利用SOLO分類評(píng)價(jià)法突破初中幾何推理教學(xué)難點(diǎn)的案例研究

馮國(guó)虎

摘 要：從教學(xué)中的一個(gè)調(diào)查、一個(gè)例題出發(fā)，發(fā)現(xiàn)幾何教學(xué)中的一些問(wèn)題，分析初中幾何推理的難點(diǎn)，借SOLO分類評(píng)價(jià)法突破初中幾何推理難點(diǎn)的個(gè)案研究，找出解決幾何推理難點(diǎn)的一般策略：利用思維導(dǎo)圖整理知識(shí)網(wǎng)絡(luò)和理順解題的一般步驟;利用間接條件法讓學(xué)生由易到難動(dòng)手實(shí)踐;培養(yǎng)尋找解題思路的三種方法;基本解題思路的整理;作業(yè)的分層批改;同伴互助學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：SOLO分類評(píng)價(jià)法;幾何;個(gè)案

一、問(wèn)題的引出

1.一個(gè)調(diào)查

筆者對(duì)自己所在學(xué)校七、八年級(jí)期中數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行了分析，七年級(jí)幾何題總分為34分，占總分120分的28.3%，八年級(jí)幾何題總分為30分，占總分120分的25%。P為幾何總分/總分，M為調(diào)查總?cè)藬?shù)中幾何得分在所得總分中占比超過(guò)P值的人數(shù)，N為M/調(diào)查總?cè)藬?shù)。

這個(gè)調(diào)查結(jié)果清楚地表明，學(xué)生的幾何部分能力水平相較于代數(shù)部分明顯處于劣勢(shì)，并對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)業(yè)成績(jī)產(chǎn)生了重要的影響，亟須我們分析原因，采取對(duì)策。

2.一個(gè)例題

已知，如圖1，AF是△ABC一邊上的中線，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，求證：DE和AF互相平分。

學(xué)生常見(jiàn)錯(cuò)誤：

1.∵AF為中線∴ DE和AF互相平分（因?yàn)樗灾g沒(méi)有任何邏輯聯(lián)系）。

2.直接證△ADG≌△AEG（錯(cuò)誤一：?jiǎn)栴}被理解成AF平分DE，所以想通過(guò)全等證明，錯(cuò)誤二：本身這兩個(gè)三角形不具備全等的條件）。

3.只會(huì)證DE平行且等于1/2BC（認(rèn)為已知與求證之間沒(méi)有必然的聯(lián)系）。

引出的問(wèn)題：

探究學(xué)生幾何解題中存在的問(wèn)題，分析問(wèn)題產(chǎn)生的原因，檢視思維發(fā)展的過(guò)程，從而幫助他們提高解決幾何問(wèn)題的能力和學(xué)業(yè)成績(jī)，這顯得更加重要與急迫。

二、初中幾何教學(xué)的現(xiàn)狀和存在的困難

幾何推理的邏輯性和思維表達(dá)的縝密性經(jīng)常讓學(xué)生感覺(jué)幾何抽象難懂，對(duì)解題過(guò)程的要求有點(diǎn)吹毛求疵。在解題時(shí)，學(xué)生的思路難以打開(kāi)或是知道內(nèi)在的邏輯卻無(wú)法用邏輯化的語(yǔ)言層層遞進(jìn)地表達(dá)出來(lái)。不少學(xué)生的幾何證明長(zhǎng)期停留在模仿的水平，遇到思維有一定的跳躍性的，特別是需要做輔助線的題型就無(wú)從下手。他們不善于讀圖，對(duì)題目提供的圖形常常無(wú)法充分利用。在幾何教學(xué)實(shí)踐中，許多教師也都感到幾何難教，學(xué)生覺(jué)得難學(xué)，尤其是幾何證明題?？紤]到不同的學(xué)生對(duì)幾何證明題的理解和解決是不同層次的，要在同一課堂中讓所有學(xué)生齊步前行有相當(dāng)?shù)睦щy。如何幫助學(xué)生順利地從直觀形象思維過(guò)渡到抽象邏輯思維是在初中幾何教學(xué)中一個(gè)嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。

三、研究的理論依據(jù)和理論依據(jù)在幾何教學(xué)中的意義

SOLO（Structure of the Observed Learning Outcome）分類評(píng)價(jià)法是一種以等級(jí)描述為基本特征的質(zhì)性評(píng)價(jià)方法，由澳大利亞學(xué)者約翰·比格斯（Biggs）教授在《評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)的質(zhì)量———SOLO分類法》（1982）一書(shū)中提出，理論的基礎(chǔ)是皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段論。比格斯認(rèn)為人的認(rèn)知是階段性的。學(xué)生在學(xué)習(xí)具體知識(shí)的過(guò)程中，都會(huì)經(jīng)歷一個(gè)從量變到質(zhì)變的過(guò)程。每發(fā)生一次躍變，學(xué)生在對(duì)于這種知識(shí)的認(rèn)知就進(jìn)入更高一級(jí)的階段，因此可以根據(jù)學(xué)生在答題時(shí)具體反饋來(lái)判斷學(xué)生對(duì)當(dāng)前問(wèn)題的理解所處的思維發(fā)展階段，從而給予科學(xué)的評(píng)價(jià)。比格斯把學(xué)生對(duì)某個(gè)問(wèn)題的學(xué)習(xí)結(jié)果由低到高劃分為5個(gè)層次：前結(jié)構(gòu)（學(xué)生基本上無(wú)法理解問(wèn)題和解決問(wèn)題，只提供了一些邏輯混亂、沒(méi)有論據(jù)支撐的答案）、單一結(jié)構(gòu)（學(xué)生找到了一個(gè)解決問(wèn)題的思路，但卻就此收斂，單憑一點(diǎn)論據(jù)就跳到答案上去）、多元結(jié)構(gòu)（學(xué)生找到了多個(gè)解決問(wèn)題的思路，但卻未能把這些思路有機(jī)地整合起來(lái)）、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)（學(xué)生能夠使用多個(gè)可獲得的線索或資料，并將它們?nèi)跁?huì)貫通成為一個(gè)有機(jī)的整體，并能解決較為復(fù)雜的問(wèn)題）、拓展抽象結(jié)構(gòu)（學(xué)生能夠?qū)?wèn)題進(jìn)行抽象的概括，從理論的高度來(lái)分析問(wèn)題，而且能夠深化問(wèn)題，使問(wèn)題本身的意義得到拓展）。

1.SOLO分類評(píng)價(jià)法能有效地評(píng)價(jià)學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)質(zhì)量

分析學(xué)生的SOLO水平（思維反應(yīng)層次）對(duì)老師了解學(xué)生的認(rèn)知水平，找到學(xué)生在理解上的瓶頸，增強(qiáng)教學(xué)的針對(duì)性，提高教學(xué)質(zhì)量有積極作用。SOLO水平高的學(xué)生有非常好的理解問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，能發(fā)散性地思考，并能把相關(guān)聯(lián)的信息建立起聯(lián)系，從而進(jìn)一步抽象出可遷移的理論，因此，也總能有較好的幾何學(xué)業(yè)成績(jī)。反之，則必然成績(jī)不佳。所以，SOLO水平能科學(xué)地評(píng)價(jià)學(xué)生幾何學(xué)習(xí)質(zhì)量。

2.SOLO分類評(píng)價(jià)法能發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)理解上的誤區(qū)

找到學(xué)生在幾何問(wèn)題理解上的誤區(qū)對(duì)教師提高教學(xué)的有針對(duì)性、改善教學(xué)質(zhì)量有立竿見(jiàn)影的效果。SOLO分類評(píng)價(jià)法在對(duì)學(xué)生的反應(yīng)水平進(jìn)行分層的同時(shí)也對(duì)錯(cuò)誤的理解類型進(jìn)行了分類，不同結(jié)構(gòu)水平的回答能顯示出學(xué)生在理解上的缺陷。例如，處于前結(jié)構(gòu)水平和單元結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生在知識(shí)點(diǎn)的理解上存在困難;處于多元結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生難以找到量與量之間的相互關(guān)系;而處于關(guān)聯(lián)水平的學(xué)生思維不夠發(fā)散。筆者準(zhǔn)備借助SOLO分類評(píng)價(jià)理論對(duì)學(xué)生在解題時(shí)出現(xiàn)的各種錯(cuò)誤情況進(jìn)行分類整理，使學(xué)生和教師都清楚地分清學(xué)生的錯(cuò)誤在何處，便于接下來(lái)師生針對(duì)存在問(wèn)題采取有效的手段改進(jìn)，進(jìn)一步研究各種錯(cuò)誤的情況明確采取什么樣的策略比較有效，以提高幾何教學(xué)的質(zhì)量。

3.SOLO分類評(píng)價(jià)法能探究引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生誤解的原因

通過(guò)開(kāi)展SOLO測(cè)試并結(jié)合訪談，可以幫助教師了解學(xué)生回答問(wèn)題時(shí)的不同思維方式，探求引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤理解的原因。例如在一次次小測(cè)驗(yàn)中，部分學(xué)生在做題時(shí)遇到圖2，會(huì)錯(cuò)誤地以為∠1和∠4是內(nèi)錯(cuò)角。通過(guò)和學(xué)生的談話，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生之所以有這樣的誤解可能是數(shù)學(xué)教師在概念教學(xué)中片面強(qiáng)調(diào)只要看到Z形的圖形就可以找出內(nèi)錯(cuò)角，因此當(dāng)學(xué)生在右圖中看到直線AB與直線EF之間似乎也構(gòu)成了一個(gè)Z形，就得出錯(cuò)誤的結(jié)論。經(jīng)過(guò)這樣的測(cè)試，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生在理解三線八角時(shí)存在問(wèn)題，數(shù)學(xué)老師在了解到這個(gè)情況后，及時(shí)調(diào)整教學(xué)方法，對(duì)存在誤解的同學(xué)進(jìn)行課后輔導(dǎo)，糾正錯(cuò)誤理解，從而提高了教學(xué)質(zhì)量。

4.SOLO分類評(píng)價(jià)法能夠有效地測(cè)量學(xué)生的思維水平

SOLO分類評(píng)價(jià)法能較準(zhǔn)確地測(cè)量出學(xué)生的思維水平。例如我們?cè)诮虒W(xué)中有時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣的學(xué)生，他們的考試成績(jī)僅處于中下游，但SOLO分類評(píng)價(jià)測(cè)試的結(jié)果卻顯示他們的思維反應(yīng)處于抽象拓展水平。深入調(diào)查會(huì)發(fā)現(xiàn)，這樣的學(xué)生思維往往比較靈活，只是近一段時(shí)間學(xué)習(xí)態(tài)度欠佳，沒(méi)有認(rèn)真做作業(yè)，考試成績(jī)比較差只是這段時(shí)間的學(xué)習(xí)狀況的體現(xiàn)，不能真正反映學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維水平。因此，老師應(yīng)從分析學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度不理想的原因入手，與學(xué)生、家長(zhǎng)進(jìn)行溝通，排除影響學(xué)習(xí)態(tài)度負(fù)面因素，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和興趣，從而提高學(xué)習(xí)效率。根據(jù)SOLO的基本設(shè)想，教學(xué)評(píng)價(jià)應(yīng)該更多地關(guān)注學(xué)生在回答問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)出來(lái)的思維結(jié)構(gòu)。因此，在考評(píng)學(xué)生的邏輯思維能力時(shí)，也應(yīng)關(guān)注學(xué)生使用的幾何語(yǔ)言體現(xiàn)出來(lái)的思維結(jié)構(gòu)水平。

四、SOLO分類評(píng)價(jià)法在初中幾何推理中的個(gè)案研究

1.研究對(duì)象

（1）研究對(duì)象的確定

受到條件的限制和研究的需要，筆者以自己教學(xué)班的學(xué)生為研究對(duì)象。在研究期間，筆者所教學(xué)的班級(jí)剛好從八年級(jí)升到九年級(jí)，所以對(duì)同一個(gè)學(xué)生有八年級(jí)時(shí)的研究和九年級(jí)時(shí)的研究，研究的人數(shù)為6人，人員確定是筆者根據(jù)學(xué)生有記載的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行分層，共分三層（A、B、C），每個(gè)層次的學(xué)生隨機(jī)抽取2人。

（2）研究對(duì)象的編碼

用一個(gè)六位數(shù)的編碼表示一個(gè)學(xué)生的具體信息，6位學(xué)生八年級(jí)時(shí)可以分別記為801A01、801A02、801B01、801B02、801C01、801C02，例如801A01表示八年級(jí)01班A層次第一個(gè)研究對(duì)象。同樣這6個(gè)學(xué)生九年級(jí)時(shí)可以分別記為901A01、901A02、901B01、901A01801B02、901C01、901C02，例如901A01表示九年級(jí)01班A層次第一個(gè)研究對(duì)象，801A01和901A01表示同一個(gè)人。

2.試題的編制

（1）根據(jù)學(xué)生的情況每個(gè)層次在八九年級(jí)編制了難度不同的試題各2題。即八年級(jí)A層次2題，八年級(jí)B層次2題，八年級(jí)C層次2題，九年級(jí)A層次2題，九年級(jí)B層次2題，九年級(jí)C層次2題，試題詳見(jiàn)附件1。

（2）試題編制的內(nèi)容，八年級(jí)幾何研究的重點(diǎn)是特殊的四邊形，因此選擇八下特殊四邊形中的內(nèi)容，九年級(jí)上幾何研究的重點(diǎn)是圓和相似，因此選擇的內(nèi)容為圓和相似的綜合題。

（3）根據(jù)試題的編制和學(xué)生分層中可能存在的不合理因素，在試題的檢測(cè)中遵循A層次的學(xué)生先做A層次的題，有做不出就做B層次的題;B層次的學(xué)生先做B層次的題，能做再試試A層次的題，不能做就做C層次的題;C層次的學(xué)生先做C層次的題，能做可以繼續(xù)做B層次的題，若不能做則只要求畫(huà)出已知、求證和備用條件并寫(xiě)出來(lái)。

3.SOLO分類評(píng)價(jià)法在初中幾何題中的使用策略

（1）介紹策略的使用步驟：

仔細(xì)審題（理清已知條件、隱含條件及問(wèn)題）——理解題意（利用定理、定義、概念等從已知條件、隱含條件中推出相應(yīng)的結(jié)論，作為備用條件）——確定思路（結(jié)合問(wèn)題組織已知條件、隱含條件及備用條件，選擇跟問(wèn)題有關(guān)的有用信息）——實(shí)踐反思（根據(jù)解題思路寫(xiě)出證明過(guò)程，反思整個(gè)推理過(guò)程，若不嚴(yán)密或不準(zhǔn)確再重新審題，重復(fù)前面的步驟）。

（2）舉例說(shuō)明

如圖3，AE是⊙O的直徑，△ABC內(nèi)接于圓，AD⊥BC于D。求證：∠1=∠2

步驟一：劃出已知條件和問(wèn)題。

步驟二：從已知條件推出備用條件。①→直徑所對(duì)圓周角是直角（連接BE或EC）→∠1與∠AEB互余或∠EAC與∠AEC互余;③→∠2與∠C互余。

步驟三：結(jié)合問(wèn)題確定思路，要證∠1=∠2只要證∠AEB=∠ACB，而這兩角都是弧AB所對(duì)的圓周角，問(wèn)題解決。對(duì)比連接BE和EC，顯然連接BE更恰當(dāng)。

步驟四：根據(jù)思路寫(xiě)出完整的過(guò)程。

∵AE是⊙O的直徑? ∴∠ABE=90°? ∴∠1+∠AEB=90°∵AD⊥BC? ∴ ∠2+∠C=90°

∵∠AEB和∠ACB是弧AB所對(duì)的圓周角∴∠AEB=∠ACB ∴∠1=∠2

反思一：已知圓中有直徑這一條件基本的輔助線就是作直徑所對(duì)的圓周角。

反思二：充分利用圓周角與所對(duì)弧的關(guān)系，證明兩角相等。

4.個(gè)案研究達(dá)到的預(yù)期目標(biāo)

（1）教師借鑒SOLO分類評(píng)價(jià)法對(duì)學(xué)生在幾何推理能力過(guò)程出現(xiàn)的情況進(jìn)行分類，思維水平分類如下：

1級(jí)水平：找出題中的已知條件、隱含條件及問(wèn)題（已知和隱含條件可以分別記為D1、D2、D3……）

2級(jí)水平：利用定理、定義、概念等從已知推出相應(yīng)的結(jié)論C1、C2、C3……

3級(jí)水平：能在2級(jí)水平上進(jìn)一步組合推出新的結(jié)論。B1、B2、B3……

4級(jí)水平：在3級(jí)水平上，若條件之間缺少必要的聯(lián)系，需要通過(guò)輔助線的幫助才能解決的。A1、A2、A3……

教師借鑒SOLO分類評(píng)價(jià)法診斷學(xué)生的思維水平和存在的問(wèn)題，直觀地知道學(xué)生屬于什么思維水平，并探究低一級(jí)水平向上一級(jí)水平過(guò)渡主要的問(wèn)題是什么。例如一位學(xué)生能畫(huà)出條件完成步驟一，但對(duì)于例題中①的條件不知怎么用，從而診斷出他的具體問(wèn)題是什么（這里可以知道學(xué)生的問(wèn)題是對(duì)圓周角的推論直徑所對(duì)的圓周角等于90°不會(huì)用，學(xué)生也知曉是直徑這個(gè)條件不會(huì)用），同時(shí)教師也清楚了這個(gè)問(wèn)題如何解決（如采用圓周角推論的強(qiáng)化策略，已知條件中有直徑一般作直徑所對(duì)的圓周角，有90°的圓周角連接圓周角所對(duì)的弦，此弦是直徑;也可增加有針對(duì)性的練習(xí)，鞏固應(yīng)用）。

（2）個(gè)體反思和同伴互助

學(xué)生自己、同伴之間根據(jù)SOLO分類評(píng)價(jià)法能判斷學(xué)生自己或同伴的思維水平和存在的問(wèn)題，直觀地知道自己或同伴屬于什么水平，學(xué)會(huì)反思，也學(xué)會(huì)幫助同伴，改進(jìn)幾何學(xué)習(xí)，提高幾何學(xué)習(xí)的效率和效果。

（3）總結(jié)一些克服解幾何推理題感覺(jué)困難的一般策略

通過(guò)借鑒SOLO分類法在幾何教學(xué)中的個(gè)案應(yīng)用，總結(jié)一些克服幾何推理難點(diǎn)的一般策略，如分層批改作業(yè)法，思維導(dǎo)圖法，間接條件法，同伴互助交流，劃出已知、問(wèn)題并與圖相結(jié)合使用的實(shí)踐動(dòng)手策略等。

5.個(gè)案研究的實(shí)施

（1）6位選定的學(xué)生在一個(gè)規(guī)定的時(shí)間內(nèi)進(jìn)行測(cè)試。先做20分鐘，再介紹SOLO分類評(píng)價(jià)法直至學(xué)生清楚方法的使用，再給學(xué)生15分鐘用SOLO分類評(píng)價(jià)法的方法做，最后把學(xué)生使用SOLO分類評(píng)價(jià)法完成試題前后情況匯總（八年級(jí)題具體見(jiàn)附件1）：

（2）通過(guò)分析學(xué)生在試題的問(wèn)題，從而診斷學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題。

（3）6位選定的學(xué)生在一個(gè)規(guī)定的時(shí)間內(nèi)進(jìn)行測(cè)試。先做20分鐘，再次強(qiáng)調(diào)使用方法，再給學(xué)生15分鐘用SOLO分類評(píng)價(jià)法的方法做，最后把學(xué)生使用SOLO分類評(píng)價(jià)法完成試題前后情況匯總（九年級(jí)題具體見(jiàn)附件1）：

（4）通過(guò)分析學(xué)生在試題的問(wèn)題，從而診斷學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題。

五、總結(jié)一些突破幾何推理難點(diǎn)的一般策略：

1.利用思維導(dǎo)圖整理知識(shí)網(wǎng)絡(luò)和理順解題的一般步驟

幾何部分的學(xué)習(xí)涉及很多相互之間存在密切關(guān)聯(lián)的概念。對(duì)一些學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)的學(xué)生，要記憶、理解、應(yīng)用這些概念并利用這些概念建立起一個(gè)具有內(nèi)在邏輯關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)是十分困難，從而經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)遺忘或是概念混淆的情況，嚴(yán)重影響學(xué)習(xí)的效果。思維導(dǎo)圖的運(yùn)用可以以形象化的形式幫助學(xué)生建立起一個(gè)直觀的可視化的宏觀網(wǎng)絡(luò)，把各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，包括概念、定理、解題技巧、思想方法，以其內(nèi)在的邏輯關(guān)系生動(dòng)地組織起來(lái)，避免了知識(shí)點(diǎn)之間的孤立和碎片化，既有利于記憶，也有利于理解，同時(shí)體現(xiàn)了世界萬(wàn)物互聯(lián)的思想。下面是學(xué)生對(duì)四邊形這一內(nèi)容的整理：

同時(shí)，思維導(dǎo)圖對(duì)于解幾何題有著同樣的功效。它可以幫助學(xué)生更好地分析理解題意，找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵，綜合各種已知條件，促進(jìn)推理和聯(lián)想，在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S基礎(chǔ)上做出合理的發(fā)散，從而更加科學(xué)高效地解題。它使整個(gè)解題過(guò)程不再神秘莫測(cè)，而是有章可循。我們根據(jù)解題時(shí)的思維發(fā)展可以把解題分成以下幾個(gè)步驟：

2.利用間接條件法讓學(xué)生由易到難動(dòng)手實(shí)踐

不管是在平時(shí)練習(xí)還是在各類中考題的難題中，幾何題都不是難到一點(diǎn)都不能入手，往往只是有那么一兩問(wèn)不易理解，沒(méi)有思路解決而已，而學(xué)生在解題時(shí)往往糾結(jié)于最難的一兩問(wèn)，沒(méi)有從已知條件出發(fā)，尋找可以得到的間接條件，然后從這些間接條件的組合中尋找解決問(wèn)題的策略。例如801B02在解決A層次第一題時(shí)開(kāi)始不會(huì)，在介紹完SOLO分類評(píng)價(jià)法后筆者讓他把所有從已知條件能得到的間接條件都寫(xiě)出來(lái)，他在題的邊上一一列出，并在圖中畫(huà)出來(lái)，很快他就找到了解決問(wèn)題的方法。

如圖4，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，角平分線AE交CD于G，

EF⊥AB于F，問(wèn)四邊形CGFE是什么特殊的四邊形，請(qǐng)證明。

由角平分線AE、EF⊥AB、Rt△ABC得到CE=EF;

由CD是斜邊AB上的高、EF⊥AB得到CD∥EF;

由Rt△ABC中、CD是斜邊AB上的高、角平分線AE得到∠CGE=∠CEG，從而得到CG=CE。

從而馬上得到思路：先證CG平行且等于EF，得到四邊形CGFE是平行四邊形，再加上CE=EF或CG=CE即可，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

解決問(wèn)題特別是難的綜合題不是一蹴而就的，需要一步一步、由易到難去解決，很多時(shí)候讀懂題意還不夠，還要把所有能得到的間接條件都寫(xiě)出來(lái)并在圖中畫(huà)出來(lái)后才能真正理解題意，在此基礎(chǔ)上再去組合間接條件，選擇各種方案進(jìn)行嘗試，才能解決問(wèn)題。

3.培養(yǎng)尋找解題思路的三種方法

解題思路是解決幾何推理問(wèn)題的關(guān)鍵，“授人以魚(yú)，不如授人以漁”，培養(yǎng)學(xué)生尋找解題思路的方法非常必要和迫切。我們常見(jiàn)尋找思路的方法有三種：綜合法、分析法、分析綜合法，在平時(shí)的幾何推理教學(xué)中要教給學(xué)生這些尋找解題思路的方法。例如綜合法的培養(yǎng)，解題思路實(shí)質(zhì)上就是從已知條件到解題目標(biāo)的一連串的命題間的推出關(guān)系，即

從已知條件到合適的備用條件一步一步、一環(huán)扣一環(huán)向解題目標(biāo)邁進(jìn)，綜合法就是一種由因?qū)Ч姆椒?，有了定義、定理、公理等命題作為基礎(chǔ)和支撐，尋找解題思路就容易了。類似，分析法就是由果索因的方法，由解題目標(biāo)去尋找目標(biāo)成立的等價(jià)條件，從而一步步推向已知條件。當(dāng)綜合法和分析法使用不是很順暢的時(shí)候，也可試試分析綜合法。

4.基本解題思路的整理

好的方法只有真正落實(shí)了方能見(jiàn)效，因此克服學(xué)生的惰性，更真實(shí)地反應(yīng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題成為當(dāng)務(wù)之急。學(xué)生在平時(shí)審題時(shí)往往粗枝大葉，沒(méi)有認(rèn)真讀題，懶得從已知條件推出間接條件，也懶得把已知條件和間接條件在圖中畫(huà)出來(lái)，從而造成對(duì)題意的理解不清，不能準(zhǔn)確地解答問(wèn)題，造成教師不能準(zhǔn)確地獲得學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)情況，影響教學(xué)效率。在平時(shí)的學(xué)習(xí)中學(xué)生也不能自覺(jué)、自然使用此方法，往往在教師的提醒下或遇到困難時(shí)，才會(huì)去使用，如何把SOLO分類評(píng)價(jià)法內(nèi)化到學(xué)生的幾何推理過(guò)程中，需要在教學(xué)中不斷強(qiáng)化和使用，逐漸把方法使用培養(yǎng)成學(xué)生解題的習(xí)慣。

在垂徑定理有關(guān)的計(jì)算教學(xué)中，所有計(jì)算都與半徑、弦心距、弦的一半有關(guān)，不外乎已知三者中的兩個(gè)求剩下一個(gè)，或是已知三個(gè)中的一個(gè)和另外兩個(gè)未知量的關(guān)系，求這兩個(gè)未知量。解決這類問(wèn)題的方法都是勾股定理，在圖中三者缺什么就添什么。例如九年級(jí)A層次第一題中求點(diǎn)C的坐標(biāo)（即求弦的一半OC的長(zhǎng)）、九年級(jí)C層次第二題求AD的長(zhǎng)（即求弦BD的長(zhǎng)），做這樣的計(jì)算題學(xué)生的思路就非常清楚了，九年級(jí)A層次第一題中缺半徑所以要連接O'C，九年級(jí)C層次第二題中缺弦心距所以作弦心距CE。又如九年級(jí)A層次第二題和九年級(jí)B層次第一題中條件都有直徑（或是圓周角是直角），對(duì)于這樣的條件處理的基本思路，從關(guān)鍵詞出發(fā)直徑一般作直徑所對(duì)的圓周角得到這個(gè)圓周角是直角;圓周角是直角一般連接這個(gè)圓周角所對(duì)的弦即這條弦是直徑，接著根據(jù)其他條件相應(yīng)解決。所以九年級(jí)B層次第一題的思路就非常簡(jiǎn)單只要連接AD得到圓周角ADB等于90°，再利用DC=BD，由中垂線得到AB=AC，問(wèn)題解決。九年級(jí)A層次第二題中AC⊥CB，即∠ACB是90°的圓周角，所以AB是直徑，因此要找r只要取AB的中點(diǎn)O并連接OC即可。通過(guò)基本解題思路的整理，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

5.作業(yè)的分層批改和差異化的評(píng)價(jià)

教師借鑒SOLO分類評(píng)價(jià)法診斷學(xué)生的思維水平和存在的問(wèn)題，直觀地知道學(xué)生屬于什么思維水平，了解向思維水平向上一級(jí)遷移存在的主要障礙，同時(shí)要讓學(xué)生明確自己的狀況（會(huì)什么，不會(huì)什么，不會(huì)的原因是什么），反思原因，讓他們找到提高思維水平和解決問(wèn)題的切入點(diǎn)。教師要準(zhǔn)確判斷學(xué)生的實(shí)際水平，對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行分層批改是一種不錯(cuò)的選擇。作業(yè)分層批改可以幫助教師找到相同層次學(xué)生之間共性或類似的問(wèn)題和不同層次學(xué)生之間存在的差異，而差異化的評(píng)價(jià)能針對(duì)不同層次的學(xué)生提出不同的要求，做出不同標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)價(jià)，讓盡量多的學(xué)生得到鼓勵(lì)和支持，在自己現(xiàn)有的基礎(chǔ)上得到不同的發(fā)展，實(shí)現(xiàn)個(gè)性化的教學(xué)。

6.同伴互助學(xué)習(xí)

同伴互助學(xué)習(xí)實(shí)質(zhì)上就是聚焦于課堂教學(xué)中常常被忽視的生生互動(dòng)環(huán)節(jié)，充分發(fā)揮其潛在的積極作用。和跟教師交流相比，同學(xué)之間的交流會(huì)更輕松、更順暢，因?yàn)閹熒g的差異，包括智力、學(xué)歷、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)等，肯定比同學(xué)之間的差異來(lái)得明顯。同學(xué)之間有著類似的學(xué)習(xí)背景、身心發(fā)展階段、智力發(fā)育水平，對(duì)于同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)容易產(chǎn)生相似的認(rèn)知程度，他們可以更清楚地知道疑惑產(chǎn)生的原因，更高效地解答。在同伴互助學(xué)習(xí)中，學(xué)生自己、同伴之間根據(jù)SOLO分類評(píng)價(jià)法能判斷學(xué)生自己或同伴的思維水平和存在的問(wèn)題，直觀地知道自己或同伴屬于什么水平，學(xué)會(huì)反思，也學(xué)會(huì)幫助同伴，改進(jìn)幾何學(xué)習(xí)，提高幾何學(xué)習(xí)的效率和效果。

本文是借鑒SOLO分類評(píng)價(jià)法的個(gè)案研究，在個(gè)案研究上采取了一些方法和手段，也取得了一定的成果，但個(gè)案的研究成果對(duì)全體學(xué)生的幾何教學(xué)是否有效，有待檢驗(yàn)和進(jìn)一步的研究，這是筆者下一步研究的重點(diǎn)。

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八年級(jí)A層次第一題（見(jiàn)圖5）：

如圖，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，角平分線AE交CD于H，EF⊥AB于F，問(wèn)四邊形CHFE是什么特殊的四邊形，請(qǐng)證明。

八年級(jí)A層次第二題（見(jiàn)圖6）：

在四邊形ABCD中M、N分別是BC、AD的中點(diǎn)，AB=CD，延長(zhǎng)BA交MN的延長(zhǎng)線與點(diǎn)E，CD的延長(zhǎng)線交MN與點(diǎn)F。求證：∠BEM=∠CFM。

八年級(jí)B層次第一題（見(jiàn)圖7）：

已知如圖：在△ABC中，AB、BC、CA的中點(diǎn)分別是E、F、G，AD是高。求證：∠EDG=∠EFG。

八年級(jí)B層次第二題（見(jiàn)圖8）：

已知：如圖，△ABC是銳角三角形，分別以AB、AC為邊向外作兩個(gè)正△ABM和△CAN，D、E、F分別是MB、BC、CN的中點(diǎn)，連結(jié)DE、FE.求證：DE=FE。

八年級(jí)C層次第一題（見(jiàn)圖9）：

已知：如圖，在△ABC中，中線BE，CD交于點(diǎn)O，F(xiàn)，G分別是OB，OC的中點(diǎn).求證：四邊形DFGE是平行四邊形。

八年級(jí)C層次第二題（見(jiàn)圖10）：

如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AE=CF且四邊形DEBF是平行四邊形.求證：四邊形ABCD是平行四邊形。

九年級(jí)A層次第一題（見(jiàn)圖11）：

如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9，0），以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，

（1）求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式;

（2）在（1）中的拋物線與⊙O′還有交點(diǎn)嗎？若有則求出該點(diǎn)坐標(biāo)，沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理由;

（3）（1）中的拋物線頂點(diǎn)在圓上嗎？若在請(qǐng)說(shuō)明理由，若不在，則請(qǐng)說(shuō)出應(yīng)怎樣平移才能使拋物線頂點(diǎn)在圓上。

九年級(jí)A層次第二題（見(jiàn)圖12）：

如圖，Rt△BDE中，∠BDE=90°，BC平分∠DBE交DE于點(diǎn)C，AC⊥CB交BE于點(diǎn)A，△ABC的外接圓半徑為r。

（1）求證：BE·BD=r·DE;

（2）若BD=3，DE=4，求AE的長(zhǎng)。

九年級(jí)B層次第一題（見(jiàn)圖13）：

如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C，使DC=BD，

連結(jié)AC交⊙O于點(diǎn)F.

問(wèn)：AB與AC的大小有什么關(guān)系？為什么？

九年級(jí)B層次第二題（見(jiàn)圖14）：

如圖，AB和CD是⊙O的兩條直徑，AB⊥CD，AB=2，∠EAB=15°，AE、DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，求：

（1）求∠FAD的度數(shù);

（2）△ADF的面積。

九年級(jí)C層次第一題（見(jiàn)圖15）：

已知：如圖，AB、DE是⊙O的直徑，AC∥DE，交⊙O于點(diǎn)C，求證：弧BE=弧EC。

九年級(jí)C層次第二題（見(jiàn)圖16）：

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑作圓交AB于點(diǎn)D，求AD長(zhǎng)。

編輯 李博寧