基于隨機(jī)匯率條件下的國外股票亞式回望期權(quán)的定價(jià)公式

潘素娟

( 1.福建商學(xué)院 信息工程學(xué)院， 福建 福州 350012；2.金融數(shù)學(xué)福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(莆田學(xué)院)， 福建 莆田 351100 )

回望期權(quán)是一種在有效期內(nèi)選取最有利的價(jià)格作為協(xié)定價(jià)格的期權(quán)，因其可為投資者以最低價(jià)格買進(jìn)標(biāo)的股而廣受OTC市場(chǎng)投資者的青睞.亞式期權(quán)是到期收益依賴于平均資產(chǎn)價(jià)格的一種期權(quán)，它允許投資者對(duì)某時(shí)段內(nèi)商品的平均價(jià)格進(jìn)行套期保值，進(jìn)而可以避免因某些交易者對(duì)期權(quán)到期時(shí)的資產(chǎn)價(jià)格進(jìn)行操縱而產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)；因此，亞式期權(quán)已成為一種廣泛使用的金融衍生工具.資產(chǎn)的平均價(jià)格可以通過多種平均方式來實(shí)現(xiàn)．例如： Gentle[1]采用加權(quán)幾何平均標(biāo)的資產(chǎn)對(duì)回望期權(quán)進(jìn)行了近似定價(jià)，左玲等[2]給出了一種采用跳躍擴(kuò)散下離散算術(shù)平均資產(chǎn)回望買權(quán)的定價(jià)公式，文獻(xiàn)[3-5]的作者應(yīng)用數(shù)值模擬、二叉樹等方法給出了回望期權(quán)的近似計(jì)算.本文在研究中將資產(chǎn)的平均價(jià)格作為標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，并將期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)在其回望時(shí)段內(nèi)的最低價(jià)格作為期權(quán)的執(zhí)行價(jià)，該做法可有效避免期權(quán)即將到期時(shí)價(jià)格容易被操縱問題.目前為止，已有很多學(xué)者對(duì)外匯型衍生產(chǎn)品進(jìn)行了研究[6-8],但未見將回望期權(quán)和亞式期權(quán)結(jié)合起來考慮匯率風(fēng)險(xiǎn)的研究.基于此，本文在考慮匯率風(fēng)險(xiǎn)的情況下，將離散幾何平均資產(chǎn)作為標(biāo)的(標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格以及匯率均為隨機(jī))，用含有Poisson過程的Ito -Skorohod隨機(jī)微分方程[9]描述股票價(jià)格的運(yùn)動(dòng)，用鞅定價(jià)技巧(風(fēng)險(xiǎn)中性方法)[10]和多元正態(tài)分布運(yùn)算的相關(guān)知識(shí)，推導(dǎo)出基于離散幾何平均資產(chǎn)的國外股票回望買入期權(quán)的定價(jià)公式.

1 經(jīng)濟(jì)變量的隨機(jī)過程

考慮某個(gè)完備概率空間(Ω,F,(Ft)t ≥0,P)上的標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)Wt， 其中(Ft)t ≥0是對(duì)t遞增的σ域.假定對(duì)隨機(jī)變量的所有敘述幾乎處處成立或者幾乎必然成立， 用E〈X|Ft〉表示隨機(jī)變量X關(guān)于到時(shí)間t為止可獲的信息的條件期望，用S(t)表示t時(shí)以外幣計(jì)量的國外股票的價(jià)格,用F(t)表示t時(shí)以內(nèi)幣計(jì)量的一單位外幣的價(jià)格，即t時(shí)即期匯率.本文假設(shè)股票價(jià)格的擴(kuò)散過程和匯率的變動(dòng)隨機(jī)過程都遵循幾何Brown運(yùn)動(dòng)，即：

(1)

2 風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度和數(shù)學(xué)模型

2.1 風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度

(2)

2.2 幾何平均亞式期權(quán)的定義和數(shù)學(xué)模型

解上面2個(gè)式子，可得：

類似上述解法，可得：

2.3 期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的說明

為了方便討論，本文利用乘積的方式將資產(chǎn)的離散幾何平均值和匯率的離散幾何平均值轉(zhuǎn)化成一個(gè)資產(chǎn)，即φ=GSGF.φ可以解釋為國內(nèi)貨幣給出的國外股票價(jià)格的離散幾何平均值，其價(jià)格擴(kuò)散過程服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即

2.4 期權(quán)的回望時(shí)段和到期收益的說明

假設(shè)期權(quán)的回望時(shí)段為期權(quán)的整個(gè)合同期，即浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)回望買入期權(quán)允許持有者以回望時(shí)段內(nèi)期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的最低價(jià)買入資產(chǎn)，因此這種期權(quán)在到期日總是會(huì)被執(zhí)行，并且它的到期收益總是大于零.期權(quán)的到期收益公式[14]為

3 分布函數(shù)及其分布密度的說明

(3)

式(3)所對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)為

4 期權(quán)定價(jià)公式及其求解

4.1 模型的求解

根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性期望折現(xiàn)方法[15]，隨機(jī)匯率條件下國外股票幾何平均回望買入期權(quán)的價(jià)格為

(4)

1)計(jì)算式(4)右邊的第1項(xiàng).

(5)

將式(3)帶入式(5)可得

2)計(jì)算式(4)右邊的第2項(xiàng).

(6)

式(6)可分成如下3部分：

A1、A2、A3的計(jì)算過程為：

(7)

計(jì)算式(7)中的各項(xiàng)：

將上述結(jié)果代入式(7)， 得：

綜上可得

整理上式得

4.2 模型結(jié)論及展望

根據(jù)4.1中的各項(xiàng)結(jié)果，可以得到基于隨機(jī)匯率條件下國外股票幾何平均亞式回望期權(quán)的定價(jià)公式：

化簡上式得

上述研究中，本文只考慮了離散的情況，這是因?yàn)樵趯?shí)際交易中所有亞式期權(quán)的標(biāo)的變量都是采用離散的平均方式.當(dāng)n→∞時(shí)，離散幾何平均即成為連續(xù)幾何平均，由此可求得基于隨機(jī)匯率條件下國外股票連續(xù)幾何平均亞式回望期權(quán)的定價(jià)公式.在本文研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，還可以進(jìn)一步考慮國內(nèi)外無風(fēng)險(xiǎn)利率參數(shù)r和rf是隨機(jī)變量的情況.例如：在傳統(tǒng)經(jīng)典模型的基礎(chǔ)上，若假定利率遵從高斯利率過程，違約強(qiáng)度函數(shù)遵從Poisson隨機(jī)過程,就可得到不完全市場(chǎng)下匯率隨機(jī)時(shí)國外股票的幾何平均亞式回望期權(quán)的定價(jià)公式．本研究結(jié)果可為未來國內(nèi)出現(xiàn)的同類期權(quán)的合理定價(jià)提供參考.