，0）的直線與拋物線交于M、N點(diǎn)，設(shè)AM=λAN，若點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P，試證明直線PN經(jīng)過拋物線D的焦點(diǎn)F.

解析：需設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），P（x1，-y2）

因?yàn)锳M=λAN，x1+1=λ（x2+1），y1=λy2，接下來就需要將未知數(shù)代入式子中，然后在平面直角坐標(biāo)系中把圖畫出來，能夠比較直觀地得到證明。

上述例子可以看出除了在數(shù)中運(yùn)用形，也有在形中運(yùn)用數(shù)，拋物線是形，解題應(yīng)結(jié)合題中的數(shù)量關(guān)系。

（四） 數(shù)形結(jié)合與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)教科書乃至大學(xué)所學(xué)的高等數(shù)學(xué)中都將函數(shù)作為重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容，可見函數(shù)在整個(gè)高中、大學(xué)階段都有很重要的地位，高中重點(diǎn)講解三角函數(shù)、二次函數(shù)以及函數(shù)的性質(zhì)等，但難點(diǎn)在于函數(shù)的應(yīng)用問題，由函數(shù)知識(shí)點(diǎn)為基礎(chǔ)可以延伸出很多高難度的知識(shí)點(diǎn)，包括幾何、不等式、方程的解等知識(shí)點(diǎn)，下面會(huì)舉例說明。

例：已知函數(shù)f（x）=ax2-c滿足-4≤f（1）≤-1和-1≤f（2）≤5，求f（3）的取值范圍。

解析：根據(jù)題意將x=1、x=2和x=3分別代入到函數(shù)中，可以得到-4≤a-c≤-1、-1≤4a-c≤5和f（3）=9a-c，由-4≤a-c≤-1和-1≤4a-c≤5可以在平面直角坐標(biāo)系上畫出圖象，得到平行四邊形區(qū)域，而f（3）=9a-c也可在坐標(biāo)系上以斜率為9的平行直線表示出來。剩下的可以看f（3）=9a-c的圖象在平行四邊形區(qū)域上找出來使f（3）值最大和最小的點(diǎn)，那么f（3）的取值范圍即可確定。

函數(shù)應(yīng)用題型較多且難度較大，大都需要根據(jù)函數(shù)圖象來解題，這也是數(shù)形結(jié)合的一方面應(yīng)用。

三、 結(jié)束語

通過本文對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的探討，可以發(fā)現(xiàn)其實(shí)數(shù)形結(jié)合在整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著不可替代的作用，數(shù)形結(jié)合與方程、不等式、幾何解析、函數(shù)以及本文還未展開闡述的集合問題都有廣泛的應(yīng)用，以形助數(shù)旨在解決由上述問題延伸而來的復(fù)雜問題，教師應(yīng)通過對(duì)學(xué)生傳授數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生能夠獨(dú)立運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來解決數(shù)學(xué)難題。只有努力培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，才能更有效地達(dá)到素質(zhì)教育的目的。

參考文獻(xiàn)：

[1]張艷.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].中國(guó)校外教育，2016（31）：55-55.

[2]董曉萍.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透數(shù)形結(jié)合思想[J].中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)習(xí)研究），2013（5）：55-55.

作者簡(jiǎn)介：

韓其力木格，內(nèi)蒙古自治區(qū)扎蘭屯市，內(nèi)蒙古扎蘭屯市第一中學(xué)。