給兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以需要的幫助

胡蕓

摘要：學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)常伴隨各種錯誤，錯誤的背后是學(xué)生學(xué)習(xí)中的種種困難與疑惑。正視學(xué)業(yè)困難，提供需要的幫助，是教師的責(zé)任所在?；谝痪砣郎y的實證研究表明，第一次檢測與后兩次檢測結(jié)果差異極其顯著，二、三次檢測結(jié)果沒有顯著變化，且重復(fù)錯誤率高，進(jìn)而提出“變單一講授為多樣引導(dǎo)，關(guān)注概念性知識的過程理解;變消極定勢為多層建構(gòu)，積累事實性知識的立體認(rèn)知;變關(guān)注結(jié)果為過程推進(jìn)，建立程序性知識的本然機(jī)制;變知識習(xí)得為素養(yǎng)提升，發(fā)展元認(rèn)知能力的多層內(nèi)涵”等教學(xué)改進(jìn)策略，給兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以需要的幫助。

關(guān)鍵詞：學(xué)業(yè)測試;實證研究;數(shù)學(xué)學(xué)習(xí);學(xué)業(yè)求助

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-9094（2019）12A-0049-05

學(xué)生的學(xué)習(xí)過程經(jīng)常伴隨各種錯誤。教師面對學(xué)生的錯誤，大多采用不厭其煩地講授，理所應(yīng)當(dāng)?shù)卣J(rèn)為自己講過后學(xué)生就會掌握。但事實上，我們經(jīng)常會發(fā)出這樣的抱怨：這題都講N遍了，學(xué)生一做還是錯;或者今天會做了，過段時間做又錯了。問題出在哪？是我們講得不夠賣力還是教得不得其法？看來，我們應(yīng)該反思：學(xué)生需要怎樣的幫助來解決他們的學(xué)業(yè)困難？我們的“幫助”是兒童需要的嗎？

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：“評價的主要目的是全面了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程和結(jié)果，激勵學(xué)生學(xué)習(xí)和改進(jìn)教師教學(xué)?！盵1]當(dāng)前，對學(xué)業(yè)測試的分析與研究仍是促進(jìn)教師反思、改進(jìn)教學(xué)的主要路徑。本研究利用一卷三測的方式進(jìn)行實證研究，試圖從兒童呈現(xiàn)出的錯誤中探尋出有效的教學(xué)改進(jìn)措施，給兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以需要的幫助。

一、研究與設(shè)計：基于一卷三測結(jié)果的實證研究

（一）測試對象

測試對象是一年級某班42名學(xué)生（男生22人，女生20人），各層次學(xué)生數(shù)均衡。測試過程和結(jié)果具有一定的信度、廣度和代表性。

（二）測試工具

研究工具是“100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”（蘇教版數(shù)學(xué)第二冊）單元測試卷。研究以布盧姆的教育目標(biāo)分類的知識維度和認(rèn)知過程維度為依據(jù)，對本次測試內(nèi)容的編制、考核點與考核內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)計（見表1）。

測試題目圍繞數(shù)的意義、表示、關(guān)系、運算、估算和問題解決這6個數(shù)感構(gòu)成要素進(jìn)行設(shè)計。在知識維度上，測試卷既涵蓋程序性知識（如數(shù)的運算），概念性知識（如數(shù)的認(rèn)識、意義），也涉及事實性知識（如數(shù)的關(guān)系、表示等），同時需要兒童調(diào)用自身的元認(rèn)知來完成整個答卷過程。在認(rèn)知過程維度上，大多數(shù)試題涵蓋了多個認(rèn)知過程，重點考察兒童的綜合運用能力。因此，本張試卷考核難度適中且規(guī)范，體現(xiàn)了課標(biāo)的評價標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)果具有一定的信度和效度。

（三）測試方法與過程

同一份試卷，對同一個學(xué)生群體分期中、期末和下學(xué)期初三次測試。每次測試都由同一位教師監(jiān)考、改卷、評講試卷，并指導(dǎo)學(xué)生訂正后收回試卷進(jìn)行統(tǒng)計。統(tǒng)計三次測試整體成績、個體成績和個體每一次測試出現(xiàn)的錯誤情況，以失分分值作為統(tǒng)計的量化指標(biāo)，進(jìn)行數(shù)據(jù)的整體分析、對比分析和交叉分析。

二、結(jié)果與分析：我們的“幫助”是兒童需要的嗎

（一）總體情況

用配對樣本t檢驗的方法來驗證學(xué)生在三次測試中的總分是否存在明顯差異，如表2：

結(jié)果分析：對1（第一次總分與第二次總分），t為-5.685，自由度為41，95%的置信區(qū)間為（-9.745，-4.636），顯著性檢驗值Sig為0，小于1%，對2也是同一情況，說明總分一與總分二、三之間差異極顯著。對3，t為0.829，自由度為41，95%的置信區(qū)間為（-1.162，2.781），顯著性檢驗值Sig為0.412，遠(yuǎn)大于5%，說明總分二、三之間沒有顯著變化。由此可知：在第一次測試后，教師對試卷評講、組織訂正有效解決了學(xué)生的部分學(xué)習(xí)困難，使得第二次測試成績有了顯著的提升。而總分二、三的無顯著變化，一方面說明學(xué)生對知識掌握較為穩(wěn)定，并沒有因為間隔時間長而產(chǎn)生遺忘，另一方面也說明在測試中有一部分難題已經(jīng)固化，導(dǎo)致重復(fù)失分。

（二）分類情況

1.錯誤類型

筆者將每一位學(xué)生三次測試中出現(xiàn)的錯誤加以統(tǒng)計，三次測試共失分1267分，除了漏題和解答形式出錯外，其余93%是學(xué)生真正意義上的答題錯誤。由于是進(jìn)行三次重復(fù)測試，學(xué)生的錯誤又會出現(xiàn)以下不同的情況：三次測試重復(fù)出錯（三次重復(fù)）的占15%，第一次和第二次重復(fù)出錯（近期重復(fù)）占12%，第一次和第三次或是第二次和第三次重復(fù)出錯（遠(yuǎn)期重復(fù)）占15%。前兩次出錯但第三次答對（錯已掌握）的占41%，前兩次沒有出錯，第三次卻產(chǎn)生錯誤（新錯）占10%。

2.重復(fù)錯誤內(nèi)容和題型

在研究樣本中，重復(fù)出現(xiàn)的錯誤占全部錯誤的42%。共有35題次出現(xiàn)三次重復(fù)錯誤情況，主要集中在“數(shù)的綜合應(yīng)用”，占83.33%;其次是關(guān)于“數(shù)的意義”“數(shù)的表示”和“數(shù)的問題解決”。近期重復(fù)錯誤中50%的學(xué)生錯在“數(shù)的問題解決”，其次是“數(shù)的綜合應(yīng)用”和“數(shù)的關(guān)系”;遠(yuǎn)期重復(fù)錯誤共47題次，出錯比重最大的還是“數(shù)的問題解決”，其次是“數(shù)的綜合應(yīng)用”。重復(fù)錯誤題型均集中在“填一填”和“解決問題”中。

3.新出現(xiàn)錯誤內(nèi)容和題型

全班71.43%的學(xué)生在第三次測試中，出現(xiàn)了前兩次沒有出現(xiàn)的錯誤。43.33%的學(xué)生出錯中在“數(shù)的問題解決”試題中。在“數(shù)的意義”“數(shù)的表示”部分出錯的學(xué)生也較多，分別占40%、30%。與之前不同的是，每種題型都出現(xiàn)了或多或少的錯誤，其中錯誤最多的題型還是在“填一填”。

4.元認(rèn)知錯誤與學(xué)生性別、層次分析

元認(rèn)知是對認(rèn)知的認(rèn)知。測試時沒有領(lǐng)會答題要求或漏題而失分的，本研究將其歸為元認(rèn)知錯誤范疇。從統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn)：測試成績優(yōu)秀的學(xué)生元認(rèn)知水平也較高，而越是失分較多的學(xué)生，漏題失分和答題形式錯誤失分也較多。從漏題學(xué)生的性別看，沒有明顯的性別差異，男女生失分相差不大，但對做題的要求理解方面，女生的失分值高于男生。

（三）結(jié)論

1.重復(fù)出錯率較高：兒童需要的不僅僅是單一的試卷評講

在研究樣本中，有53.97%的學(xué)生存在重復(fù)出錯現(xiàn)象，重復(fù)錯誤失分占三次總失分的42%。用簡單相關(guān)分析，分析總失分和三次重復(fù)失分情況的相關(guān)性（見表3）。

由表3可知，總失分和三次重復(fù)失分之間的相關(guān)系數(shù)為0.897，顯著性水平為0，小于0.01。所以總失分與三次重復(fù)失分兩者相關(guān)關(guān)系為正向的，且相關(guān)性很強。數(shù)據(jù)告訴我們：“卷面測試—評講試卷—訂正回批”這種常規(guī)的處理試卷流程，只能解決學(xué)生測試問題的50%左右。這也解釋了教師們經(jīng)常抱怨“為什么講再多學(xué)生還是不會”的問題。還有一半的學(xué)業(yè)困難會伴隨著兒童的后續(xù)學(xué)習(xí)，而這些困難很可能導(dǎo)致兒童的學(xué)習(xí)難度日益加大。

2.程序性知識重復(fù)出錯率高：兒童需要的不僅僅是單個知識點的理解

把不同類型錯誤進(jìn)行比較（見圖1）發(fā)現(xiàn)：重復(fù)出錯的內(nèi)容相對集中，比率最高的是“數(shù)的問題解決”，依次是“數(shù)的綜合應(yīng)用”和“數(shù)的意義”，題型也集中在“填一填”和“解決問題”中。說明這部分內(nèi)容既是教師教學(xué)的短板，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，僅僅依賴教師的講授并不能讓學(xué)生有更深刻的理解與內(nèi)化。教學(xué)需要結(jié)合不同情境和材料、運用多種方式引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)的意義進(jìn)行理解，進(jìn)而在練習(xí)中理順各種變式中的數(shù)量關(guān)系。

3.概念性、事實性知識遺忘率較高：兒童需要的不僅僅是一時的記憶

在大多數(shù)統(tǒng)計數(shù)值都相近的近期和遠(yuǎn)期重復(fù)錯誤中，只有“數(shù)的表示”和“數(shù)的意義”這兩個數(shù)值遠(yuǎn)期重復(fù)明顯高于近期重復(fù)?？梢?，學(xué)生對于概念性和事實性知識遺忘率較高。同樣，在新錯的統(tǒng)計中，這兩類知識的錯誤人數(shù)更是上升到30%和40%（僅低于“數(shù)的問題解決”）。說明教師在教學(xué)中，要加強對概念性、事實性知識的鞏固，適時地引導(dǎo)學(xué)生對“數(shù)的意義”反復(fù)理解，對“數(shù)的表示”從規(guī)范與規(guī)則上鞏固強化，直至兒童真正地將其建構(gòu)到知識體系中。

4.元認(rèn)識能力差距較大：兒童需要的不僅僅只是學(xué)科知識的掌握

三次測試錯誤中元認(rèn)識錯誤共失分93分，其中成績排前10名的元認(rèn)知錯誤失分占元認(rèn)知錯誤總失分的6.5%，11-20名占17.2%;21-30名占26.9%;30名往后的占49.5%，即越是學(xué)科知識失分多的學(xué)生，出現(xiàn)漏題、審題錯誤的情況也較多。反思我們的教學(xué)行為：“學(xué)困生”的輔導(dǎo)重點在學(xué)科知識上，忽視元認(rèn)知能力培養(yǎng);而“學(xué)優(yōu)生”更多的是超于學(xué)科知識的更高標(biāo)準(zhǔn)要求。因此，重視“學(xué)困生”的元認(rèn)知能力培養(yǎng)，其學(xué)科知識的學(xué)習(xí)能力也會水漲船高。

三、討論與啟示：如何給予兒童以需要的幫助

兒童在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中總會出現(xiàn)這樣那樣的錯誤。作為教師，如何幫助他們答疑解惑，解決學(xué)業(yè)困難，給以兒童真正需要的幫助呢？上文基于一卷三測結(jié)果的研究可以給我們以下四點啟示：

（一）變單一講授為多樣引導(dǎo)，關(guān)注概念性知識的過程理解

概念性知識是一種較為抽象概括的、有組織的知識類型。數(shù)學(xué)概念是對客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形成的本質(zhì)屬性的描述與反映。兒童的抽象、概括能力較弱，數(shù)學(xué)的概念學(xué)習(xí)很容易成為看似簡單實則抽象的學(xué)習(xí)難點。因此，教學(xué)中要把握概念形成與發(fā)展的整體脈絡(luò)，變單一的講述為多樣的情境、表述、變式，關(guān)注過程理解，培養(yǎng)思維深度。

例如在對數(shù)的意義進(jìn)行教學(xué)時，要明確數(shù)的意義始終貫穿于數(shù)的教學(xué)之中。每一個學(xué)段關(guān)于數(shù)的學(xué)習(xí)都是對“數(shù)的意義”的不斷深入與完善。低年級以具體物體的數(shù)量引導(dǎo)兒童理解數(shù)，利用生活經(jīng)驗引入數(shù)的表示、數(shù)的關(guān)系和數(shù)的運算，讓兒童用自己的理解去建構(gòu)“數(shù)覺階段”，初步形成數(shù)感;中年級的學(xué)習(xí)素材已經(jīng)抽象到“像表示物體個數(shù)的1、2、3……”這樣的定義概括，教師需從引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系身邊的具體事物來理解和描述，從“數(shù)覺階段”過渡到“符號階段”，從而發(fā)展數(shù)感;高年級積累了整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等數(shù)概念和運算規(guī)則的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，需在數(shù)的估算和問題解決中加強對數(shù)意義的理解與建構(gòu)，增進(jìn)數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律的理解，經(jīng)歷“建模階段”，形成較為成熟的數(shù)感。

（二）變消極定勢為多層建構(gòu)，積累事實性知識的立體認(rèn)知

事實性知識又叫事實，是兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所必備知識的基本要素。當(dāng)“數(shù)學(xué)中”的事實性知識與“生活中”的事實性知識或已知與未知不一致時，兒童的學(xué)習(xí)會受到思維定勢影響。教師善于從兒童的生活經(jīng)驗出發(fā)，利用觀察、操作、對比、體驗等多形式、多角度、多層次的實踐，結(jié)合思考、探索和交流等活動，充分積累學(xué)習(xí)認(rèn)知經(jīng)驗，建構(gòu)出事實性知識的立體認(rèn)知。

例如在教學(xué)除法豎式時，學(xué)生會受到加減法、乘法豎式寫法的影響，認(rèn)為除法豎式也同樣，通過口算得出結(jié)果，反而簡便。這樣的認(rèn)知為除法豎式的教學(xué)帶來了消極的影響。不少教師會強化學(xué)生記憶，說明就是這樣規(guī)定的。兒童不理解，自然就會出現(xiàn)問題。教材對此也進(jìn)行了改進(jìn)：將原本放在二年級上學(xué)期學(xué)習(xí)的除法豎式移到了二年級下學(xué)期學(xué)習(xí)“有余數(shù)的除法”單元中，教師要領(lǐng)會其中用意，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合除法的本質(zhì)——平均分來理解除法豎式的與眾不同，以余數(shù)的出現(xiàn)讓學(xué)生理解為何從高位除起。在此基礎(chǔ)上，可再利用實物進(jìn)行平均分，在操作的過程中顯現(xiàn)出除法豎式的科學(xué)性和特別性，再次加強學(xué)生對除法及除法豎式的理解。除此之外，還可以較為復(fù)雜的除法進(jìn)行豎式計算，讓學(xué)生多層次、多方位地體會到除法豎式的合理性、簡潔性與過程性。這樣多層次的理解積累，構(gòu)建出“除法豎式”這樣一個事實性知識的立體認(rèn)知。

（三）變關(guān)注結(jié)果為過程推進(jìn)，建立程序性知識的本然機(jī)制

程序性知識是關(guān)于完成某項任務(wù)的行為或操作步驟的知識，即“如何做”的知識。數(shù)學(xué)中的程序性知識包括原理、法則、方法策略。教師要從關(guān)注結(jié)果向過程追溯，明晰兒童對知識的本然機(jī)制：從兒童的經(jīng)驗出發(fā)，搭建基于理解的活動平臺，讓學(xué)生充分感受信息的搜集、處理、加工和演繹的過程，從而解決問題，形成技能。

例如本次研究樣本中重復(fù)出錯率最高的一道填空題：用4顆珠子，在計數(shù)器上表示出最小的兩位數(shù)是（? ?），最大的兩位數(shù)是（? ?）。解題程序至少包括三步：第一步檢測學(xué)生對兩位數(shù)的認(rèn)識，即個位和十位要有“數(shù)字”，包括需理解“十位上有數(shù)字，個位上可以沒有數(shù)字要寫零表示”和“十位上沒有數(shù)字就不是兩位數(shù)”這兩層意思;第二步檢測學(xué)生對數(shù)值的理解，即用4個珠子表示，說明個位上和十位上的數(shù)字加起來是“4”，需列出所有符合條件的兩位數(shù);第三步在列舉的數(shù)中確定最終答案。這三步既是兒童思維的逐步發(fā)展，也是此類問題解決的本然機(jī)制：首先需培養(yǎng)搜集信息、提取和分析信息的能力，使學(xué)習(xí)發(fā)生;其次形成解決問題的策略和規(guī)則，讓學(xué)習(xí)發(fā)展;最后養(yǎng)成良好而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和答題習(xí)慣，保障整個學(xué)習(xí)機(jī)制得以有效實施。

（四）變知識習(xí)得為素養(yǎng)提升，發(fā)展元認(rèn)知能力的多層內(nèi)涵

元認(rèn)知是學(xué)習(xí)者對自己的思維活動和學(xué)習(xí)活動的認(rèn)知和監(jiān)控。兒童的心理發(fā)展還不成熟，對于自己的認(rèn)知活動和對認(rèn)知活動的認(rèn)知還不能區(qū)分。這種發(fā)展與個體認(rèn)知成正比。給兒童需要的學(xué)業(yè)幫助，關(guān)注學(xué)科知識的掌握固然重要，引導(dǎo)兒童學(xué)會認(rèn)識自我，提升元認(rèn)識水平同樣不能忽視。

元認(rèn)知能力包括元認(rèn)知知識、體驗和監(jiān)控三個內(nèi)容。發(fā)展元認(rèn)知能力也是關(guān)注兒童素養(yǎng)的提升。以具體的學(xué)科知識為載體，從學(xué)習(xí)材料、學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)策略等方面喚醒兒童的主體意識，引導(dǎo)兒童進(jìn)行元認(rèn)知的體驗和監(jiān)控。利用“問”可以有效地進(jìn)行元認(rèn)知訓(xùn)練。課前問：“你準(zhǔn)備好上課了嗎？”提醒學(xué)生做好學(xué)習(xí)前的準(zhǔn)備（主要是心理上的）。新知學(xué)習(xí)后問：“你有什么疑問嗎？”促使學(xué)生反思自己的學(xué)習(xí)過程，進(jìn)行自我監(jiān)控和評價。在全課總結(jié)時問：“你的收獲是什么？”回顧并梳理所學(xué)。同時還可以培養(yǎng)學(xué)生自問：“這道題的條件是什么？我的題意理解對嗎？我的解題是否正確、完整”……簡單的一個“問”字，不斷地促進(jìn)兒童自我反思，幫助兒童習(xí)得元認(rèn)知知識，積累元認(rèn)知體驗，進(jìn)行有效的元認(rèn)知監(jiān)控，從而發(fā)展元認(rèn)知水平。

相關(guān)研究發(fā)現(xiàn)，教師十分重視學(xué)生的分?jǐn)?shù)，重視學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，從而導(dǎo)致對學(xué)生錯誤的認(rèn)知標(biāo)準(zhǔn)是看結(jié)果，而不是看過程。通過對一卷三測結(jié)果的統(tǒng)計與分析，我們窺探到兒童之所以一而再、再而三出錯的背后，是我們用單一的評講代替對學(xué)科知識的有效認(rèn)識與分析，用不停地抱怨代替探索兒童真正需要的幫助。教師應(yīng)多樣引導(dǎo)、多層建構(gòu)、促進(jìn)認(rèn)知、素養(yǎng)提升，只有這樣，才能有效解決兒童的學(xué)業(yè)困難，給予他們需要的幫助。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社， 2011：52.

責(zé)任編輯：李韋

Problems with Childrens Mathematics Learning and Strategy for Improvement

HU Yun

（No. 2 Primary School Attached to Lianyungang Normal College， Lianyungang 222023， China）

Abstract： Students usually make mistakes in learning， which is caused by different difficulties and confusions. Teachers should face students mistakes and give them necessary help. The empirical research based on one test paper tested three times reveals that the result of the first test is significantly different from the second two， while the second two tests have no significant differences. Therefore， the author suggests some strategies to improve mathematics teaching： changing single transmission into diversified guidance and focusing on the understanding of conceptual knowledge， changing negative stereotypes into multi-construction and accumulating three-dimensional cognition of factual knowledge， changing from result focus to process promotion and establishing the original mechanism of procedural knowledge， and changing knowledge acquisition to quality enhancement and developing the multiple connotation of meta-cognitive competence.

Key words： academic test; empirical research; mathematics learning; academic help