摘?要:數(shù)形結(jié)合的思想是小學數(shù)學學習中一種重要的思想方法和理解數(shù)學、學好數(shù)學的有效手段。數(shù)形結(jié)合的兩個要點是“以形示數(shù)”和“由形到數(shù)”,通過這兩個要點達到數(shù)形結(jié)合的目的,為小學生的解決數(shù)學問題、形成數(shù)學意識、發(fā)展數(shù)學思維而服務(wù),從而產(chǎn)生長期穩(wěn)固的作用于學生的數(shù)學學習生涯,使抽象的問題具體化、復(fù)雜的問題簡單化,從而達到提高學生數(shù)學素養(yǎng)和高效數(shù)學學習的目的。
關(guān)鍵詞:小學數(shù)學;數(shù)形結(jié)合;以形示數(shù);由形到數(shù)
一、 前言
小學是一個人認知世界的第一個正式、法定的階段,也是開始系統(tǒng)學習數(shù)學階段。在2001年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(實驗稿)》中,提出“學生能夠獲得適應(yīng)未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學知識以及基本的數(shù)學思想方法和必要的應(yīng)用技能?!?011年出臺的《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》在總目標中提出“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學學習,學生能獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗?!钡捎谛W生的思維深度存在一定的局限性,因此,利用“數(shù)”與“形”的優(yōu)勢互補,使學生改變關(guān)注問題的表述和形式轉(zhuǎn)向問題的內(nèi)在含義,從而實現(xiàn)了抽象與形象思維的有機結(jié)合。
數(shù)形結(jié)合的兩個要點是“以形示數(shù)”和“由形到數(shù)”?!耙孕问緮?shù)”是用簡單的圖形表示數(shù)字問題,“由形到數(shù)”是推廣問題,使用純數(shù)學表達。數(shù)形結(jié)合思想具有的教育價值:一是促進了小學生對于數(shù)學知識的學習,二是發(fā)展小學生解決實際數(shù)學問題的能力,三是促進了學生觀察能力、直覺思維、形象思維、創(chuàng)造性思維等多種能力的提升。
二、 數(shù)形結(jié)合教學的理論依據(jù)
數(shù)學來源于生活同時應(yīng)用于生活,因此數(shù)學學習的目的是為了解決生活中的實際問題。如果讓小學生只進行單純“數(shù)學”知識的學習而完全脫離實際,既背離了數(shù)學學習的初衷,也會讓數(shù)學學習變得晦澀、枯燥甚至是乏味。同樣只是利用“圖形”的方法去解決數(shù)學問題,而沒有用理論去抽象和拔高相應(yīng)的理論,也無法使學生完全掌握相應(yīng)的知識,更無法在實際生活中對數(shù)學的應(yīng)用做到順手拈來。
故數(shù)學教學必需要做到兩個層次——“以形示數(shù)”和“由形到數(shù)”。第一個層次是“以形示數(shù)”,用“形”來助力解決“數(shù)”,借助形,認識數(shù)、運算數(shù)、整理數(shù)。發(fā)現(xiàn)數(shù)的規(guī)律,理清數(shù)量關(guān)系,解決數(shù)的問題,使得理論知識做到有的放矢,做到數(shù)學應(yīng)用到生活的具體方面。第二個層次是“由形到數(shù)”,運用數(shù)學符號和數(shù)學語言,使得相應(yīng)的應(yīng)用擴寬。從而認識和測量圖形,進而生動描述圖形的位置和運動過程,促進空間觀念形成,使得具體問題在理論上的推廣,服務(wù)于更多方面,激發(fā)學生的學習樂趣與激情。
三、 數(shù)形結(jié)合的幾個例子
(一) 兩位數(shù)乘法問題
三年級人教版對兩位數(shù)乘兩位數(shù)的標準數(shù)學解法是列豎式計算法。例如23乘以26,國內(nèi)教學的解法通常是運用列豎式計算,可以算出結(jié)果是598。(具體運算如圖1.1)。而國外有一種解法是通過畫線法,分別畫出2,3,2,6的四組線,分別表示2、3和2、6,然后將它們的交叉點分為三個部分,分別代表個位、十位、百位,清點各部分交點的數(shù)目后進行累加,便能得到最后的答案為598。(具體運算如圖1,2)。
國外的這種乘法解法相較于國內(nèi)的列豎式計算解法而言有兩個優(yōu)點:一是學生不需要背誦九九乘法表;二是僅需要了解多位數(shù)加法的運算??梢园l(fā)現(xiàn),運用畫線法,只需要掌握簡單的基本知識,小學生就能夠輕松地解出23乘以26這類較為復(fù)雜的計算題。
(二) 奇數(shù)數(shù)列求和問題
舉一個奇數(shù)數(shù)列相加求和的例子,例如計算1+3+5+7+9+11+13,這個數(shù)列的和。面對該類問題時,由于小學生尚未涉及數(shù)列的相關(guān)知識,教師在教學時可以通過數(shù)形結(jié)合的方式來提點,即以小球表示數(shù)字,再將小球依數(shù)列規(guī)律擺放成正方形,最后利用正方形的面積等于邊長的平方這一定理,巧妙地將計算題轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形,求出該數(shù)列的和。
(三) 集合問題
人教版小學數(shù)學三年級上冊中有關(guān)于集合的例題:已知參加跳繩比賽的同學有楊明、陳東、劉紅、李芳、王愛華、馬超、丁旭、趙軍、徐強,參加踢毽比賽的同學有劉紅、于麗、周曉、楊明、朱小東、李芳、陶偉、盧強,請問參加這兩項比賽的共有多少人?解決該問題時,小學生容易被復(fù)雜的信息量所困擾,解題時往往會直接累加來得到結(jié)果。因此可以通過繪制韋恩圖的方式,清楚地觀察出重復(fù)的學生數(shù),使學生能夠直觀地理解重疊部分的意義并得知計算時要減去重復(fù)的學生的個數(shù),進而得出參加兩項比賽的總?cè)藬?shù)。
(四) 植樹問題
植樹問題對小學生而言是十分抽象的,“兩端都栽”“只栽一端”“兩端都不栽”這幾種植樹的方式常常讓小學生暈頭轉(zhuǎn)向,分不清要用哪個計算公式,導(dǎo)致結(jié)果的錯誤。而通過直觀的“畫線段圖”的方式可以讓學生直觀地明晰題意。例如:同學們要在全長20米的小路一邊植樹,每隔5米栽一棵(只栽一端),一共要栽多少棵樹?可引導(dǎo)學生通過畫線段圖的方式作答,畫一段來代表20米的線段,再等比例地在原線段上標出代表5米的線段,便能直觀地得出答案,即可得到要栽樹的數(shù)目。
四、 “以形示數(shù)”的意義
對于小學生而言,單純講數(shù)學理論太過于抽象晦澀,難以理解;且如果數(shù)學里只有無窮的公式和算理算法,那么就太過于枯燥。通過“以形示數(shù)”的方式,可以讓學生通過觀察圖形、觸摸圖形、繪制圖形等活動,有效地參與到數(shù)學課堂中,全身心地進行愉悅的數(shù)學學習,進而充分激發(fā)起學生學習數(shù)學的興趣,產(chǎn)生學習熱情。此外,“以形示數(shù)”的方式將抽象的數(shù)學知識直接形象地展示在學生的眼前,將復(fù)雜問題簡單化,能夠有效地引導(dǎo)學生理解掌握知識,避免了煩瑣的記誦過程。在數(shù)與形的轉(zhuǎn)化過程中,也能起到培養(yǎng)鍛煉學生的抽象思維能力和邏輯思維能力的重要作用,為學生以后的數(shù)學學習生活打下堅實的基礎(chǔ)。
五、 “由形到數(shù)”的推廣
如果僅僅使用圖形來解決數(shù)學問題是快樂的,但也是煩瑣的。例如:畫線法計算乘法結(jié)果,需要耗費很多時間畫線與清點交叉點。圖形法解奇數(shù)數(shù)列求和問題需要畫足夠多的圓圈來求解得到結(jié)果。同時隨著問題中的人數(shù)、物體的數(shù)目等信息量逐漸增多,通過具體的圖形來解決問題也變得越來越復(fù)雜,顯得浪費時間,并不符合解決數(shù)學題目的實際需求。這時候教師就需要將教學的精力集中于“由形到數(shù)”的轉(zhuǎn)換。那么如何完成“由形到數(shù)”的推廣呢?
首先,讓學生明確圖形方法的局限,知形不足。要讓學生明白總是依賴圖形解決問題并不適用于所有情況,了解使用數(shù)學中的公式、定理解決數(shù)學問題的必要性?!耙孕问緮?shù)”一般來說有幾個不足:一是解題需要繪制大量圖形,浪費了大量的時間、精力;二是解題的正確性也依賴于學生的繪圖能力,如果繪圖過程中出現(xiàn)偏差,很可能得不到正確的答案;三是即使畫出正確的圖形,計數(shù)的過程也是煩瑣的。如畫線法計算乘法結(jié)果,如果交點過多,學生在計算的過程中很容易產(chǎn)生混亂。這些不足也反映出“由形到數(shù)”的必要性。但對于孩子們來說,可能它們很難理解其中的不足,因此在教學中首先要強調(diào)繪圖法的局限性,通過實例讓學生切身體會到繪圖法的缺陷,從而激發(fā)學生進行“由形到數(shù)”學習過程的心理。例如《植樹問題》這一課時,若要在全長為100米的小路邊植樹,通過畫部分線段圖的方法,讓學生明白此方法會十分浪費時間,操作起來過于煩瑣。借此引出“復(fù)雜問題簡單化,探索規(guī)律”的解決問題的方法,推動學生“由形到數(shù)”。
其次,引導(dǎo)學生仔細觀察具體的圖形,由形悟數(shù)。小學生的思維正處于從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段,直觀的“形”對于他們而言是充滿樂趣的而且是可以理解的。通過認真觀察具體的圖形,他們可以慢慢從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)規(guī)律,從而完成“由形到數(shù)”的推廣。例如在《集合問題》中,通過觀察韋恩圖,學生能夠明白“重復(fù)”的意思,摸索出在解決此類問題的時候需要將重復(fù)的數(shù)量排除的數(shù)學規(guī)律。在《植樹問題》中,通過觀察線段圖,學生能夠明白在不同的情況下都需要先計算出間隔數(shù),然后在此基礎(chǔ)上根據(jù)實際的情況進行加減1,進而得到所需要的樹苗數(shù)。除此之外,復(fù)雜的行程問題、雞兔同籠問題等都可以通過觀察具體的“形”,悟出“數(shù)”的規(guī)律。
六、 總結(jié)
綜上,數(shù)形結(jié)合思想作為一種重要的思想方法將貫穿于整個小學數(shù)學學習過程中。巧妙地將“數(shù)”與“形”結(jié)合起來,通過“由形示數(shù)”和“由形到數(shù)”兩個環(huán)節(jié),讓直觀的圖形與奧妙的數(shù)學和諧相融,幫助學生建立數(shù)學的概念,理解相關(guān)的理論,培養(yǎng)學生學習數(shù)學的思維,使得學生能夠更加高效、順利地進行數(shù)學學習,奠定持續(xù)學習數(shù)學的基礎(chǔ)。
參考文獻:
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作者簡介:
鄭廣成,福建省廈門市,福建福州教育學院附屬第三小學。